ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

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1 Departamento Matemática Disciplina Estatística Aplicada Curso Engenharia Mec Gest Industrial º Semestre º Folha Nº3: Variáveis Aleatórias De um lote que contém 0 parafusos, dos quais 5 são defeituosos, escolhem- ao acaso e X é o número de parafusos defeituosos encontrados Determine a função de probabilidade e a função de distribuição da va X, quando: a) Os parafusos são escolhidos com reposição; b) Os parafusos são escolhidos m reposição Seja X uma variável aleatória cuja função de probabilidade é dada na guinte tabela: x 0 3 c c f(x) k k 3k k 0 a) Calcule o valor de k b) Calcule P(X ), P(X<0), P(X 0) e P(X 0) c) Calcule P(X<3 X>) d) Calcule a função de distribuição F de X e) Reprente graficamente f e F 3 A variável aleatória X tem função de probabilidade dada por f(x) = k/x, para x =, 3, 5, 5 a) Calcule o valor de k b) Calcule a função de distribuição F de X c) Reprente graficamente f e F d) Calcule P(X=5), P(3<X 5) e P(X 5) e) Calcule E(X) e V(X) Página de 7

2 Disciplina Estatística Aplicada º Semestre º Seja X a variável aleatória discreta com a guinte função de distribuição 0 / Ft () = 3/ t<- - t < 0 0 t < t a) Calcule a função de probabilidade f de X b) Calcule: P(X=), P(X ), P(X>), P(X ), P(X<), P(0<X<), P(0<X ) e P( X ) c) Determine a esperança e a variância de X 5 Suponha que o número de utilizações diárias de um certo computador, em determinada empresa, é uma variável aleatória X, com a guinte função de probabilidade [ X x] = P = k x k = a) Mostre que 6 b) Calcule a função de distribuição de X x! 0 x =,,3, caso contrário, com k IR + c) Usando a alínea anterior, diga qual deverá r o número mínimo de computadores disponíveis no início de cada dia, para que a sua procura diária ja satisfeita com uma probabilidade de, pelo menos, 08 d) Calcule o numero médio de utilizações diárias de um computador e o respectivo desvio padrão 6 O proprietário de um carro deja vende-lo por 3750 euros e está a estudar a hipóte de fazer publicidade, que lhe custará 50 euros Se a probabilidade de ele o vender ao preço de 3750 euros m publicidade for de 05 e com publicidade for de 09, deve ou não anunciar a venda, sabendo que não o vender pelo preço que estipulou à partida, vendê-lo-á a um amigo por 350 euros Página de 7

3 Disciplina Estatística Aplicada º Semestre º 7 Seja X uma va que toma os valores {0,,, 3, x}, com x um valor desconhecido Sabendo que os valores de X são igualmente prováveis e que E(X) = 6, calcule x 8 Considere uma va X cuja função de probabilidade é dada na tabela guinte x 0 6 c c f(x) f(0) / f() /8 0 Sabendo que E(X) = 9/, calcule f(0) e f() 9 Dois projectos de publicidade distintos, A e B, para um mesmo produto, estão a r comparados com ba na receita prevista com a venda do produto publicitado Os estudos de marketing concluíram que a receita, optando pelo projecto A, é de $3 milhões (de dólares) No entanto, a receita optando pelo projecto B é mais difícil de determinar Sabe- apenas que há uma probabilidade de 03 de a receita r igual a $7 milhões, e de 07 de a receita r apenas de $ milhões Qual dos dois projectos rá preferido, tendo em conta: a) As receitas médias obtidas para os dois projectos; b) A variabilidade aprentada pelas receitas nos dois projectos 0 Uma caixa contém quatro bolas marcadas com os números,, 3, Extrai-, com reposição, bolas e X é a Semi-diferença entre o nº obtido na ª e ª bola Determine: a) A função de probabilidade e de distribuição de X; b) A esperança e o desvio padrão de X; c) V(3X + ) e V(0,5X - ) A variável aleatória X é caracterizada pela guinte função densidade de probabilidade (fdp), Página 3 de 7

4 Disciplina Estatística Aplicada º Semestre º 0 / 6 f (x) = (x ) 6 0 x < 0 0 x < x < x a) Mostre que f é, efectivamente, uma fdp b) Determine P(<X<), P(<X 3), P(X>3), P(X ) e P(X ) Seja X uma variável aleatória com a guinte fdp, x x f (x) = / 0 - < x 0 0 < x < x < 3 cc a) Verifique que f é, efectivamente, uma fdp b) Determine a função de distribuição F de X e calcule P(X</), P(X>- /3) e P(/<X<) 3 Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória X com a guinte função densidade de probabilidade, + k + x - x < 0 f X (x) = + k x 0 x < 0 caso contrário a) Calcule o valor de k b) Determine a função de distribuição de X c) Sabe- que 75 % das peças produzidas aprentam uma medida com desvio inferior a m em relação à norma especificada pelo mercado Determine o valor de m Considere a guinte função de distribuição (fd) de uma va X, Página de 7

5 Disciplina Estatística Aplicada º Semestre º 0 Fx ( ) = 5x x 5 x 0 0 < x < x a) Calcule P(X</), P(X>/3) e P(/<X</3) utilizando F b) Deduza a função densidade de probabilidade de X c) Calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de X 5 O tempo, em gundos, que uma máquina demora a montar um conjunto de peças que constituem uma unidade é bem descrito por uma variável aleatória contínua X, cuja função densidade de probabilidade f é definida por x 6 f(x)= ( a ) 0 para ov, onde a é uma constante real a) Mostre que a =- ou a = b) Calcule o tempo médio que as unidades demoram a r montadas e o respectivo desvio padrão 6 O diâmetro, em mm, de uma peça produzida por determinada máquina é uma variável aleatória real X, cuja função de distribuição é definida por, 3a x x x b F(x)= x 5 x < 0 0 x < x < x < 3 x 3 a) Determine os valores das constantes a e b b) Deduza a função densidade de probabilidade de X c) De entre as peças cujo diâmetro é superior a 05 mm, calcule a percentagem de peças com diâmetro inferior a 5 mm Página 5 de 7

6 Disciplina Estatística Aplicada º Semestre º 7 Uma máquina produz uma peça que é, no final, medida O instrumento de medição tem uma zona de indefinição entre e /3 Assim, o comprimento final das peças pode r descrito por uma variável aleatória X, com função densidade de probabilidade kx f (x) = 0 0 x < x 3 x < 0 ou x > 3, k IR e) Determine o valor de k f) Calcule a proporção de peças cujo comprimento está fora da zona de indefinição g) Cada peça é vendida por O custo de produção de cada peça é uma variável definida por + X 9, onde X é o comprimento final da peça produzida Qual o lucro médio por peça? 8 Seja X uma variável aleatória real cuja função densidade de probabilidade é definida por, (x + ) f (x) = 8 0 x caso contrário a) Mostre que f é, efectivamente, uma densidade b) Calcule a função de distribuição de X = c) Determine o valor de a, com a IR +, que verifica P(-a <X< a) X = E(X ) = d) Considere a variável aleatória Y Sabendo que 3, calcule V(3Y+5) 9 Seja k IR + e f a função real de variável real definida por, Página 6 de 7

7 Disciplina Estatística Aplicada º Semestre º 0 x x+ < x 0 0 k x + < x k f(x)= 0 x > k a) Determine o valor de k para o qual f é a densidade de probabilidade de uma va X b) Mostre que { X> E(X) } é um acontecimento certo c) Calcule P[X k / 0<X<k] 0 Numa determinada fábrica são produzidas componentes electrónicas para sistemas de gurança Sabe- que o tempo de vida, expresso em anos, das referidas componentes é bem descrito por uma variável aleatória real X cuja função de distribuição é definida por, ( Constante de Neper e 7 ) 0 x -(x-) F(x)= -e x > a) O fabricante garante aos us clientes o total funcionamento das componentes electrónicas até aos anos, acrescentando no entanto que uma pequena percentagem pode não exceder os 3 anos de vida, necessitando assim de rem substituídas Comente a veracidade das afirmações do fabricante, recorrendo à função de distribuição dada b) Cada sistema de gurança é composto de 5 dessas componentes electrónicas que funcionam independentemente umas das outras Ao fim de 3 anos de funcionamento do sistema, qual a probabilidade de uma das componentes originais já ter sido substituída? c) O fabricante vende as componentes ao preço de 50 euros cada Sabendo que a fábrica fornece as 5 componentes necessárias à montagem de um sistema de gurança e possíveis componentes substitutas, calcule o lucro esperado do fabricante por sistema, ao fim de 3 anos de funcionamento deste Página 7 de 7