Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I

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1 Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I 28 de Março de 23 Questão [2,5 pontos] Calcule os limites abaio quando eistirem: 3 a) lim b) lim Questão 2 [3,75 pontos] Considere a função f dada por + se, f() = 2 + se < <, + 2 se. Calcule os limites abaio quando eistirem: a) lim f() b) lim f() 2 c ) lim f() Questão 3 [3,75 pontos] Considere a função f() = 3. a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (, 3 ). b) Usando (3.a) determine os valores de a e b onde f assume seus valores máimo e mínimo, respectivamente, no intervalo (, ). - a b

2 Segundo Teste de Cálculo Infinitesimal I 4 de Abril de 23 Questão [7,5 pontos] Para cada uma das funções abaio, determine o valor de a, se for possível, de modo que a função seja contínua. a) b) c ) f() = se, a se = se <, f() = a se =, 2 3 se > se <, f() = a se =, + 4 se >. Questão 2 [2,5 pontos] Dê eemplo de polinômios p() e q() tais que a função racional f() = p() tenha gráfico semelhante ao esboçado abaio. q() - 2

3 Terceiro Teste de Cálculo Infinitesimal I de Abril de 23 Questão [2 pontos] Calcule: ( 2 ) lim ( 2) sen Questão 2 [6 pontos] Seja f uma função contínua tal que f() = 2, f(2) = 3, f(3) = e f(4) = 2. Diga se é verdadeiro ou falso: a) Pode-se afirmar que f não tem raiz em [, 2]. b) Pode-se afirmar que f tem pelo menos duas raízes em [, 4]. c ) Pode-se afirmar que f tem eatamente uma raiz em [2, 3]. Questão 3 [2 pontos] A função parte inteira de, denotada por é definida como sendo o único inteiro n tal que n < n +. Eemplos:, 5 =, = e, 5 = 2. Calcule o limite abaio, se ele eistir: lim.

4 Quarto Teste de Cálculo Infinitesimal I 9 de Maio de 23 Questão [4 pontos] Considere um triângulo retângulo de catetos de comprimentos 5 e 2. Entre todos os retângulos inscritos neste triângulo que têm um de seus lados sobre um cateto, determine os lados daquele que tem área máima. Questão 2 [6 pontos] Esboce o gráfico da função f abaio, eplicitando raízes, pontos de máimo e de mínimo locais e globais, pontos de mudança de concavidade e assíntotas horizontais e verticais. f() = e

5 Primeira Prova de Cálculo Infinitesimal I 2 de Maio de 23 Questão [2 pontos] Calcule os limites abaio, quando eistirem. a) lim 3 + tan 5 ( 2)( 2 4). b) lim sen Questão 2 [2 pontos] Calcule as derivadas das funções abaio: 3 + a) f() = sen(3 + e 2 ). b) g() = 2 +. Questão 3 [2 pontos] Seja f() = Mostre que eiste a R tal que f(a) =. Questão 4 [2 pontos] Esboce o gráfico da função f abaio, eplicitando raízes, pontos de máimo e de mínimo locais e globais, pontos de mudança de concavidade e assíntotas horizontais e verticais. f() = 3 ( ) 2 ( + 2) + 2. Sugestão: pode-se adimitir (sem justificativa) que f () = 6 2 ( ) 3 ( + 2) 2 e f () = 6( ) ( ) 4 ( + 2) 3. Questão 5 [2 pontos] Uma cerca de 8m é paralela a um prédio alto (veja figura). Se a cerca está a m do prédio, qual o comprimento da menor escada que alcança a parede do prédio? PSfrag replacements 8m cerca escada m

6 Quinto Teste de Cálculo Infinitesimal I 23 de Maio de 23 Questão [3 pontos] Calcule os limites abaio: sen( ) a) lim, log e b) lim + 2, c ) lim Questão 2 [5 pontos] Determine o ponto do gráfico de f() = mais próimo ao ponto (2, ). Questão 3 [2 pontos] Seja f : [, + ) R tal que. f() =, 2. f é derivável e f é integrável, 3. f (), >. Mostre que f(), >.

7 Seto Teste de Cálculo Infinitesimal I 3 de Maio de 23 Questão [4 pontos] Seja f() = se < 2, se 2 < 4, 2 se 4 < 5. Determine: a) 3 f()d. b) 5 f()d. Questão 2 [4 pontos] Calcule, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, 4 (2 3 3 )d. Questão 3 [2 pontos] Diga se são verdadeiras ou falsas cada uma das afirmativas abaio, justificando suas respostas. a) Se b) b a b a f()d =, então f() = para todo [a, b]. [ 2 ( ) b 2d f() = f()d]. a

8 Sétimo Teste de Cálculo Infinitesimal I 6 de Junho de 23 Questão [8 pontos] Calcule a) e cos(e + 3)d b) c ) sen e cos d e 2 d d) e ) e log d + 2 d f ) log d g) cos 2 d + h) e cos d sen 2 d Questão 2 [2 pontos] Calcule log d. Sugestão: use que log = log e integre por partes.

9 Oitavo Teste de Cálculo Infinitesimal I 3 de Junho de 23 Questão [4 pontos] Calcule as áreas hachuradas das figuras (a) e (b). Questão 2 [4 pontos] Calcule o volume do sólido de revolução gerado quando a região hachurada da figura (c) é rotacionada em torno do a) eio b) eio. Questão 3 [2 pontos] Considere um móvel preso a uma mola e deslizando sobre uma superfície sem atrito (veja figura (d)). Sua aceleração é dada por a(t) = Aω 2 cos(ωt) t (onde A e ω são constantes). No instante t = PSfrag replacementso móvel está na posição () PSfrag = A replacements e tem velocidade v() =. Determine a função (t) que determina a posição do corpo ao longo do tempo. 2 A A = sen() = cos() PSfrag replacements = 2 = 2 2 A A = 2 = 2 PSfrag replacements = cos() = sen() (a) (b) A A = 2 = 2 = sen() = cos() 2 2 = 2 = 2 = sen() = cos() A A (c) (d)

10 Último Teste de Cálculo Infinitesimal I - Ufa! 27 de Junho de 23 Questão [2,5 pontos] Calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação do gráfico de = 3 em torno do eio com [, ]. π Resposta: 27 (3/2 ). Questão 2 [2,5 pontos] Considere a função g dada por g() = Mostre que g(ab) = g(a) + g(b) + log 3. 3 ds s >. Questão 3 [2,5 pontos] Calcule o comprimento total do perímetro da astróide: 2/3 + 2/3 =. Resposta: 6. PSfrag replacements Questão 4 [2,5 pontos] Uma barraca de camping é construída sobre uma base quadrada com duas varetas idênticas conforme a figura abaio. No sistema de coordenadas mostrado na figura, uma das varetas tem forma dada pela equação = 2. Calcule o volume da barraca. Resposta:. = 2 PSfrag replacements

11 Segunda Prova de Cálculo Infinitesimal I 2 de Julho de 23 Questão [2 pontos] Sabendo que 2 f() d = 5, 2 g() d = 3 e f() d = 7, calcule: a) 2 ( ) f() + 2g() d b) g(2) d /2 c ) g( 2 ) d d) 2 f() d Questão 2 [2 pontos] Calcule as integrais abaio. 4π 2 sen ln 3 e a) d b) e + 4 d c ) π 2 ln 2 sen(ln ) d Questão 3 [2 pontos] A região plana limitada acima pelo gráfico da função f() = ln, abaio pelo eio, a esquerda por = e a direita por = e, é girada em torno do eio, obtendo-se um sólido de revolução. Calcule o volume deste sólido. Resposta: π/e. Questão 4 [2 pontos] Determine o comprimento do gráfico da função f() = ln( + 2 ) para [, 2]. Resposta: 3. Questão 5 [2 pontos] Deseja-se fazer um download de um arquivo de 3. Kbtes. Iniciando às 23:h, sabe-se que t segundos depois a velocidade de transmissão é dada, em Kbtes por segundo, por ( v(t) = + 2 cos π + πt ). 2 Determine se às 8:h do dia seguinte o download terá terminado.

12 Prova Final de Cálculo Infinitesimal I de Julho de 23 Questão [2 pontos] Calcule os limites abaio: tan 3 b) lim 2 a) lim + ln c ) lim Questão 2 [2 pontos] Calcule as integrais abaio: 2 3π/4 a) e 2 d b) cos d c ) (ln ) 2 d Questão 3 [2 pontos] Esboçe o gráfico de uma função contínua f que satisfaça f() = 2, f( 2) = e f () =. lim f() = e lim f() =. + lim 2 + f() = + e lim 2 f() =. f () > se < e f () < se >. f () < se < 2 e f () > se > 2. Questão 4 [2 pontos] A página de um livro deve ser retangular e ter uma área de 9 cm 2 com margens laterais e superior de cm, e inferior de /2 cm. Determine as dimensões da página que permitirão a maior área impressa. Questão 5 [2 pontos] Determine a área da região compreendida entre os gráficos de = 3 e = sen(π) com [, ].

13 Segunda Chamada de Cálculo Infinitesimal I 6 de Julho de 23 Questão [2 pontos] Um copo de papel em forma de cone deve conter 36πcm 3. Determine a altura do copo que requer a menor quantidade de papel. Questão 2 [2 pontos] a) Mostre que = possui eatamente uma raíz real. b) Determine o valor de C de modo que a função f abaio seja contínua em R. Justifique sua resposta. { C f() = 2 3 se 2, C + 2 se > 2. Questão 3 [2 pontos] Esboce o gráfico da função f abaio, eplicitando raízes, pontos de máimo e de mínimo locais e globais e pontos de mudança de concavidade. f() = (ln ) 2 >. Questão 4 [2 pontos] Calcule as integrais abaio. ln a) ( 2 ) d b) d c ) 2 sen() + cos() d Questão 5 [2 pontos] A região plana limitada acima pelo gráfico da função = (ln )/2, abaio pelo eio e à direita por = e 2, é girada em torno do eio, obtendo-se um sólido de revolução. Calcule o volume deste sólido.