1. (Meyer,2000) Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros positivos

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1 Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Disciplina: LCE0211-Estatística Geral Prof. Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 4 a lista de exercícios 1. (Meyer,2000) Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e C = {5, 6, 7}. Enumere os elementos dos conjuntos A C B e (A (B C)) C. 2. (Meyer,2000) Suponha que o conjunto universo seja formado pelo intervalo real [0, 2]. Sejam A = {x : 1 < x 1} e B = {x : 1 x 3 }, descreva os conjuntos (A B)C e A B C. 3. Mostre que A B = A (A C B). 4. Mostre pelo diagrama de Venn que se A B então B C A C. 5. (Meyer, 2000) Um produto é montado em três estágios. No primeiro estágio, existem 5 linhas de montagem, no segundo estágio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estágio, existem 6 linhas de montagem. De quantas maneiras distintas poderá o produtos se deslocar durante o processo de montagem? 6. Determine o número de anagramas das palavras: ESCOLA e ARARAQUARA. 7. (Meyer, 2000) Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação das visitas. De quantas maneiras isso pode ser feito? 8. Dispondo de 5 cores, de quantas formas distintas é possível compor uma bandeira com três listras? 9. (Meyer, 2000) Um mecanismo complexo pode falhar em 15 estágios. De quantas maneiras poderá ocorrer que ele falhe em 3 estágios? 10. De um grupo com 12 pessoas, sendo 5 homens e 7 mulheres pretende-se montar uma comissão com 5 indivíduos. Quantas comissões podem ser formadas, incluindo exatamente 2 homens? 11. Em um computador digital um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Determine o número de palavras distintas de 8 bits. 12. O campeonato brasileiro de futebol da primeira divisão é disputado em sistema de turno e returno por vinte equipes. a. Determine o total de jogos do campeonato b. Teoricamente, quantas são as possíveis classificações para os quatro primeiros lugares (zona de acesso à Taça Libertadores)? 13. (Meyer, 2000) Supondo que ( ) ( ) ( ) 99 5 = a e 99 4 = b, expresse em termos de a e b.

2 14. (Magalhães e Lima, 2002) Para cada um dos casos abaixo escreva o espaço amostral correspondente e conte o número de elementos. a. Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. b. Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada. c. Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorasamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas. d. Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotandose o sexo de cada uma delas. e. Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na próxima hora. f. Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara. 15. (Meyer, 2000) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosa (N). As peças são inspecionadas e sua condição registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorra em primeiro lugar. Descreva o espaço amostral desse experimento. 16. (Adaptado de Meyer, 2000) Considere três objetos a,b,c. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listados represente o resultado de um experimento. Considere os eventos A: o objeto a está na primeira posição e B: o objeto b está na segunda posição. Enumere os elementos do espaço amostral e dos eventos A B e A B. 17. Suponha que temos um espaço amostral com cinco resultados experimentais igualmente prováveis: E1, E2, E3, E4, E5. Sejam: A = {E1, E2}; B = {E3, E4} e C = {E2, E3, E5} a. Encontre P(A), P(B) e P(C); b. Encontre P (A B). A e B são mutuamente exclusivos? c. Encontre P (A C ); P (B C ); P (A B C ) e P (B C). 18. (Meyer, 2000) Suponha que A e B sejam eventos tais que P (A) = x, P (B) = y e P (A B) = z. Expresse cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y, z. a. P (A C B C ) b. P (A C B) c. P (A C B) d. P (A C B C ) 19. (Barbetta, Reis e Bornia, 2004) De um conjunto de cinco empresas, deseja-se selecionar aleatoriamente uma empresa, mas com probabilidade proporcional ao número de funcionários. O número de funcionários da Empresa A é 20; de B é 15; de C é 7; de D é 5 e de E é 3. a. Qual é a probabilidade de cada uma das empresas ser selecionada? b. Qual é a probabilidade de a empresa A não ser selecionada? 20. (Dantas, 2000) O jogo da loto consiste em selecionar-se cinco dezenas do conjunto de 00 a 99. Qual a probabilidade de se acertar a quina (5 dezenas) se marca-se 10 dezenas no volante? 2

3 21. (Triola, 1999) A Mastercard Internacional efetuou um estudo em cartões de crédito. Os resultados estão dispostos a seguir. 3 Tipo de fraude número cartão roubado 243 cartão falsificado 85 cartão perdido 52 outros 46 Selecionado aleatoriamente um caso de fraude, qual a probabilidade de a fraude resultar de um cartão falsificado? 22. Uma caixa contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Tiram-se de uma só vez 4 bolas. Qual é a probabilidade de: a. sair o número 12; b. saírem os números 1 e 15; c. não sair o número 3; d. saírem só números pares. 23. (Magalhães e Lima, 2002) Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes maior do que sair coroa. Para dois lançamentos independentes dessa moeda determinar a probabilidade: a. de sair somente uma cara b. de sair pelo menos uma cara c. de ocorrer dois resultados iguais 24. (Meyer, 2000) Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo é selecionado ao acaso. Ache a probabilidade de que: a. ele não tenha defeitos b. ele não tenha defeitos graves c. ele ou seja perfeito ou tenha defeitos graves 25. (Meyer, 2000) Um dado é jogado n vezes. Qual é a probabilidade de que a face 6 apareça ao menos uma vez em n jogadas? 26. (Meyer, 2000) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens maiores de 21 anos, 4 homens com menos de 21 anos, 6 mulheres maiores de 21 anos e 3 mulheres menores. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os eventos A: a pessoa é maior de 21 anos; B: a pessoa é menor de 21 anos; C: a pessoa é homem e D: a pessoa é mulher. Calcule: P (A D) e P (A C C C ). 27. (Morettin, 1999) De um grupo de 12 homens e 8 mulheres, retiram-se 4 pessoas para formar uma comissão. Qual é a probabilidade de: a. pelo menos uma mulher fazer parte da comissão?

4 4 b. uma mulher fazer parte da comissão? c. haver pessoas dos dois sexos na comissão? 28. (Meyer, 2000) Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas numeradas (X,Y) são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de que X + Y = 10? 29. (Magalhães e Lima, 2002) Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral tais que P (A) = 0, 2; P (B) = p; P (A B) = 0, 5 e P (A B) = 0, 1. Calcule p. 30. (Dantas, 2000) Em média, 5% dos produtos vendidos por uma loja são devolvidos. Qual é a probabilidade de que, nas quatro próximas unidades vendidas desse produto, duas sejam devolvidas? 31. (Meyer, 2000) Um inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1, 2,..., 49, 50. Qual é a probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8? 32. (Dantas, 2000) Uma cidade tem habitantes e três jornais: A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que lêem A; lêem B; lêem A e B; lêem C; lêem A e C; lêem B e C e 500 lêem A, B e C. Selecionando ao acaso um habitante dessa cidade, qual a probabilidade de que ele leia: a. pelo menos um jornal? b. somente um jornal? 33. Suponha que numa população, a probabilidade de ser surdo é estimada em 0,0050, a probabilidade de ser cego em 0,0085 e a probabilidade de ser cego e surdo em 0,0006. Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser surda ou cega? 34. A empresa M e B tem empregados, classificados de acordo com a Tabela 1. Tabela 1: Distribuição do número de funcionários por sexo e faixa etária. Idade Sexo (em anos) masculino (M) feminino (F) < [25 40] > Fonte: Bussab e Morettin, 2002 Se um empregado é selecionado aleatoriamente calcular a probabilidade de ele ser a. um empregado da faixa etária de [25 40] anos ou do sexo feminino; b. um homem dado que é um empregado com mais de 40 anos. 35. (Anderson, Sweeney e Williams, 2002) Suponha que temos dois eventos, A e B, com P (A) = 0, 50; P (B) = 0, 60 e P (A B) = 0, 40. a. Ache P (A B) e P (B A) (0,66 e 0,80) b. A e B são independentes? Por quê?

5 36. (Adaptado de Magalhães, 2004) Em famílias com 3 filhos, defina os eventos A: filhos dos dois sexos e B: no máximo uma menina entre os dois filhos. Admita igual probabilidade no nascimento de meninos e meninas. Nessas condições, mostre que os eventos A e B são independentes. 37. (Andrade e Ogliari, 2010) Temos um pacote com 20 sementes com 40% de poder germinativo cada. Duas sementes são selecionadas aleatoriamente e plantadas. Qual é a probabilidade de que: a. as duas sementes não germinem; b. as duas sementes germinem; c. somente uma semente germine. 38. Uma empresa produz um lote de 50 filtros de combustível, dos quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente e testam-se dois filtros do lote. Determine a probabilidade de ambos serem bons, se os filtros são selecionados: a. com reposição; b. sem reposição. 39. (Meyer, 2000) Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaida e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita? 40. (Andrade e Ogliari, 2010) Se ambos os pais têm genótipo Aa, seus filhos têm genótipos AA, Aa e aa com probabilidades: P (AA) = 1 4, P (Aa) = 1 2 e P (aa) = 1 4. Qual é a probabilidade de que, dentre quatro crianças, pelo menos uma tenha genótipo aa? 41. (Triola, 1999) Um gerente de controle de qualidade utiliza equipamento de teste para detectar modems de computador defeituosos. Retiram-se aleatoriamente 3 modems diferentes de um grupo onde há 12 defeituosos e 18 sem defeitos. Qual é a probabilidade: a. de todos os 3 serem defeituosos? b. de ao menos um dos modems escolhidos ser defeituoso? 42. Suponha que temos dois eventos A e B, que são mutuamente exclusivos. Suponha além disso, P (A) = 0, 30 e P (B) = 0, 40. Qual é a P (B A)? 43. (Andrade e Ogliari, 2010) Um agricultor aceitará um lote com cem sacos de sementes fiscalizadas, se a amostra de cinco sacos escolhidas ao acaso do lote e inspecionada, não contiver nenhum com poder germinativo inferior ao especificado. Qual é a probabilidade de que ele aceite o lote se este contém dez sacos com poder germinativo abaixo do especificado? 44. (Meyer, 2000) Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos de ensaios anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas: P(A falhe)=0,20; P(A e B falhem)=0,15 e P(B falhe sozinho)=0,15. Calcular: a. P(A falhe B tenha falhado) b. P(A falhe sozinho) 5

6 45. Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que podem apresentar desajustes com probabilidade, respectivamente, 0,05 e 0,10. No início do dia de operação um teste é realizado e caso a máquina esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia passando por revisão técnica. Para cumprir o nível mínimo de produção pelo menos uma das máquinas deve operar. Você diria que a empresa corre o risco de não cumprir com suas metas de produção? 46. (Andrade e Ogliari, 2010) Um enxerto tem a probabilidade duas vezes maior de sobreviver do que não sobreviver. Plantados três enxertos, qual é a probabilidade de exatamente dois sobreviverem? 47. (Barbetta, Reis e Bornia, 2004) Um certo programa pode ser usado com uma entre duas sub-rotinas A e B, dependendo do problema. A experiência tem mostrado que a sub-rotina A é usada 40% das vezes e B é usada 60% das vezes. Se A é usada, existe 75% de chance de que o programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo. Se B é usada, a chance é de 50%. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, qual a probabilidade de que a sub-rotina A tenha sido escolhida? 48. (Andrade e Ogliari, 2010) Uma empresa de sementes fiscalizadas vende pacotes com 20 kg cada. As máquinas A, B, e C enchem 25%, 35% e 40% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5%, 4% e 2%, respectivamente, são pacotes fora do peso aceitável. Escolhe ao acaso um pacote e verifica-se que está fora do peso aceitável. Qual é a probabilidade de que o pacote tenha vindo da máquina A? 6