Simulação de Sistemas. Adaptado de material de Júlio Pereira Machado (AULA 17)
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- Diogo Cordeiro Caiado
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1 Simulação de Sistemas Adaptado de material de Júlio Pereira Machado (AULA 17)
2 Análise dos Dados de Saída Além das tarefas de modelagem e validação, devemos nos preocupar com a análise apropriada dos resultados obtidos em uma simulação. Um erro a ser evitado é a realização de uma execução do modelo de simulação e considerar os resultados obtidos como dados característicos do modelo construído. Porquê? Utilizamos amostras de variáveis aleatórias. As amostras podem apresentar grande variância.
3 O resultado de uma simulação, para ter um significado válido, deve passar por técnicas de análise estatística. Porquê? Como os dados de entrada para a simulação são descritos por variáveis aleatórias, os dados de saída de um modelo simulado também são aleatórios. Em outras palavras, os dados de saída representam um processo estocástico.
4 Exemplo: Considere um banco com 5 caixas e uma única fila. O banco abre às 10 horas e fecha às 16 horas, mas continua funcionando até que todos os clientes que estavam na fila sejam atendidos. A chegada de clientes é dada por uma distribuição exponencial com média 1 minuto para o tempo entre chegadas. O tempo de serviço é uma distribuição exponencial com média 4 minutos. A fila é do tipo FIFO. A tabela a seguir traz os resultados para 10 replicações independentes.
5 Replicação No. clientes atendidos Hora de fechamento Tempo médio na fila (min) Tamanho médio da fila ,12 1,53 1,52 0, ,14 1,66 1,62 0, ,19 1,24 1,23 0, ,03 2,34 2,34 0, ,03 2,00 1,89 0, ,32 1,69 1,56 0, ,09 2,69 2,50 0, ,19 2,86 2,83 0, ,15 1,70 1,74 0, ,24 2,60 2,50 0,779 Proporção de clientes com atraso < 5 min
6 A variação nos dados de saída depende: parâmetros de configuração do sistema amostras dos números aleatórios utilizados Durante a análise dos dados, deve-se estar ciente da origem das variações encontradas Intervalo de confiança é um intervalo no qual nós podemos ter um certo nível de confiança de que a média (de um valor de interesse) lá se encontra.
7 Intervalo de Confiança Um intervalo de confiança é um intervalo no qual nós podemos ter um certo nível de confiança de que a média (de um valor de interesse) lá se encontra. Suponha X 1,X 2,...,X n observações de X (v.aleatória) n Média Xi X(n) = i= 1 Variância da amostra n S 2 i= 1 ( n) = n [ X i X ( n) ] n 1 2
8 Intervalo de Confiança: X ( n) ± t n 1,1 α / 2 S 2 ( n) n Onde t é dado por uma tabela (Tabela 1 de Kelton e Law)
9
10 Tipos de Simulação Com relação à análise dos dados de saída, divide-se as simulações em duas classes: Terminantes Não-terminantes (ou estacionárias)
11 Simulações Terminantes Quando a simulação deve executar por um tempo T E, onde E é um evento específico que indica o término da simulação. Exemplos Uma fábrica de aeronaves recebe um contrato para produzir 100 aviões dentro do prazo de 18 meses. Uma simulação é realizada para verificar qual configuração do chão de fábrica proporciona a produção no tempo limite. Neste caso E={100 aviões produzidos} Simular o funcionamento de um banco das 10:00AM até as 16:00PM. Neste caso, T E ={6 horas simuladas}
12 Simulações Não-terminantes Quando não existe um evento natural que assinala o término da simulação. São simulações de sistemas que executam continuamente ou por um período de tempo suficientemente longo. Tempo de simulação é definido pelo analista e não por um evento natural. Exemplos: Um grande sistema computacional, que opera 24 horas por dia, está atingindo o limite de capacidade. Deseja-se simular diversas opções de upgrade para verificar qual a mais vantajosa em termos de custo/benefício.
13 Obs.: alguns sistemas funcionam na fronteira entre as duas classificações. Ex.: uma fábrica opera 16 horas por dia (em dois turnos) e a manufatura é um processo executado dia-a-dia continuamente. A cada dia, as condições resultantes do término do dia anterior são utilizadas como condições iniciais para o sistema.
14 Efeitos Transientes e Estados Estacionários Em geral, na análise dos dados de saída, estaremos interessados em dois aspectos: Em sistemas terminantes é normal trabalharmos sobre o comportamento até atingir determinado objetivo (comportamento transiente) Nro de escalonamentos necessários para terminar processo Tempo para descarregar navio...
15 Em sistemas não-terminantes é comum centrarmos o foco no comportamento do sistema quando se atinge o chamado estado estacionário. Na análise do estado estacionário é importante garantir que os efeitos transientes já foram perdidos. Características do estado estacionário: Quando uma simulação atinge um estado estacionário, este é um estado de equilíbrio dinâmico no qual os efeitos das condições iniciais já foram eliminados.
16 Mais formalmente, uma simulação está em um estado estacionário se a probabilidade de estar em um dos seus estados é governada por uma função de probabilidade fixa.
17 Exemplo: Simulação de um sistema de filas com uma fila e um servidor. Processo de chegada segue uma distribuição exponencial de média 1. Processo de atendimento é exponencial de média 0,7. >> Estamos interessados no tamanho da fila ao longo do tempo e no tamanho médio da fila.
18 Tamanho da fila Tamanho médio da fila
19 Como Atingir o Estado Estacionário Manipulação das condições iniciais Definição de períodos de aquecimento Manipulação das condições iniciais: A noção básica é que a simulação deve iniciar em algum estado que acredita-se ser representativo do sistema real em operação. Ex.: em uma simulação de uma fábrica, assumiria-se certos valores iniciais para as tarefas em execução e as taxas de ocupação das máquina.
20 Problemas possíveis: Não existirem condições típicas a serem avaliadas pois o sistema simulado não existe na realidade. Não se conhece as condições típicas pois se está avaliando o sistema sob condições inéditas. Podemos estar interessados em comparar diferentes políticas de funcionamento do sistema e não queremos introduzir erros devido às condições iniciais escolhidas serem mais favoráveis a uma política que a outra.
21 Períodos de Aquecimento: Este método evita os problemas encontrados no método anterior. A idéia é: A simulação deve iniciar em uma condição não-realista, como uma condição cujos dados são nulos. A simulação deve proceder até atingir um estado estacionário. Dados para a análise devem ser coletados deste ponto em diante. A maioria dos softwares de simulação permitem especificar um ponto inicial para a coleta dos dados.
22 Qual o tamanho do período de aquecimento? Se muito longo, então estamos desperdiçando tempo. Se muito pequeno, então efeitos transientes serão incluídos na análise.
23 A) Selecionar uma variável (variáveis) e tratá-la(s) com variável (variáveis) de controle sobre a qual coletamos valores em uma série temporal desde o início da simulação. Constrói-se um gráfico e verifica-se o ponto onde os efeitos transientes terminam.
24 Ex.: gráfico de uma variável de controle para o tamanho médio de uma fila de simulação com o passar do tempo.
25 B) Exportar um conjunto de observações sobre as variáveis em séries temporais para um pacote de análise estatística e aplicar métodos específicos de avaliação para identificar o período dos efeitos transientes.
26 Tratamento de Saídas Existem algumas alternativas de análise dos dados de saída de uma simulação discreta: replicação simples agrupamento métodos regenerativos
27 Replicação Simples: Estratégia mais básica. Consiste em realizar várias execuções independentes para uma simulação sob as mesmas condições de operação. Diferentes números randômicos são utilizados em cada replicação. Ou seja, diferentes sementes são fornecidas para os geradores de números aleatórios de forma a evitar que haja uma sobreposição dos períodos dos geradores.
28 Agrupamento: Em vez de executar uma simulação diversas vezes, perdendo tempo no período de aquecimento da simulação, uma alternativa é executar uma simulação longa e dividir os resultados em uma seqüência de agrupamentos. A idéia é garantir que as observações dentro de um mesmo grupo sejam independentes de outras localizadas em outro grupo.
29 Ex.: em uma simulação de espera em fila para um total de clientes, podemos agrupar as observações em 10 grupos de clientes.
30 Suponha que as observações sejam divididas em n grupos, cada qual com k observações de uma variável X, com valores x 1,x 2,...,x k. Cada agrupamento representa uma amostra independente sobre a qual podemos realizar uma estimativa de algum parâmetro para a variável aleatória X. estimativa da média do agrupamento j. média de X será a média das n estimativas. x j k x x i i= = 1 j= X = 1 k n a variância é obtida pela soma das n variâncias. n j
31 Tal cálculo é possível se tomarmos algumas medidas básicas: k e n devem ser grandes o suficiente, tipicamente: k na casa dos milhares. n deve possuir valor acima de algumas dezenas (>30).
32 Métodos Regenerativos: Este método se assemelha ao agrupamento, exceto que o início e fim dos grupos de observações são determinados pelo funcionamento interno do modelo simulado e não pelo analista. O método baseia-se no fato de que muitos processos estocásticos retornam, de tempos em tempos, a um estado especial. Estes estados especiais indicam que eventos anteriores a ele são independentes dos eventos posteriores. Ex.: em um sistema de fila, um estado especial seria a ocasião onde servidores e filas estão vazios.
33 Fim
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