Lista de Exercícios 2 1

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Lista de Eercícios Mostre, utilizando a definição formal, que os ites abaio eistem e são iguais ao valor dado (4 = 7 (b 4 + = 4 Sabendo que f( = 0, g( = e ( =, determine os ites abaio, caso eistam: [f( + ( g(] (b [((g( ] ( (c (g( Respostas: (a 7; (b 8; (c 4 Calcule os ites abaio: (a (b ( [( + 4 ( + ] (c [( 0 ( + 4] (d t t + t + t t + 6 (e t t (g 7 ( + / ( [ sen( cos( + cotg(] π/ (i 4 (e + 4 Respostas: (a 9; (b 7; (c 4096; (d 4 ; (e ; ; (g 9; ( ; (i e Considere a seguinte função: f( = cos(, π +, se π < < 0 + +, se 0 < e, se (a Esboce o gráfico de f( (b Pelo gráfico, o que podemos afirmar sobre Respostas: (b 0; ; não eiste, se < 6, se = Seja f( =, se <, se > Calcule: f(? E f(? E f(? π Esta lista foi elaborada em parceria com a professora Monique Rafaella Anunciação de Oliveira - DEMAT/UFOP

2 (a f( (b f( (c f( (d f( (e + f( f( Respostas: (a ; (b Não eiste; (c 6; (d 0; (e ; Não eiste ( 6 Calcule 4 cos Resposta: 0 7 Dada f( = +, eiste f(? Resposta: Não 8 Sabendo-se que as desigualdades 6 < sen( cos( calcule Resposta: sen( cos( 9 Calcule, caso eista, o ite: < valem para todos os valores de próimos de zero, (b 4 4 t 9 (c t t + 7t + + (d 7 7 (m ( 4 + [ ( cos (n f(, onde f( = + (e (g ( ( ] e + cos + ln( cos( + e se < se < + se (i (j + (k 4 (l Respostas: (a ; (b 4 ; (c ; (d 6 ; (e 7 ; ; (g ; ( ; (i 0; (j 0; (k 0; (l ; (m 0; (n Calcule 0 f( 0 + f( 0 em cada caso a seguir: (a f( = (b f( = 4 (c f( = n (d f( = a + b (e f( = a + b + c f( = a + b + c + d (g f( = Respostas: (a 0; (b 4 0; (c n n 0 ; (d a; (e a 0 + b; a 0 + b 0 + c; (g Calcule, caso eista, o ite: 0 ( 4 (b 4 [ (c t 0 t + t ] t (d (e (g ( (i (j [ 9 + ] [ + ] + + e cos( + e e + (k 7 (l + [ ] (m + [ ] (n (o + + 4

3 (p (q (r (s (t (u (v (w 6 + Respostas: (a + ; (b Não eiste; (c ; (d ; (e + ; ; (g ; ( ; (i 0; (j ; (k Não eiste; (l 6 + ; (m + ; (n ; (o 0; (p 0; (q ; (r ; (s + ; (t + ; (u + ; (v ; (w ; Sejam p( um polinômio de grau a e q( um polinômio de grau b De acordo com as possibilidades para a e b, p( o que pode acontecer com o ite + q(? Resposta: ± se a > b; 0 se a < b; um número inteiro se a = b Verifique se alguma das funções abaio possui assíntota vertical ou orizontal Em caso positivo, determine-as (a f( = 4 (b g( = (c ( = + 4 (d j( = 4 + (e l( = + Respostas: (a = 4; y = 0; (b =, = ; y = 0; (c = ± (e Não possui 4 Se eiste f(, então é verdade que f( = f(? Justifique sua resposta Resposta: Não Considere a função f( = ln( ; y = ± ; (d = ; y = ; (a Utilizando uma calculadora (e propriedades da função logarítmica, calcule os valores de f( para = 0,, = 0, 0 = 0, = 0 4, = 0 9, = 0 4, = 0 (b Esboçe o gráfico de f( (c Baseado nos itens anteriores, o que você pode dizer sobre + f(? Respostas: (a, ; 4, 6; 9, ; 0, 7;, ; 7, ; (c 6 Determine o domínio das seguintes funções Determine onde elas são continuas: (a f( = cos( (b f( = se( (c f( = 4 (d f( = tg ( + + se < 0 (e f( = se = 0 cos( se > 0 f( = se 0 se > 0 Respostas: (a D = R, Contínua em R; (b D = R 0}, Descontínua em = 0; (c D = R, }, Descontínua em = e = ; (d D = k Z( [(π + kπ ], [(π + (k + π ], Descontínua em = [(π + kπ ], onde k Z; (e D = R, Contínua em R; D = R, Contínua em R 7 Calcule, caso eista, o ite: ( (b cossec( π (c cossec( π (d + (e 0 + ( 9 (g t 0 a + bt a t

4 ( (i t 9 9 t t (j arctg ( 4 6 cos( (k tg( (l tg( ( (m sen (n ln( + (o ln( (p [ ] (q + + (r (s e (t tg( (u cos( (v sen( (w sen(4 ( sen( (y cos( sen( (z sen( (aa sen( (ab e (sen ( + cos( π Respostas: (a ; (b + ; (c Não eiste; (d ( ( + ; (i 6; (j arctg b ; (e ; 0; (g se a > 0; não eiste se a < 0; 0 a ; (k 0; (l ; (m Não eiste; (n ; (o ; (p 8 ; (q + ; (r ; (s 0; (t ; (u 0; (v 0; (w 4; ( ; (y 0; (z 0; (aa sen( ; (ab 0 9, se 8 Seja f a função definida por: f( = 4, se = (a Esboce o gráfico de f( (b Calcule f( (c A função f( é contínua em =? Justifique Respostas: (b 0; (c Não sen( 9 Mostre que = Nos casos abaio encontre os pontos nos quais a função f é descontínua, e esboce o gráfico (a f( = (b f( = +, se 0, se 0 < (, se > +, se, se < (, se > +, se < 0 (c f( = e, se 0 <, se Respostas: (a 0; (b ; ; (c 0; Determine, se possível, os valores das constantes a, b e c que tornam a função f contínua em (, + nos seguintes casos: (a f( = (b f( = (c f( = 7, se a, se > b, se + b, se > c +, se < c, se (d f( = (e f( = 4, se < a b +, se < a + b, se +, se > a( + + b, se < + + 7, se

5 Respostas: (a a = ; (b b = 4 ; (c c = ; (d a = b = ; (e a =, b = 4 Dê eemplo de duas funções f e g descontínuas em um certo ponto = c tal que f + g seja contínua neste ponto É verdade que uma função contínua que nunca é zero em um intervalo I nunca muda de sinal em I? Justifique sua resposta Resposta: Sim 4 Determine constantes a, b e L para que a função abaio seja contínua em R: + a +, para < f( = L, para = b + 4, para > Resposta: a = 4, b = 6 e L = sen Mostre que a função f( = (, se 0 0, se = 0 é contínua em = 0 6 Mostre que a equação = 0 possuí pelo menos duas raízes reais 7 Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação + = 0 possui pelo menos uma solução no intervalo [, ] 8 Mostre que, se p( é um polinômio de grau ímpar, então a equação p( = 0 possui pelo menos uma solução real