Aula 1. Objetivo: Mostrar o papel fundamental da distribuição de Poisson no comportamento de grandes populações.

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1 Aula 1 Objetivo: Mostrar o papel fundamental da distribuição de Poisson no comportamento de grandes populações. Modelo População de n pessoas, n >> 1; Comportamento individual independente num intervalo de tempo fixo T; P{ir ao banco} = p; P{não ir ao banco} = 1 - p Discussão: Simplificação da realidade, aplicando o mesmo fator p (constante) a todos os indivíduos da população. Certamente, numa família, sendo todos correntistas do banco, um único membro pode executar tarefas para os outros. Considere que o modelo é válido, apesar de ser uma simplificação da realidade. Telefonia: Este mesmo modelo pode ser aplicado aos usuários de um PBX (central telefônica). Imagine que cada usuário disque durante o intervalo T com probabilidade p ou não disque com probabilidade 1-p. Também temos uma simplificação da realidade, pois possivelmente o mesmo fator p não deveria se aplicar a todos os usuários. Banco de Dados: Acesso a um banco de dados como, por exemplo, o SIGA. Usuários tentam acesso com probabilidade p ou não tentam com probabilidade 1-p. Usar uma mesma probabilidade para todos é uma simplificação da realidade. 1

2 Questão: Quantas pessoas em média vão ao banco no intervalo T fixo? Resposta: Vamos utilizar o conceito de variável indicadora para o i-ésimo usuário. I i variável indicadora que representa o comportamento do i-ésimo usuário no intervalo T fixo. I i = I i = 1, se i-ésima pessoa vai ao banco em T 0, se i-ésima pessoa não vai. Somente dois valores possíveis. I i é uma variável aleatória discreta. Função de Massa de Probabilidade ou PMF (Probability Mass Function) P{ I i = 1} = p, P{ I i = 0} = 1 p. pmf 1 - p p 0 1 valores possíveis Valor médio de I i = = E[I i ] [ ] { } { } { } [ ] Observação: Se uma pessoa vai ao banco com a probabilidade de 80%, então ela contribui com 0.80 para o número médio de pessoas que vão ao banco. 2

3 Formulação Matemática: N: v.a. que representa o número de pessoas que vão ao banco em T da população total de n clientes. { [ ] [ ] } *** Vamos rever neste ponto as propriedades da esperança. Assuma N=N1 + N2 E[N] = E[N1 + N2] = E[N1] + E[N2] sempre! Observação: A esperança da soma é a soma das esperanças mesmo que N1 e N2 sejam variáveis dependentes. O conceito de independência de variáveis aleatórias será revisto mais adiante. N = N 1 * N 2 E[N]=E[N 1 *N 2 ] = E[N 1 ]*E[N 2 ], apenas se N 1 e N 2 forem independentes! Ler Apostila: Capítulo 13 seção?, onde se prova esta propriedade. 3

4 [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { } { } { } [ { }] [ { }] Bônus: Como posso simplificar as expressões entre colchetes? 4

5 RESPOSTA: [ { }] [ { }] { } { } [ ] [ ] 5

6 Lembrar: { } { } e { } { } [ ] { } { } [ ] [ ] Recordando condicional: Se A e B são eventos independentes, então devo ter: P(A B) = P(A), ou seja, a existência de B não afeta a ocorrência de A. Consequência: 6

7 Retornando ao nosso problema: [ ] [ ] [ ] Se durante o intervalo de tempo T, np pessoas vão ao banco em média, a taxa média de chegadas de pessoas do banco (pessoas/s) é dada por ( ) Vamos mais longe... P{N=i} = probabilidade de i pessoas irem ao banco no intervalo de tempo T, considerando o modelo de comportamento? Resposta: { } Distribuição binomial. Estamos corretos? Bônus Mostre que: { } Resposta: seção? da apostila. 7

8 Binômio de Newton Observação: = { } *** Assuma que a taxa média de pessoas indo ao banco é fixa, ou seja, = para n >> 1 e moderado. Para que isto seja verdadeiro é necessário que p com n. Razoável? Banco tem espaço finito. Se muita gente vai ao banco, filas se formam e p tende a diminuir. À medida que a população de clientes cresce numa determinada agência é esperado que estes clientes usem mais a internet e menos a agência para manter estabilidade. Banco pode aumentar o número de clientes se investir em acesso remoto. 8

9 Assumindo então np = T (moderado e finito, mesmo com n ) { } { }, i 0 Distribuição de Poisson Relembrar: 9

10 Fluxo Poisson: chegadas com taxa constante tal que o número de chegadas em T é dado pela distribuição de Poisson. Grandes populações geram fluxos de Poisson! Distribuição de Poisson é uma distribuição discreta! { } { } { } { } { } [ ] { } { } média ou primeiro momento ou valor médio ou esperança [ ] [ ] ERRO GRAVE 10

11 Momentos de uma v.a. discreta [ ] { } k-ésimo momento [ ] { } Teorema fundamental da esperança [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } (z parâmetro) Pensando em termos de esperança condicional: [ ] { } [ ] { }, B é um evento qualquer. [ ] { } [ ] { } Então: [ ] [ ] { } { } (forma interessante de se pensar em termos de condicional) 11

12 Variância 2 o momento central [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) Atenção! [ ] é um número e não uma v.a! Momentos são sempre números! Pode a variância ser negativa? A variância é um número sempre positivo, pois é a esperança de uma função ao quadrado, e mede o espalhamento em torno da média. 12

13 Variância maior Variância menor Valor a fixo 13

14 N = v.a. com distribuição Poisson E[N 2 ] = Complicado! Como obter momentos de uma forma mais simples? Resposta: Usando uma função geradora de momentos. [ ] { } [ ] N(z) é a transformada z da pmf de N. z é um parâmetro qualquer, em geral um número complexo. Para variáveis aleatórias, N(z) é uma ESPERANÇA! Teoria: 1) Y = ax ( a número; X,Y v.as) E[Y] = E[aX] = a E[X] 2) Y = ax 1 + bx 2 E[Y] = E[aX 1 + bx 2 ] = ae[x 1 ] + be[x 2 ] 1 + b 2 A ESPERANÇA pode ser tratada como um operador linear, intercambiável com outros operadores lineares, como: somatório, derivada e integral. 14

15 Esperança com operador linear: 1), => [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2) [ ] [ ] [ ] 3) [ ] [ ] N(z) para a Distribuição de Poisson [ ] Memorizar: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Pode-se derivando N(z) e fazendo z = 1, obter todos os momentos da v.a N. 15

16 Para Poisson: (Como previsto) Resultado óbvio: se chegadas ocorrem a uma taxa, durante T ocorrerão T chegadas em média! Propriedade importante: A relação entre a pmf e sua Transformada Z é biunívoca. Plano Real Plano Complexo { } [ ] { } 16

17 Como caracterizar uma v.a N discreta? 1) { } 2) Função Distribuição ou PDF (Probability Distribution Function) ou CDF (Cumulative Distribution Function): { } { } 3) Calculando todos os momentos da variável aleatória N (pode-se mostrar que a pmf pode ser escrita como uma Série de Taylor envolvendo todos os momentos). Tarefa inglória. 4) Calculando N(z), que permite obter a pmf { } e também todos os momentos, se quiser. No plano real, trabalha-se com pmf e/ou cdf No plano complexo, trabalha-se com N(z) Em qual plano seria mais fácil trabalhar? 17