Modelos discretos e contínuos

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1 Modelos discretos e contínuos Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

2 Sumário 1 Informações gerais Contato Referências Bibliográficas 2 Modelos discretos Distribuição uniforme discreta Distribuição de Bernoulli Distribuição binomial Distribuição geométrica Distribuição binomial negativa (Pascal) Distribuição hipergeométrica Distribuição de Poisson Processo de Poisson Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas 3 Modelos contínuos Uniforme Normal Beta Gama Gama invertida Chi-quadrado t de Student F de Snedecor Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

3 Informações gerais Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

4 Informações gerais Informações gerais Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

5 Contato Informações gerais Contato Site pessoal Site do Departamento de Estatística (UFJF) Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

6 Informações gerais Referências Bibliográficas Referências Bibliográficas Barry, R. James (1981) Probabilidade: um curso em cível intermediário. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Projeto Euclides). Bussab, Wilton de O. & Morettin, Pedro A. (2005) Estatística Básica, 5 a ed. edn. São Paulo: Saraiva. Degroot, M. H. & Schervish, M. J. (2001) Probability and Statistics, 3rd Edition, 3 edn. Addison Wesley. Meyer, P. L. (2000) Probabilidade: Aplicações à Estatística, 2 ed. edn. LTC. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

7 Modelos discretos Modelos discretos Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

8 Modelos discretos Distribuição uniforme discreta Distribuição uniforme discreta Definição 1: Uma variável X tem distribuição uniforme discreta no conjunto {1, 2,..., n} se sua função de probabilidade for: { 1, se {1, 2,..., n} p() = n 0, caso contrário p() F() Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Função de probabilidade e função de distribuição acumulada de uma v.a. X com distribuição uniforme discreta no conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

9 Modelos discretos Distribuição de Bernoulli Distribuição de Bernoulli Suponhamos um eperimento com resultados que assumem apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc). Seja X uma v.a. que assume apenas os valores 0 e 1, onde o 1 é associado a uma das classificações e o 0 é associado à outra classificação. Dizemos então que X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro θ [0, 1], onde θ = P([X = 1]). Para indicar a distribuição de Bernoulli, podemos também usar a notação X Ber(θ). Resultado 1: Se X Ber(θ) então sua função de probabilidade é dada por p() = θ, se = 1 1 θ, se = 0 0, caso contrário Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

10 Modelos discretos Distribuição de Bernoulli p() F() Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Função de probabilidade e função de distribuição acumulada de uma v.a. X, tal que X Ber(0.3). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

11 Distribuição binomial Modelos discretos Distribuição binomial Suponhamos agora n realizações independentes de um eperimento com resultados que assumem apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc). Associando uma das classificações ao número 1 (sucesso) e a outra ao número 0 (fracasso), seja X a variável aleatória associada ao número de sucessos (uns) obtidos nas N realizações do eperimento. Se a probabilidade de sucesso em cada uma das realizações é a mesma e igual à θ, dizemos que X tem distribuição binomial com parâmetros n {1, 2,...} e θ [0, 1] ou usamos a notação X Bin(n, θ). Resultado 2: Se X Bin(n, θ) então sua função de probabilidade é dada por ( ) n θ p() = (1 θ) n, se = 0, 1, 2,..., n 0, caso contrário OBS: Suponhamos uma sequência X 1, X 2,..., X n de v.a. independentes tais que X i Ber(θ), i {1, 2,..., n}. A variável Y = n X i Bin(n, θ). i=1 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

12 Modelos discretos Distribuição binomial Eemplo 1: Sabe-se que 30% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Suponhamos que 10 animais são submetidos a este tratamento. Seja X o número de não sobreviventes. a) Construa o gráfico da função de probabilidade de X. b) Construa o gráfico da função de distribuição acumulada de X. Solução: Como X Bin(10, 0.3), sua função de probabilidade é dada por ( 10 p () = Com esta função, podemos construir a tabela abaio. ) 0.3 (1 0.3) 10. p() F() Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

13 Modelos discretos Distribuição binomial A partir da tabela, podemos construir os gráficos. a) p() b) F() Função de probabilidade Função de distribução acumulada Para eplorar um aplicativo da distribuição binomial, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

14 Modelos discretos Distribuição binomial Eemplo 2: Um lote de componentes eletrônicos é recebido por uma firma. Vinte componentes são selecionados, aleatoriamente e com reposição, para teste e o lote é rejeitado se pelo menos 3 forem defeituosos. Sabendo que 1% destes componentes são defeituosos, qual é a probabilidade da firma rejeitar o lote. Solução: Seja X uma v.a. associada ao número de componentes defeituosos dentre os selecionados e p() sua função de probabilidade. Como X Bin(20, 0.05), temos que ( 20 p (0) = 0 ( 20 p (1) = 1 ( 20 p (2) = 2 ) (1 0.01) 20 = ) (1 0.01) 19 = ) (1 0.01) 18 = Sabemos também que o lote é rejeitado se X 3 e, portanto, a probabilidade de rejeição é dada por P ([X 3]) = 1 P ([X < 3]) = 1 P ([X 2]) = 1 (P ([X = 0]) + P ([X = 1]) + P ([X = 2])) = 1 (p (0) + p (1) + P (2)) = 1 ( ) = Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

15 Distribuição geométrica Modelos discretos Distribuição geométrica Suponhamos que um eperimento com resultados que assumem apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc) é realizado sucessivas vezes. Seja X a v.a. associada ao número de fracassos até obter o primeiro sucesso. Se a probabilidade de sucesso em cada uma das realizações é constante e igual à θ, dizemos que X tem distribuição geométrica com parâmetro θ [0, 1]. Resultado 3: Se X tem distribuição geométrica com parâmetro θ, sua função de probabilidade é dada por { (1 θ) θ, se = 0, 1, 2,... p () = 0, caso contrário Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

16 Modelos discretos Distribuição geométrica p() F() Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Gráficos para X com distribuição geométrica de parâmetro θ = 0.2. Para eplorar um aplicativo da distribuição geométrica, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

17 Modelos discretos Distribuição geométrica Eemplo 3: A probabilidade de se encontrar um determinado semáforo aberto é igual a 20%. Qual é a probabilidade de passar pelo semáforo sucessivas vezes e encontrá-lo aberto pela primeira vez na quinta passagem? Solução: Sejam X o número de passagens antes de encontrar o semáforo aberto pela primeira vez e p() a função de probabilidade de X. Como X tem distribuição geométrica de parâmetro θ = 0.2, temos p(4) = (1 0.2) = Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

18 Modelos discretos Distribuição binomial negativa (Pascal) Distribuição binomial negativa (Pascal) Suponhamos que um eperimento com resultados que assumem apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc) é realizado sucessivas vezes. Seja X a variável aleatória associada ao número de fracassos até observar r sucessos. Se a probabilidade de sucesso em cada uma das realizações é a mesma e igual à θ, dizemos que X tem distribuição binomial negativa com parâmetros r {1, 2, 3,...} e θ [0, 1] ou usamos a notação X BN(r, θ). Resultado 4: Se X BN(r, θ) então sua função de probabilidade é dada por ( ) + r 1 θ p () = r 1 r (1 θ), se {0, 1, 2,...} 0, caso contrário OBS: Note que a distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa, para r = 1. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

19 Modelos discretos Distribuição binomial negativa (Pascal) p() F() Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Gráficos para X BN(5, 0.3). Para eplorar um aplicativo da distribuição binomial negativa, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

20 Modelos discretos Distribuição binomial negativa (Pascal) Eemplo 4: Em uma linha de produção, a probabilidade de um determinado componente ser defeituoso é de 0.1%. Qual é a probabilidade de se produzir 4 componentes defeituosos antes de 20 perfeitos. Solução: Sejam X uma v.a. associada ao número de componentes defeituosos antes de 20 perfeitos e p() a função de probabilidade de X. Como X BN(20, 0.9), temos que ( p () = 20 1 Logo, a probabilidade procurada é dada por ( p (4) = 20 1 ) (1 0.9), para {0, 1, 2,...}. ) (1 0.9) 4, para {0, 1, 2,...} = Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

21 Modelos discretos Distribuição hipergeométrica Distribuição hipergeométrica Suponhamos que n elementos são selecionados aleatoriamente e sem reposição de uma população finita com A elementos do tipo I e B elementos do tipo II. Seja X uma v.a. associada ao número de elementos do tipo I selecionados. Neste caso, dizemos que X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros A, B e n. Resultado 5: Se X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros A, B e n, então sua função de probabilidade é dada por p () = ( )( ) A B n ( ), se {ma (0, n B),..., min (n, A)} N A + B n 0, caso contrário Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

22 Modelos discretos Distribuição hipergeométrica Eemplo 5: Uma firma compra lâmpadas por lotes de 30 unidades. Suponha que em um determinado lote há 25 lâmpadas perfeitas. Sete lâmpadas deste lote são selecionadas aleatoriamente e sem reposição. a) Qual é a probabilidade de selecionar menos de 4 lâmpadas perfeitas? b) Construa o gráfico da função de probabilidade de X. c) Construa o gráfico da função de distribuição acumulada de X. Solução: a) Sejam X uma v.a. associada ao número de lâmpadas perfeitas selecionadas e p() sua função de probabilidade. Como X tem distribuição hipergeométrica, temos que p () = ( )( ) ( ), se {ma (0, 7 5),..., min (7, 25)} N , caso contrário Logo, a probabilidade de selecionar menos de 4 lâmpadas perfeitas é dada por P[X < 4] = p(2) + p(3) = % Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

23 Modelos discretos Distribuição hipergeométrica b) p() c) F() Função de probabilidade Função de distribução acumulada Para eplorar um aplicativo da distribuição hipergeométrica, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

24 Distribuição de Poisson Modelos discretos Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é utilizada para eplicar probabilisticamente o número de ocorrências em um eperimento aleatório. Definição 2: Uma v.a. X tem distribuição de Poisson com taa média de ocorrências θ > 0, se sua função de probabilidade for p () = { ep( θ)θ!, se = 0, 1, 2,... 0, caso contrário. Para indicar a distribuição de Poisson, podemos usar a notação X Poiss(θ). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

25 Modelos discretos Distribuição de Poisson p() F() Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Gráficos para X Poiss(4). Para eplorar um aplicativo da distribuição de Poisson, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

26 Processo de Poisson Modelos discretos Processo de Poisson Consideremos o número de ocorrências de um determinado evento por região ou intervalo. Hipótese 1 (incrementos estacionários) A probabilidade de ocorrências em uma região depende apenas do tamanho da região (e não de sua localização). Hipótese 2: (incrementos independentes) O número de ocorrências em regiões disjuntas são independentes. Hipótese 3: Os ocorrências são registradas sozinhas e não simultaneamente. Se as hipóteses acima são satisfeitas, então o número de ocorrências X em uma região de tamanho t tem distribuição Poiss(θt), onde θ é a taa média de ocorrências por unidade de medida da região e θt é a taa média de ocorrências da região. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

27 Modelos discretos Processo de Poisson Eercício 1: Suponhamos que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson, com número médio de chegadas em 6 horas igual a 12. a) Qual é a probabilidade de eatamente 2 navios chegarem em 3 horas. b) Qual é a probabilidade de pelo menos 2 navios chegarem chegarem em 2 horas. Solução: a) Seja X o número de navios que chegam em 3 horas. Como chegam em média 12 navios em 6 horas, a taa média de ocorrências por hora é de θ = 12/6 = 2 navios por hora. Assim, X Poiss(θt), ou seja, X Poiss(2 3) e P([X = 2]) = ep( 6)62 2! = %. b) Seja Y o número de navios que chegam em 5 horas. Consequentemente, Y Poiss( 12 2) Poiss(4) e 6 P([X 2]) = 1 P([X = 0]) P([X = 1]) = 1 ep( 4)40 ep( 4)41 0! 1! = % = %. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

28 Modelos discretos Processo de Poisson Eemplo 6: Seja X uma v.a. tal que X Bin(3, 0.4). Calcule o valor esperado de X? Solução: Temos que p () = 3! (3 )!! para = 0, 1, 2, 3. Consequentemente, p(0) = 0.216, p(1) = 0.432, p(2) = e p(3) = Assim, E(X ) = 0p(0) + 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) = = 1.2 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

29 Modelos discretos Processo de Poisson Eemplo 7: Seja X uma v.a. tal que X Bin(3, 0.4). Calcule a variância de X? Solução: Temos que p () = 3! (3 )!! para = 0, 1, 2, 3. Consequentemente, p(0) = 0.216, p(1) = 0.432, p(2) = e p(3) = Além disso, E(X ) = 0p(0) + 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) = = 1.2 Por fim, Var (X ) = (0 1.2) 2 p (0) + (1 1.2) 2 p (1) + (2 1.2) 2 p (2) + (3 1.2) 2 p (3) = Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

30 Modelos discretos Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas Se X U({1, 2,..., n}), então E(X ) = n e Var(X ) = n Se X Ber(θ), então E(X ) = θ e Var(X ) = θ(1 θ). Se X Bin(n, θ), então E(X ) = n θ e Var(X ) = nθ(1 θ). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

31 Modelos discretos Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas Se X tem distribuição geométrica com probabilidade de sucesso θ (definição baseada no número de realizações até o primeiro sucesso), então E(X ) = 1 θ e Var(X ) = 1 θ θ 2. Se X tem distribuição geométrica com probabilidade de sucesso θ (definição baseada no número de fracassos até o primeiro sucesso), então E(X ) = 1 θ θ e Var(X ) = 1 θ θ 2. Se X tem distribuição hipergeométrica com A elementos do tipo I, B elementos do tipo II e n realizações, então ( ) B E(X ) = n A + B e Var(X ) = nab (A + B) 2 A + B n A + B 1. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

32 Modelos discretos Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas Se X tem distribuição Poiss(θ), então E(X ) = θ e Var(X ) = θ. Se X tem distribuição BN(r, θ), então E(X ) = rθ 1 θ e Var(X ) = rθ (1 θ) 2. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

33 Modelos contínuos Modelos contínuos Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

34 Modelos contínuos Uniforme Uniforme Definição 3: Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição uniforme no intervalo (a, b) se tem densidade p() dada por p () = { 1 b a, se a < < b 0, caso contrário. Notação: X U(a, b). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

35 Normal Modelos contínuos Normal Definição 4: Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição normal de média µ e variância σ 2 > 0 se tem densidade p() dada por p () = ( ( ) 2πσ 2) 1 2 ep 1 ( µ) 2 2 σ 2, com R. Notação: X N(µ, σ 2 ). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

36 Modelos contínuos Normal p X () p X () p X () Densidade de uma N(0, 1). Densidade de uma N(0, 1) em preto e densidade de uma N(3,1) em azul. Densidade de uma N(0, 1) em preto e densidade de uma N(0,4) em azul. Figura: Densidades de distrinuições normais. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

37 Modelos contínuos Normal F X () F X () F X () Função de distribuição de uma N(0, 1). Função de distribuição de uma N(0, 1) em preto e função de distribuição de uma N(3,1) em azul. Figura: Funções de Distribuição Acumulada. Função de distribuição de uma N(0, 1) em preto e função de distribuição de uma N(0,4) em azul. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

38 Modelos contínuos Normal Propriedades da normal Se X N(µ, σ 2 ), então E(X ) = µ e Var(X ) = σ 2. Se uma v.a. X tem distribuição normal, então Y = ax + b também tem distribuição normal, a, b R. Resultado 6: Como consequência das propriedades acima, temos que Se X N(µ, σ 2 ), então ax + b N(aµ + b, a 2 σ 2 ), Se X N(0, 1), então ax + b N(b, a 2 ) e Se X N(µ, σ 2 ) então X µ σ N(0, 1). Prova:... Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

39 Beta Modelos contínuos Beta Definição 5: Dizemos que uma v.a. tem distribuição beta de parâmetros α > 0 e β > 0 se tem densidade p() dada por { B (α, β) 1 p () = α 1 (1 ) β 1, se 0 < < 1 0, caso contrário, onde Γ (α) = Notação: X Be(α, β). B (α, β) = 0 e Γ (α) Γ (β) Γ (α + β) β α α 1 ep ( β) d. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

40 Modelos contínuos Beta p X () α = 10 e β = 10 α = 0.1 e β = 0.1 α = 4 e β = 0.1 α = 4 e β = F X () α = 10 e β = 10 α = 0.1 e β = 0.1 α = 4 e β = 0.1 α = 4 e β = Figura: Densidades e funções de distribuição Be(α, β), para diferentes valores de α e β. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

41 Gama Modelos contínuos Gama Definição 6: Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição Gama com parâmetros α > 0 e β > 0 se tem densidade p() dada por p () = { β α Γ(α) α 1 ep ( β), se > 0 0, caso contrário, onde Γ (α) = 0 β α α 1 ep ( β) d. Notação: X Ga(α, β). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

42 Modelos contínuos Gama p X () α = 1 e β = 2 α = 2 e β = 2 α = 3 e β = 2 α = 5 e β = 1 α = 9 e β = 0.5 F X () α = 1 e β = 2 α = 2 e β = 2 α = 3 e β = 2 α = 5 e β = 1 α = 9 e β = 0.5 Figura: Densidades e funções de distribuição Ga(α, β), para diferentes valores de α e β. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

43 Gama invertida Modelos contínuos Gama invertida Definição 7: Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição Gama Invertida (ou Gama Inversa) com parâmetros α > 0 e β > 0 se tem densidade p() dada por onde p () = { β α ( 1 Γ(α) ) α+1 ( ( ep β 1 )), se > 0 0, caso contrário Γ (α) = 0 β α α 1 ep ( β) d., Notação: X GI (α, β). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

44 Modelos contínuos Gama invertida p X () α = 1 e β = 0.5 α = 2 e β = 1 α = 3 e β = 1 α = 3 e β = F X () α = 1 e β = 1 α = 2 e β = 1 α = 3 e β = 1 α = 3 e β = Figura: Densidades e funções de distribuição GI (α, β), para diferentes valores de α e β. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

45 Modelos contínuos Gama invertida Propriedades da Gama Se X Ga(α, β) e a R então ax Ga ( ) α, β a. Relação entre a Gamma e a Gamma Invertida Se X Ga(α, β) então 1 X GI (α, β). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

46 Chi-quadrado (χ 2 ) Modelos contínuos Chi-quadrado Definição 8: Uma v.a. X tem distribuição chi-quadrado (χ 2 ) com n > 0 graus de liberdade se tem densidade p() dada por ( 2) 1 n 2 p (y) = Γ( n 2) n 2 1 ep ( 1 2 ), se > 0, 0, caso contrário onde ( n ) Γ = 2 0 ( ) n 1 2 n 2 1 ep ( 12 ) 2 d. Notação: X χ 2 n. OBS: X χ 2 n se, e somente se, X Ga ( n 2, 1 2). Assim, podemos dizer que a distribuição χ 2 é um caso particular da gama. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

47 Modelos contínuos Chi-quadrado Sejam X 1, X 2,..., X n variáveis aleatórias independentes, de modo que X i N(0, 1) i {1, 2,..., n}. A variável aleatória X = n i=1 X 2 i tem distribuição χ 2 com n graus de liberdade. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

48 Modelos contínuos Chi-quadrado p X () n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 F X () n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = Figura: Densidades e funções de distribuição χ 2 n, para diferentes graus de liberdade (n). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

49 Modelos contínuos Chi-quadrado Propriedades da χ 2 Se X χ 2 n e Y χ 2 m então (X + Y ) χ 2 m+n. Se X χ 2 n e Y χ 2 m então (Z = X Y ) χ 2 m n, desde que Z 0 e n > m Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

50 t de Student Modelos contínuos t de Student Definição 9: A distribuição t de Student (ou simplesmente t) com n > 0 graus de liberdade é definida pela razão de duas variáveis aleatórias. Especificamente, se Y N(0, 1) e Z χ 2 n com Y e Z independentes, então tem distribuição t com n graus de liberdade. X = Y Z n (1) Notação: X t n. Se X t n, então sua densidade é dada por p () = Γ ( ) n+1 2 nπ ) (n+1) ( n Γ ( n 2 ), para R Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

51 Modelos contínuos t de Student p X () t n = 1 n = 2 n = 5 n = 1000 F X () t n = 1 n = 2 n = 5 n = 1000 Figura: Densidades e funções de distribuição t n, para diferentes valores de n. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

52 F de Snedecor Modelos contínuos F de Snedecor Definição 10: A distribuição F de Snedecor (ou simplesmente F) com n > 0 e m > 0 graus de liberdade é definida pela razão de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição χ 2 central, ambas divididas pelos seus respectivos graus de liberdade. Especificamente, se Y χ 2 n e Z χ 2 m com Y e Z independentes, então X = tem distribuição F com n e m graus de liberdade. Notação: X F n,m. Y n Z m Se X F n,m, então sua densidade é dada por Γ( n+m ) ( 2 n ) n p () = Γ( n )Γ( 2 m ) 2 ( n 1) ( n m m ) (n+m) 2, se > 0 2 0, caso contrário. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

53 Modelos contínuos F de Snedecor p X () n 1 = 1 e n 2 = 1 n 1 = 2 e n 2 = 1 n 1 = 5 e n 2 = 2 n 1 = 100 e n 2 = 1 n 1 = 100 e n 2 = F X () n 1 = 1 e n 2 = 1 n 1 = 2 e n 2 = 1 n 1 = 5 e n 2 = 2 n 1 = 100 e n 2 = 1 n 1 = 100 e n 2 = Figura: Densidades e funções de distribuição F n,m, para diferentes valores de n e m. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

54 Modelos contínuos F de Snedecor Relação entre a t e a F Elevando ao quadrado a equação (1), temos T 2 = X 2 1 Y n Como X 2 χ 2 1 e Y χ2 n, então T 2 F 1,n. Ou seja, o quadrado de uma v.a. com distribuição t n tem distribuição F 1,n. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

55 Modelos contínuos Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Se X U(a, b), então E(X ) = b + a 2 e Var(X ) = (b a)2. 12 Se X N(µ, σ 2 ), então Se X Be(α, β), então E(X ) = µ e Var(X ) = σ 2. E(X ) = α α + β e Var(X ) = αβ (α + β) 2 (α + β + 1). Se X Ga(α, β), então E(X ) = α β e Var(X ) = α β 2. Se X GI (α, β), então E(X ) = β α + 1 e Var(X ) = β 2 (α 1) 2 (α 2). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

56 Modelos contínuos Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Se X χ 2 n, então Se X t n, então E(X ) = n + λ e Var(X ) = 2(n + 2λ). Se X F n,m, então E(X ) = µ para n > 1 e Var(X ) = n para n > 2. n 1 E(X ) = m m 2 para m > 2 e Var(X ) = 2m2 (n + m 2) para n > 4. n(m 4)(m 2) 2 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

57 Modelos contínuos Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Fim! Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55

58 Modelos contínuos Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas (Barry, 1981) (Bussab and Morettin, 2005) (Meyer, 2000) (Degroot and Schervish, 2001) Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão / 55