CAPÍTULO 4 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES

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1 CAPÍTULO 4 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES. INTRODUÇÃO - Conceito de população desconhecida π e proporção da amostra observada P. π P + pequeno erro Perguntas: - Qual é o pequeno erro? - Até que ponto estamos certos? Π P ±,96 P( n P) (com 95% de confiança) onde: n... tamanho da amostra P... proporção da amostra Eemplo: Em 972, pouco antes das eleições presidenciais nos Estados Unidos, uma pesquisa Gallup, feita junto a 2000 eleitores, acusou 760 favoráveis a McGovern e 240 favoráveis a Nion. Calcular o intervalo π de confiança de 95% em relação a proporção P, da população que votou em McGovern.

2 - Aumentando n, aumenta-se a confiança. Para 99% de confiança, tem-se: Π P ± 2,58 P( n P) 2. VARIABILIDADE Duas peças nunca serão eatamente iguais: variações podem ser mínimas. 3. TIPOS DE VARIAÇÃO A Dentro da própria peça B. Entre peças produzidas no mesmo período C. Entre peças produzidas em períodos diferentes

3 4. TIPOS DE CARACTERÍSTICAS DA QUALIDADE o Variável: quando se faz um registro de uma característica medida, através de uma dimensão. Uma variável pode ter todos os valores possíveis entre dois valores limite. o Atributo: quando se faz registros de um número de ítens que atendam ou não a qualquer requisito específico, dizemos que esses registros são feitos com base em atributos. o Variáveis tratadas como atributos: a qualidade medida de ítens é chamada de variável, e o grupamento de itens em função de suas dimensões é chamado de atributo. 5. CLASSIFICAÇÃO DOS DADOS - Discretos: assumem determinados valores sem valores intermediários.

4 - Contínuos: assumem qualquer valor dentro dos limites especificados. 6. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Nenhum processo pode fornecer ítens eatamente iguais, sempre eistirá variação. Distribuição de freqüências é útil para entender e interpretar a natureza dos dados

5 6.. Diagrama de Freqüências Eemplo de distribuição de freqüências para dados contínuos. Peso de eio de transmissão de aço (em Kg) 2,559 2,570 2,560 2,546 2,568 2,56 2,55 2,556 2,559 2,550 2,534 2,544 2,564 2,552 2,539 2,532 2,547 2,57 2,55 2,567 2,570 2,546 2,556 2,546 2,560 2,555 2,572 2,560 2,562 2,550 2,557 2,559 2,547 2,550 2,553 2,543 2,569 2,552 2,537 2,545 2,569 2,572 2,542 2,53 2,566 2,565 2,545 2,55 2,550 2,564 2,542 2,56 2,532 2,565 2,569 2,552 2,558 2,562 2,552 2,575 2,547 2,545 2,559 2,558 2,552 2,563 2,546 2,543 2,55 2,554 2,556 2,567 2,559 2,559 2,575 2,552 2,559 2,536 2,538 2,57 2,536 2,545 2,533 2,556 2,534 2,542 2,55 2,554 2,56 2,538 2,568 2,574 2,55 2,560 2,556 2,56 2,55 2,560 2,549 2,570 2,564 2,553 2,537 2,55 2,538 2,543 2,56 2,574 2,553 2,554

6 6.2. Cálculos para Distribuição de Freqüência A. Montar a folha de contagem Folha de contagem de valores para pesos de eios de ação ( com origem em valores de 2,500 Kg). PESO TABULAÇÃO PESO TABULAÇÃO PESO TABULAÇÃO Números de células de 5 a 20.

7 B. Determinar a amplitude R H L 2,575 2,53 0,044 (Kg) C. Determinar o intervalo de células C R/ i onde: C número de células R amplitude i intervalo de célula D. Determinar os limites das células Valores etremos, conhecidos como limite superior e inferior. E. Determinar os pontos médios das células Ponto central entre os limites superior e inferior.

8 F. Mostrar a freqüência após a célula Quantidades de valores correspondentes a cada célula. G. Freqüência acumulada Maior ( ou Menor) Quantidades de valores iguais ou maiores (ou menores) que a célula indicada. Eemplo: Distribuição de freqüências de pesos de eios de aço. Limites das Ponto Freqüência Freqüência Acumulada Células médio das menor que maior que células 2,53 2,535 2,535 2,539 2,539 2,543 2,543 2,547 2,547 2,55 2,55 2,555 2,555 2,559 2,559 2,563 2,563 2,567 2,567-2,57 2,57 2,575 2,575 2,579 2,533 2,537 2,54 2,545 2,549 2,553 2,557 2,56 2,565 2,569 2,573 2,

9 6.3. Apresentação Gráfica de Distribuições de freqüências A. Histograma B. Polígono de Freqüências

10 C. Gráfico de Freqüências Acumuladas ou Ogivas Freqüência Acumulada Maior Que Freqüência Acumulada Menor Que

11 8. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 8.. Moda É o valor ou classe de maior frequência. E: Mediana ordenada. É o valor do centro da distribuição, após a mesma ter sido E: E se o número de observações for par? E: Mediana: (7 + 8) / 2 7, Média X Média aritmética das observações n n i i

12 2 s S ) ( 2 n S i n i 9. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 9.. Variância (S 2 ) 9.2. Desvio Padrão (S): 9.3. Amplitude (R): R X ma -X min ) ( 2 2 n S i n i

13 0. Distribuição de Probabilidades n P r ( e ) lim n possíveis todos Forma de associar os eventos possíveis com suas probabilidades. Distribuições Discretas Variável discreta. Distribuições Contínuas Variáveis contínuas.

14 Conceitos Matemáticos de Apoio: ) Arranjo: nº de grupos de K elementos que se pode ordenar de n elementos. A n, K n! ( n K)! Eemplo: Quantas maneiras pode-se arranjar as letras A, B, C e D, duas a duas? A 4! (4 2)! ,2 2 2) Permutação: caso particular de arranjo de n elementos agrupados em formas diferentes. P n n! Eemplo: Quantas maneiram se permutam as letras A, B e C? P 3 3!

15 3) Combinação: nº de grupos K elementos que pode obter de n elementos. C n, K n! K!( n K)! Eemplo: Quantos resultados são possíveis ao se retirar 2 bolas, com reposição de uma urna contendo uma bola vermelha, uma azul, uma amarela e uma preta? C 4! 2!(4 2)! ,2 6 A) Distribuições Contínuas A.) Distribuição Normal Uma das mais utilizadas: σ 2 f ( X ) e σ 2π ( X µ ) 2 / 2 σ 2 µ

16 Padronização: distribuição padrão normal N (µ, σ 2 ) N (0,) z µ σ onde:... amostra µ... média populacional (- < µ < ) σ 2... variância da população (σ 2 > 0) A padronização transforma uma variável aleatória com distribuição N (µ,σ 2 ) em uma distribuição padrão N (0,). Eemplo: A distribuição dos diâmetros de uma peça segue uma distribuição normal com µ 00 mm e desvio padrão de 0,3 mm. Qual a porcentagem de peças que se encontra fora da especificação 00, ± 0,7? Solução: Xmin 00, 0,7 99,4 Xma 00, + 0,7 00,8 99, ,8

17 z 99,4 00 0,3 2,00 tabela 0,0228 z 00,8 00 0,3 2,67 tabela 0,9962 P (fora da especificação) ( 0,9962) + 0,0228 P (fora da especificação) 2,66% A.2) Distribuição Eponencial f () f () λ e -λ para 0

18 P( > o ) X λe o λ d e λ o onde: λ... taa de acontecimentos de sucesso A média e a variância da distribuição eponencial são: µ λ σ 2 2 λ Eemplo: Uma fábrica produz lâmpadas com uma duração de vida que pode ser considerada com uma distribuição eponencial com média 200 horas. a) Qual a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 20 horas de uso? f () 20

19 Solução: µ 200 h 20 h λ µ 200 queimas/ h P( < 20) e ,0952 b) Qual a probabilidade de uma lâmpada queimar entre 00 e 20 h Solução: f () P(00 < < 20) e e , ,0577 c) Das lâmpadas que duram mais de 00 horas, qual a porcentagem que queimam entre 00 e 20 horas? Solução:

20 00 < < 20 0,0577 P( ) > 00 0,6065 0,0952 B) Distribuições Discretas B.) Distribuição Hipergeométrica A variável aleatória da distribuição hipergeométrica é: X nº de peças defeituosas numa amostra, retirada sem reposição de uma população finita. N nº de peças de um lote D nº de peças defeituosas deste lote n tamanho da amostra A probabilidade de saírem K peças defeituosas na amostra é: P( X K) D N D. k n K N n

21 onde: N n... nº de amostras distintas de tamanho n, que podem ser retiradas de uma população de tamanho N D K. N n K D... nº de amostras com eatamente K peças defeituosas. Eemplo: Um lote de 50 peças contém eatamente 20% de peças defeituosas. Retirada uma amostra de 5 peças, qual a probabilidade de mais de 20% das peças da amostra serem defeituosas? Solução: N 50 D 0, n 5? P (X > 0,2 5) (X > ) - P (X 0) P (X ) D N D ( 0) k n K P X N 50 n 5 0,306

22 P( X ) ,433 P( X > ) 0,306 0,433 0,258 B.2) Distribuição Binomial Condições: a) n provas independentes b) cada prova admite sucesso ou fracasso c) a probabilidade de sucesso é p d) X nº de sucessos nas n provas Função probabilidade: P( X n p k K nk ) ( ) K p

23 onde: K... nº de ordens que pode-se ter p k ( p) n K... probabilidade de nas n provas acontecer K sucessos e n-k fracassos numa particular ordem n K... combinação, n, K Eemplo: Da produção mensal de uma máquina foi retirada uma amostra de 5 peças. Sabe-se que esta máquina apresenta uma porcentagem de peças defeituosas constante ao longo do tempo e igual a 5%. a) Qual a probabilidade de dentre as 5 peças eatamente 2 serem defeituosas? b) Qual a probabilidade de mais de 2 serem defeituosas? Solução: a) P( X 2) 0.0,5 2 n p k (0,85) 3 K ( p) 0,382 nk 5 0,5 2 2 ( 0,5) 52

24 b) P (X > 2) P (X 3) + P (X 4) + (X 5) P (X 0) P (X ) P (X 2) P( X P( X P( X 5 0).0,5 0 0 (0,85) 0, ).0,5.(0.85) 0,395 > 2) 0,4437 0,395 0, ,0266 B.3) Distribuição Poisson Condições: a) sucessos acontecem independentemente b) taa de acontecimento de sucesso (λ) é constante em todo o intervalo t c) X nº de sucessos no intervalo t d) t intervalo contínuo de tempo, área, volume, etc. Função probabilidade é: P( X K ) e ( λt) K! e λt K µ µ K! K onde: µ... média (µ λ.t)

25 Eemplo: Na inspeção de chapas de aço são retiradas amostras de 2m 2 e eaminadas quanto ao número de imperfeições encontradas. As chapas com duas ou mais imperfeições na amostra são rejeitadas. Se a média do processo de fabricação for de 0,75 imperfeições por metro quadrado, qual a probabilidade de uma chapa ser rejeitada? Solução: λ 0,75 imperfeições/m 2 t 2 m 2 µ 2 0,75,5 imperfeições por amostra X nº de imperfeições (sucessos) numa amostra de 2 m 2 rejeição 2 ou mais imperfeições P (rejeitar) P (X 2) - P (X 0) P (X ) P( X 0) e,5,5 0! 0 0,223 P( X ) e,5,5! 0,3347 P( X 2) 0,223 0,3347 0,4422