Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teorema da Probabilidade Total Lei de Bayes Aula de hoje Variáveis Aleatórias PMF, CDF Exemplos de v. a.: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Poisson, Hipergeométrica

2 Variáveis Aleatórias Necessidade de expressar eventos de forma precisa Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado Idéia: Mapear eventos em números reais! A B C D E reais

3 Definição de V.A. Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S X : S R v.a. é uma função (e não uma variável) imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo) função não precisa ser bijetora (um para um)

4 Função probabilidade de massa (pmf) Associar probabilidade a valores de uma v.a. Seja X uma v.a. (discreta) Qual a probabilidade de X = x? {s X s =x } Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x p X x =P [ X =x]=p [{s X s =x }]= X s =x P [s] notação de pmf (probability mass function)

5 Função distribuição cumulativa (cdf) Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual) Dada v.a. X, temos F X x =P[ X x]=p [{s X s x }]= X s x notação da cdf (cumulative distribution function) P [s] F X (x) é não decrescente Limite quando x tende a infinito é 1

6 Distribuições Importantes V.A. discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Usadas para modelar eventos que ocorrem na natureza Representam v.a. que iremos usar Relativamente fáceis de manipular

7 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, etc. v.a. binária (evento 0 ou evento 1) Parâmetro p, (probabilidade de ocorrência de um dos eventos) pmf: p X 0 =1 p p X 1 = p

8 Bernoulli

9 Binomial Contagem de eventos de Bernoulli eventos independentes Número de sucessos dado N experimentos Dois parâmetros p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) N: número de experimentos pmf: p k = N X k pk 1 p N k Total de possibilidades de k eventos ocorrerem Prob. que exatamente k eventos ocorram

10 Condições para uso da Binomial Cada experimento tem como resultado dois eventos mutuamente exclusivos: falha ou sucesso A probabilidade de sucesso em cada experimento é constante O resultado de cada experimento é independente dos outros resultados

11 Exemplo de uso da Binomial Suponha que um grupo de N usuários esteja sendo monitorado.

12 Exemplo de uso da Binomial Suponha que um grupo de N usuários esteja sendo monitorado. Considere que a probabilidade de que um usuário esteja com seu roteador infectado seja p. Qual a probabilidade de que k usuários estejam infectados?

13 Geométrica Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso (incluindo o sucesso) Parâmetro p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) pmf: p X (k)= p(1 p) k 1, k=1,2,... Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1 eventos de falha

14 Geométrica Modificada Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso (não incluindo o sucesso) Parâmetro p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) p X (k)= p(1 p) k,k=0,1,2,... Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1 eventos de falha

15 Geométrica: Propriedade memoryless Resultados de experimentos no futuro não depende de eventos no passado Seja Z a v.a. que denota o número total de experimentos até e incluindo o primeiro sucesso. Assuma que já ocorreram n experimentos. Seja Y o número de experimentos que faltam até o primeiro sucesso, logo Y=Z n.

16 Geométrica: Propriedade memoryless n Y Z Z v.a. geométrica Y v.a. que representa o número de eventos que faltam para o primeiro sucesso Y=Z-n e Z=n+Y p Z i = pq i 1 F Z i =1 q i P[Y=i / Z>n] =?

17 Geométrica: Propriedade memoryless

18 Geométrica: Aplicações Considere o escalonamento de um sistema de computação onde cada processo recebe um slice de tempo fixo de CPU. Ao final do slice de tempo o processo pode sair da CPU com probabilidade p ou voltar para fila com probabilidade (1 p). O número de slices de tempo necessários para que o processo termine a execução é uma variável aleatória geométrica.

19 Geométrica: Aplicações p Z (i)=p(1 p) (i 1)

20 Poisson Representa o número de eventos em um intervalo (0,t] Considere l a taxa média de ocorrência dos eventos Em um pequeno intervalo Dt, a probabilidade de um novo evento é ldt Se Dt é muito pequeno, a probabilidade de dois eventos ocorrerem no mesmo intervalo é desprezível Suponha que o intervalo (0,t] possa ser dividido em n subintervalos de tamanho t/n Suponha que ocorrência de um evento em qualquer intervalo seja independente da ocorrência do evento em outro intervalo

21 Poisson

22 Poisson

23 Poisson Número de eventos que ocorrem em um determinado intervalo de tempo Parâmetros t: intervalo de tempo : taxa média de ocorrência de eventos por unidade de tempo pmf: Siméon-Denis Poisson ( ) (λ t)k P X (k)= k! ( λ t) e

24 Exemplo com Poisson Chegada de chamadas a um call center segue a distribuição de Poisson Taxa média de chegada é de 3 chamadas por minuto Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto? Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora?

25 Exemplo com Poisson Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto? 3 chamadas /minuto p X 0 = e ! =e 3

26 Exemplo com Poisson Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora? 3 chamadas /minuto 1 P[ X 100]=1 F X e k k! k=0

27 Exemplo com Poisson Chegada de mensagens em um switch segue a distribuição de Poisson com taxa média de 12/ms.

28 Exemplo com Poisson Qual probabilidade de termos exatamente 12 chamadas em um milissegundo? p X 12 = e !

29 Exemplo com Poisson Qual probabilidade de termos exatamente 100 chamadas em 10 milissegundos? p X 100 = e !

30 Exemplo com Poisson Qual probabilidade de termos mais do que 7 chamadas e menos do que 11 chamadas em 2 milissegundos? P [7 X 10]= k=8 k! k=10 p X k = k=8 k=10 e k

31 Hipergeométrica N componentes, d defeituosos Maneira de selecionar os defeituosos Selecionar k defeituosos de um conjunto de m selecionados Maneira de selecionar os não defeituosos

32 Hipergeométrica

33 Exemplo com Hipergeométrica

34 Exemplo com Hipergeométrica

35 Exemplo com Hipergeométrica Maneira de selecionar os canais que estão nas estações OK h(i;k, m, mn)= (m(n 1) )( m ) k i i Maneira de selecionar os canais que estão na estação que falhou Probabilidade de i canais que estavam sendo usados pertencerem a estação que falhou ( mn k ) Maneira de selecionar k canais em uso de um total de mn