Lista 2: Probabilidade Condicional

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1 Probabilidade Lista 2: Probabilidade Condicional 1) Em uma competição de aeromodelismo, vence o participante que conseguir pousar mais vezes seu aeroplano na área especificada. Esta área consiste em um triangulo equilátero, inscrito em um círculo. Sabendo que um aeroplano pousou dentro do círculo, qual é a probabilidade de ter pousado também dentro do triângulo? Suponha que a densidade de probabilidade em todos os pontos do círculo é a mesma. R. 0,4135 2) Dentre seis números positivos e oito negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem reposição) e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo? R. 0,47 3) Considere uma urna contendo três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição. a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades. R. 0,107; 0,268; 0,268; 0,107 b) Mesmo problema, para extrações em reposição. R. 0,141; 0,234; 0,234; 0,391 4) No problema anterior calcule as probabilidades dos eventos a) bola preta na primeira e segunda extrações. R. 0,375; 0,141 b) bola preta na segunda extração. R. 0,375; 0,375 c) bola vermelha na primeira extração. R. 0,625; 0,625 5) Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2. Calcular a) Probabilidade de sair 5, sabendo que o ponto que saiu é ímpar. R. 0,56 b) Probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3. R. 0,67 6) Na figura temos um sistema com três componentes funcionando independentemente, com confiabilidade p 1, p 2 e p 3. Obtenha a confiabilidade do sistema. R. p 1 (p 2 +p 3 -p 2 p 3 ) ) Uma empresa produz circuitos em três fábricas I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione são 0,01; 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade de não funcionar? R. 0,025

2 8) Considere a situação do problema anterior, mas suponha que um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Determine qual a probabilidade de que ele tenha sido fabricado por I. R. 0,16 9) Uma empresa de seguros analisou a frequência com que 2000 segurados (1.000 homens e 1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados são apresentados abaixo Homens Mulheres Usaram o hospital Não usaram o hospital a) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital? R. 0,125 b) O uso do hospital independe do sexo do segurado? R. Não, porque P(usar hospital/homem) = 0,100 P(pessoa segurada use o hospital) 10) Duas lâmpadas queimadas foram misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos testando as lâmpadas uma a uma até encontrar as duas defeituosas, qual a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste? R. 0,107 11) Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de ½. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de 3/4; caso contrário essa probabilidade é de 1/3. Qual a probabilidade de ele: a) Ganhar os dois contratos? R. 0,375 b) Ganhar apenas um? R. 0,292 c) Não ganhar nada? R. 0,333 12) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B, C produzem 25%, 35% e 40% do total, respectivamente. Da produção de cada máquina 5%, 4% e 2%, respectivamente são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A; da B e da C? R. 0,36; 0,41 e 0,23 13) Para estudar o comportamento do mercado automobilístico, as marcas foram divididas em três categorias: marca F, marca W e as demais reunidas como marca X. Um estudo sobre o hábito de mudança de marca mostrou a seguinte probabilidade:

3 Proprietário de carro da marca Probabilidade de mudança para W F X W 0,50 0,25 0,25 F 0,15 0,70 0,15 X 0,30 0,30 0,40 A compra do primeiro carro é feita segundo as seguintes probabilidades: marca W com 50%, marca F com 30% e marca X com 20%. a) Qual a probabilidade de um indivíduo compara o terceiro carro da marca W? R. 0,312 b) Se o terceiro carro é da marca W, qual a probabilidade de o primeiro também ter sido W? R. 0,58 14) Os colégios A, B, C têm as seguintes porcentagens de rapazes: 40%, 20% e 10% respectivamente. Um destes colégios é selecionado ao acaso e oito alunos são escolhidos com reposição. Se o resultado for RRRMMMMM (R para rapazes e M para moças), qual é a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C? R. 0,072 15) Um sistema é composto de três componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9, 0,8 e 0,7 respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema, se 2 ou 3 não funcionam, o sistema funcionam mas com um rendimento inferior. A falha simultânea de 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. Suponde que os componentes funcionem independentemente, calcular a confiabilidade do sistema. R. 0,846 16) Num mercado três corretoras A, B e C são responsáveis por 20%, 50% e 30% do volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada corretora, 20%, 5% e 2% respectivamente são contratos futuros em dólares. Um contrato é escolhido ao acaso e este é futuro em dólares. Qual a probabilidade de ter sido negociado pela corretora A? E pela C? R. 0,563; 0,084 17) Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos. Se ele tiver problemas mecânicos, não para, mas se tiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance de esse veículo ter problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se não houve problema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problema mecânico precedente. Agora, calcule: a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia? R. 0,17 b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido defeito mecânico? R. 0,294 c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se o veículo não parou nesse dia? R. 0,181 18) No lançamento de dois dados simultaneamente, se as faces mostrarem números diferentes, qual é a probabilidade de que uma face seja o número 2? R. 1/3

4 19) Um teste é composto por 5 questões de múltipla escolha, com 4 itens em cada uma. Cada resposta errada anula uma resposta certa. Um aluno chuta todas as questões. Qual a nota média e a variância da nota do aluno? R. 0,137; 0,225 20) Uma empresa usa três linhas de produção para fabricar certo tipo de latas. A tabela fornece as porcentagens de latas fora da conformidade, categorizadas por tipo de não conformidade, para cada uma das três linhas durante um período de tempo. Linha 1 Linha 2 Linha 3 Mancha Trinca Problema em pull-tab Defeito na superfície Outro Durante esse período, a linha 1 produziu 500 latas fora de conformidade, a linha 2 produziu 400 e a linha 3, 600. Suponha que uma dessas 1500 latas seja selecionada aleatoriamente. a) Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela linha 1? (R: 0,333) E que o motivo da não conformidade seja uma trinca? (R: 0,444) b) Se a lata selecionada tiver vindo da linha 1, qual é a probabilidade de ela ter uma mancha? (R: 0,15) c) Dado que a lata selecionada possui um defeito na superfície, qual a probabilidade de ter vindo da linha 1? (R: 0,291) 21) Um sistema consiste em dois componentes. A probabilidade do segundo componente funcionar de forma satisfatória durante a vida útil do projeto é de 0,9, a probabilidade de pelo menos um dos dois componentes funcionar é de 0,96 e a de ambos os componentes funcionarem é de 0,75. Dado que o primeiro componente funciona de forma satisfatória por toda a vida útil do projeto, qual a probabilidade de o segundo também funcionar? (R: 0,926) 22) Uma empresa usa três linhas de montagem diferentes A 1, A 2 e A 3 para fabricar certo componente. Dos componentes fabricados pela linha A 1, 5% exigem retrabalho pra corrigir um defeito, enquanto 8% dos componentes da linha A 2 exigem retrabalho, assim como 10% de A 3. Suponha que 50% de todos os componentes sejam produzidos pela linha A 1, 30% por A 2 e 20% por A 3. Se um componente selecionado aleatoriamente exigir retrabalho, qual será a probabilidade de ele ser proveniente da linha A 1? (R: 0,362) Da linha A 2? (R: 0,348) E da A 3? (R: 0,290) 23) Determinada companhia aérea tem vôos às 10 da manhã de Chicago para Nova York, Atlanta e Los Angeles. Seja A o evento em que o voo para Nova York está cheio e defina os eventos B e C de forma análoga para os outros voos. Suponha que P(A) = 0,6, P(B) = 0,5, P(C) = 0,4 e que os três eventos sejam independentes. Qual a probabilidade de: a) Os três voos estarem cheios? (R: 0,12) Ao menos um dos voos não estar cheio? (R: 0,88)

5 b) Apenas o voo para Nova York estar cheio? (R: 0,18) Exatamente um dos três voos estar cheio? (R: 0,38) 24) A inspeção visual de juntas de solda em placas de circuitos impressos pode ser bastante subjetiva. Parte do problema se origina dos diversos tipos de defeitos de soldas (por exemplo, falta solda em pontos variados) e até da quantidade de um ou mais desses defeitos. Consequentemente, até mesmo inspetores altamente treinados podem discordar sobre a disposição de uma junta. Em um lote de juntas, o inspetor A encontrou 724 que julgou defeituosas, o inspetor B encontrou 751 e 1159 foram encontradas por ao menos um dos inspetores. Suponha que uma dessas juntas seja selecionada aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de que a junta selecionada não seja julgada defeituosa por nenhum dos dois inspetores? (R: 0,8841) b) Qual é a probabilidade de que a junta selecionada seja julgada defeituosa pelo inspetor B, mas não pelo A? (R: 0,0435) 25) Uma empresa de seguros oferece quatro níveis de dedução - nenhum, baixo, médio e alto - para os possuidores de apólices de seguros residenciais e três níveis diferentes - baixo, médio e alto - para os possuidores de apólices de seguros de automóveis. A tabela a seguir fornece as proporções das diversas categorias de segurados que possuem ambos os tipos de seguros. Por exemplo: a proporção de indivíduos com baixa dedução de seguros residencial e baixa dedução de seguro de automóveis é 0,06 (6% de todos os indivíduos). Residencial Automóvel N B M A B 0,04 0,06 0,05 0,03 M 0,07 0,10 0,20 0,10 A 0,02 0,03 0,15 0,15 Suponha que um indivíduo que possua ambos os tipos de apólices seja selecionado aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de que o indivíduo tenha dedução média de automóvel e alta de residência? (R: 0,10) b) Qual é a probabilidade de que o indivíduo tenha uma dedução baixa de automóvel? Uma dedução baixa de residência? (R: 0,19) c) Qual é a probabilidade de que um indivíduo esteja na mesma categoria para deduções de automóvel e de residência? (R: 0,41) d) Com base na resposta da parte (c), qual é a probabilidade de que as duas categorias sejam diferentes? (R: 0,59) e) Qual é a probabilidade de que o indivíduo tenha ao menos um nível baixo de dedução? (R: 0,31) f) Usando a resposta da parte (e), Qual é a probabilidade de que de que nenhum nível de dedução seja baixo? (R: 0,69)

6 26) Uma caixa em um deposito contem quatro lâmpadas de 40W, cinco de 60W e seis de 75W. Suponha que três lâmpadas sejam sorteadas aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de que exatamente duas das lâmpadas selecionadas sejam de 75W? (R: 0,2967) b) Qual é a probabilidade de que as três lâmpadas selecionadas tenham a mesma potência? (R: 0,0747) c) Qual é a probabilidade de que uma lâmpada de cada tipo seja selecionada? (R: 0,2637) d) Suponha que as lâmpadas sejam selecionadas uma a uma até que seja encontrada uma de 75W. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar pelo menos seis lâmpadas? (R: 0,0421) 27) Uma loja de departamentos vende camisas esportivas em três tamanhos (pequeno, médio e grande), três padrões (xadrez, estampado e listrado) e dois comprimentos de manga (curta e longa). As tabelas a seguir fornecem as proporções de camisas vendidas nas diversas combinações de categorias. Manga curta Padrão Tamanho Xadrez Estampado Listrado P 0,04 0,02 0,05 M 0,08 0,07 0,12 G 0,03 0,07 0,08 Manga longa Padrão Tamanho Xadrez Estampado Listrado P 0,03 0,02 0,03 M 0,10 0,05 0,07 G 0,04 0,02 0,08 a) Qual é a probabilidade de a próxima camisa vendida ser média, de mangas longas e estampada? (R: 0,05) b) Qual é a probabilidade de a próxima camisa vendida ser uma camisa média, estampada? (R: 0,12) c) Qual é a probabilidade de a próxima camisa vendida ser de mangas curtas? E de mangas longas? (R:0,44) d) Qual é a probabilidade de a próxima camisa vendida ser média? (R: 0,49) E de ser estampada? (R: 0,25) e) Dado que a última camisa vendida foi uma xadrez de mangas curtas, qual é a probabilidade de o tamanho ser médio? (R: 0,533)

7 f) Dado que a última camisa vendida foi uma média e xadrez, qual é a probabilidade de as mangas serem curtas? (R: 0,444) E de serem longas? (R: 0,556) 28) Uma empresa de exploração de petróleo possui dois projetos ativos, um na Ásia e outro na Europa. Sejam por A o evento em que o projeto da Ásia tem sucesso e B o evento em que o projeto da Europa tem sucesso. Suponha que A e B sejam eventos independentes com P(A) = 0,4 e P(B) = 0,7. a) Se o projeto da Ásia não obtiver sucesso, qual é a probabilidade de o projeto da Europa também não obtê-lo? (R: 0,3) b) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos dois projetos ter sucesso? (R: 0,82) c) Dado que pelo menos um dos dois projetos obteve sucesso, qual é a probabilidade de apenas o projeto da Ásia ter sucesso? (R: 0,146)