Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Introdução à simulação Geração de números aleatórios Lei dos Grandes Números Aula de hoje Geração de variáveis aleatórias: Transformada Inversa Acceptance-Rejection Method

2 Gerando Outras Distribuições Como gerar v.a. de outras distribuições? Utilizar a uniforme! V.a. discreta X (n valores diferentes) P [ X =x j ]=p j n j =1 p j =1 0 Como gerar valores de X? U(0,1) x 1 x 2 x 3 x 4... x n p 1 p 2 p 3 p 4... p n 1

3 Gerando V.A. Discreta V.a. discreta X P [ X =x j ]=p j n j =1 p j =1 Se 0 c d 1 e U é uniforme (0,1), então P [c U d ]=d c Assim, temos j 1 pi U j i=1 definição da v.a. uniforme! P [ X = x j ]=P [ i=1 p i ]= p j, i=1,2,...e j=1,2,...

4 Jogando um Dado Como gerar resultado de um dado? Qual a função probabilidade do dado? P [ D=i]=1 /6 para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 D é a v.a. que indica resultado do dado U(0,1) = /6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

5 Gerando V.A. Contínua Mesma idéia: utilizar uniforme(0,1) Método da transformada inversa U(0,1) 1 F X (x) Função de distribuição cumulativa: P[X <= x] 0 x x

6 Método da Transformada U(0,1) 1 F X (x) Inversa 0 x x Seja U uniforme (0, 1) e X uma v.a. com função distribuição cumulativa F. X é dado por: X =F 1 U onde F -1 é a inversa de F (valor de x para o qual F(x) = u)

7 Método da Transformada Inversa (Prova) Seja X uma v.a. com função de prob. cumulativa F X Seja U uma v.a. Uniforme (0,1) Assuma que X é obtido através de F -1 (U) Provar que F X (x) = F(x) F X x =P [ X x ] = P [ F 1 U x ] definição = = = P [ F F 1 U F x ] P [U F x ] F x definição uniforme Equivalência de eventos e monotonicidade de F

8 Gerando uma Exponencial Seja X v.a. exponencial com parâmetro F X x =1 e x logo, Pelo método, temos que Então: F x =u X 1 e x =u e x =1 u x=log 1 u x= 1 log 1 u x=f X 1 u x= 1 log u (1-U) também é uniforme(0,1)

9 Acceptance-Rejection Method Seja Y v.a. com pmf q Y (y) e X v.a. com pmf p X (x) Suponha que exista um método para gerar Y Considere c uma constante tal que: p y X c, para todo y q Y y

10 Acceptance-Rejection Method É possível gerar X a partir de Y. A probabilidade de uma amostra de Y ser aceita como amostra de X é dada por: Algoritmo: Gerar uma amostra y de Y com pmf q Y (y) Gerar U v.a. Uniforme (0,1) Se U de X) p X y c q Y y p X y c q Y y 1 senão gerar outra amostra de Y. então x=y (y é aceito como amostra

11 Acceptance-Rejection Method Prova:

12 Acceptance-Rejection Method Prova:

13 Acceptance-Rejection Method Prova: P [ X =i ]=P [Y=i /U p X i /cq Y i ], P [ X =i ]=P [Y=i, U p X i /cq Y i ]/K, P [ X =i ]=P [Y=i ]P [U p X i /cq Y i ]/K, P [ X =i ]=[q Y i p X i /cq Y i ]/ K, P [ X =i ]=p X i /ck, pois Y e U são v.a. independentes pois U é v.a. Uniforme (0,1) onde K =P [U p X i /cq Y i ] K é a probabilidade de uma amostra ser aceita somando para todo i, temos 1=1/ ck, logo K =1/c como esperado

14 Acceptance-Rejection Method Cada iteração do algoritmo resulta em um valor aceito com P[aceito] = K = 1/c. O número de iterações necessárias é uma v.a. Geométrica com parâmetro 1/c e média c. O algoritmo torna-se mais eficiente quanto menor for o valor de c.

15 Exemplo acceptance-rejection method Gerar uma v.a. Normal ( =0, 2 =1) a partir de uma v.a. Exponencial ( =1) Primeiro passo: Cálculo da constante c : c f X (x)/g Y (x),onde f X (x)=(2/ 2π)e x 2 /2 e g Y (x)=λ e λ x logo, c= 2e/π

16 Exemplo acceptance-rejection method Algoritmo: Gerar v.a. exponencial y, v.a. uniforme(0,1) u 1 e u 2 Se u 1 e y 1 2 /2 Então Se u 2 > 0.5 Então x=y Senão x=-y Senão volta para o passo inicial

17 Simulação O que é uma simulação? realização da evolução de um sistema estocástico no tempo Como caracterizar o sistema em um instante de tempo? através de seu estado Como construir um simulador? programa que acompanha evolução do estado do sistema no tempo

18 Tempo Médio na Fila + Servidor Como obter tempo médio via simulação? Tempo médio na fila + servidor: tempo desde o instante de chegada até o instante de saída W i : tempo de espera do i-ésimo elemento a chegar na fila (v.a.) Estimativa n W = 1 n i=1 W i

19 Fila - Parâmetros O que precisamos saber para simular uma fila? Processo de chegada Tempo de serviço Capacidade da fila Política de atendimento aleatório determinístico Parâmetros das v.a. ex. Poisson (taxa)

20 Fila - Estado Qual o estado do sistema? número de elementos na fila Estado evolui (muda) em instantes discretos no tempo Em que instantes? instante de chegada e instante de saída

21 Fila - Eventos Ações que modificam o estado do sistema Dois eventos: chegada e saída O que ocorre em cada um destes eventos? Chegada anotar o instante de chegada do elemento incrementar a fila Quando atualizar o tempo? Saída anotar instante de saída do elemento decrementar a fila Quando gerar próxima chegada ou saída?