PRE29006 LISTA DE EXERCÍCIOS #

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1 INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS SÃO JOSÉ COORDENADORIA DE ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES PRE9006 LISTA DE EXERCÍCIOS # 06. Eercícios. Considere uma variável aleatória X cuja função densidade de probabilidade está mostrada abaio. h a (a) Determine o valor da constante h em função da constante a. (b) Determine e esboce a função de distribuição acumulada de X. (c) Determine Pr[X a/].. [, Eercício.4.30] Uma variável aleatória contínua X é definida pela seguinte função densidade de probabilidade: k, se 0 <, f X () = (a) Determine e esboce a função de distribuição acumulada de X. (b) Calcule a probabilidade de X assumir valores maiores que /. (c) Calcule a probabilidade de que, em 4 eperimentos independentes, a variável X assuma pelo menos uma vez um valor maior que /. 3. [3, Problem 4.33] Determine a função massa de probabilidade de uma variável aleatória X que representa o número de eperimentos de Bernoulli necessários para alcançar o segundo sucesso. Desafio: Generalize para o n-ésimo sucesso.

2 4. [4] Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y distribuídas conjuntamente de acordo com a tabela abaio. X Y 0 0 0,0 0,0 0,0 0,04 0,08 0,08 0,06 0, 0, (a) Determine as funções massa de probabilidade marginais de X e Y. (b) Determine as funções massa de probabilidade de X + Y e XY. (c) São X e Y independentes? (d) Determine as funções massa de probabilidade condicionais de X, dado Y = 0, e de Y, dado X =. (e) Determine Pr[X, Y ] e Pr[X Y = 0]. 5. Considere uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada está mostrada abaio, em que a e b são constantes tais que 0 < a < b. F X () b a a b Determine e esboce a função densidade de probabilidade de X. Sua resposta deve estar em função de a e b. 6. Seja U uma variável aleatória contínua distribuída uniformemente no intervalo [0, 4]. Seja X uma outra variável aleatória, que depende de U da seguinte maneira: Dado que 0 U, então X é distribuída uniformemente no intervalo [0, ]. Caso contrário, tem-se X = 3. (a) Determine e esboce a função densidade de probabilidade de X. (b) Determine e esboce a função de distribuição acumulada de X. (c) Determine Pr[X ], Pr[X 3] e Pr[ X 3].

3 7. Sejam B, B, B 3 três variáveis aleatórias discretas independentes, cada qual distribuída uniformemente sobre o conjunto 0, }. Sejam X = B + B + B 3 e Y = B B B 3. (a) Determine a função massa de probabilidade conjunta de X e Y. (b) Determine e esboce as funções massa de probabilidade marginais de X e Y. (c) São X e Y variáveis aleatórias dependentes ou independentes? Justifique. 8. Considere a variável aleatória X definida através do seguinte eperimento probabilístico. Um dado honesto é lançado. Se o resultado for, então X =. Se o resultado for ou 3, então X = 0. Se o resultado for 4, então X =. Se o resultado for 5 ou 6, então X Unif(, ). (a) Determine e esboce a função densidade de probabilidade de X. (b) Determine Pr[ X 3]. (c) Determine Pr[X X 3]. 9. O tempo de espera X, em minutos, de um usuário em um sistema de filas é zero, se ele encontra o sistema livre, ou eponencialmente distribuído, se ele encontra o sistema ocupado mais precisamente, f X ocupado () = e u(). As probabilidades de ele encontrar o sistema livre ou ocupado são de 5 % e 75 %, respectivamente. (a) Determine e esboce a função densidade de probabilidade de X. (b) Determine a probabilidade de o usuário esperar mais do que minuto. 0. [, Eercício 3.8] Considere a função densidade de probabilidade conjunta f X,Y (, y) = π, se + y, (a) Determine a função densidade de probabilidade condicional f X Y =y (). (b) Verifique se X e Y são ou não variáveis aleatórias estatisticamente independentes. (c) Calcule a probabilidade de X ser positivo sendo dado que Y é positivo. (d) Calcule a probabilidade de X ser maior que Y. 3

4 . [, Eercício 3.9] Considere duas variáveis aleatórias X e Y distribuídas conjuntamente de acordo com a função densidade de probabilidade k(3 y), se 0 4 e 0 y, f X,Y (, y) = (a) Determine o valor da constante k. (b) Determine e esboce as densidades marginais de X e Y. (c) São X e Y independentes? (d) Calcule Pr[Y > X].. [, Eercício 3.9] Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função densidade de probabilidade conjunta constante e diferente de zero apenas na área sombreada da figura abaio. y (a) Determine a função densidade de probabilidade conjunta de X e Y. (b) Determine e esboce a funções densidade de probabilidade marginais de X e Y. (c) Determine Pr[Y > / X /]. 3. Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função densidade de probabilidade conjunta dada por k, se (, y) R, f X,Y (, y) = k, se (, y) R, onde k é uma constante positiva e R e R são as regiões sombreadas da figura abaio. y R R 4

5 (a) Determine o valor da constante k. (b) Determine e esboce as funções densidade de probabilidade marginais de X e de Y. (c) Determine e esboce as funções de distribuição acumuladas de X e de Y. (d) Determine a função densidade de probabilidade condicional de X dado que Y = y. Esboce a função densidade de probabilidade obtida, em função de, para y = 3/ e y = 3/. 4. Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função densidade de probabilidade conjunta f X,Y (, y) constante e diferente de zero apenas na área sombreada da figura abaio. y (a) Determine e esboce as funções densidade de probabilidade marginais de X e de Y. (b) Determine e esboce as funções de distribuição acumuladas marginais de X e de Y. (c) Determine a função densidade de probabilidade condicional de X dado que Y = y. Esboce a função densidade de probabilidade obtida, em função de, para y = / e y = 3/. 5. [, Eercício 3.] Uma régua de comprimento unitário é quebrada em um ponto aleatório. O pedaço da esquerda é novamente quebrado. Seja X a variável aleatória que define, a partir da etremidade esquerda da régua, o ponto em que a régua é quebrada pela primeira vez e Y a variável aleatória que define o segundo ponto de quebra. (a) Determine as funções densidade de probabilidade marginais f X () e f Y (y) e as funções densidade de probabilidade condicionais f X Y =y () e f Y X= (y). (b) Calcule a probabilidade de que um triângulo possa ser formado com as três peças obtidas. (Lembre-se de que, num triângulo, o comprimento de qualquer um dos lados é menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.) 5

6 Referências [] J. P. A. Albuquerque, J. M. P. Fortes, and W. A. Finamore, Probabilidade, Variáveis Aleatórias e Processos Estocásticos. Editora Interciência, 008. [] P. L. O. Costa Neto and M. Cymbalista, Probabilidades, nd ed. Editora Edgard Blücher, 006. [3] S. M. Kay, Intuitive Probability and Random Processes using MATLAB R. Springer, 006. [4] L. A. Peternelli, Estatística I: Notas de Aula. Universidade Federal de Viçosa, 00. Respostas 0, se < 0,. (a) h = a. (b) F X() =, se 0 a, a, se > a. 0, se < 0,. (a) F X () =, se 0,, se >. (c) 4. (b). (c) p X () = ( )( p) p, =,,.... p X () = 4. (a) p X (0) = 0,50, p X () = 0,0, p X () = 0,30. p Y (0) = 0,0, p Y () = 0,40, p Y () = 0,40. ( ) ( p) n p n, =,,.... n (b) p X+Y (0) = 0,0, p X+Y () = 0,4, p X+Y () = 0,34, p X+Y (3) = 0,0, p X+Y (4) = 0,. p XY (0) = 0,60, p XY () = 0,08, p XY () = 0,0, p XY (3) = 0, p XY (4) = 0,. (c) Sim. (d) p X Y =0 (0) = 0,50, p X Y =0 () = 0,0, p X Y =0 () = 0,30. p Y X= (0) = 0,0, p Y X= () = 0,40, p Y X= () = 0,40. (e) 0,30 e 0,70. /(b a), se a < < b, 5. f X () = 6. (a) f X () = 8 [0 ] δ(). 0, se < 0, (b) F /8, se 0 <, X() = /4, se < 3,, se 3. (c) 8,, 7 8. /8, se (, y) = (0, 0), /8, se = 0, 3/8, se (, y) = (, 0), 3/8, se =, 7/8, se y = 0, 7. (a) p X,Y (, y) = (b) p X () = p Y (y) = 3/8, se (, y) = (, 0), 3/8, se =, /8, se y =. /8, se (, y) = (4, ). /8, se = 4. (c) 3. 6 (d) X e Y são dependentes. 8. (a) f X () = 6 δ( + ) + 3 δ() + δ( ) + 6 [ ]. (b) 4. (c) (a) f X () = 4 δ() e u(). (b) 3 4e 0,76. 6

7 0. (a) f X Y =y () = y, se y, (b) X e Y são dependentes. (c). (d).. (a) k = 6. (b) f, se 0 4, X() = 4 (c) Sim. (d) 5 4., se e 0 y,. (a) f X,Y (, y) = (definido apenas para y ) 3 y, se 0 y, f Y (y) = 4 (b) f X () =, se, f Y (y) = ( y), se 0 y, (c) (a) k = 3. /3, se, /3, se y, (b) f X () = /3, se, f Y (y) = /3, se y, (c)., se,, se, (d) f X Y =3/ () = f X Y = 3/ () = /6, se <, /3, se 0 < y <, 4. (a) f X () = /3, se < <, f Y (y) = /3, se < y <, (b). /, se < <, /4, se <, (c) f X Y =/ () = f X Y =3/ () =, se 0, ln y, se 0 y, 5. (a) f X () = f Y (y) =, se y, f X Y =y () = ln y (definido apenas para 0 y ), se 0 y, f Y X= (y) = (definido apenas para 0 ) (b) ln 0,93. 7