Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1

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1 Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume. Eercícios. Eplique com suas palavras o significado da equação É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que f? Eplique.. Eplique o que significa dizer que f l f 5 l Nesta situação, é possível que l f eista? Eplique.. Eplique o significado de cada uma das notações a seguir. (a) f (b) f l l 4 e f 7 l 4. Use o gráfico dado de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) f (b) f l l (c) l (d) f (e) f l 4 (f) f ; É necessário uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

2 LIMITES E DERIVADAS Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) f (b) f (c) f l l l (d) f l (e) f Para a função h cujo gráfico é dado, diga o valor da cada quantidade, se ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) h (b) h (c) h l l l (d) (e) h l0 (f) (g) h (h) h0 (i) l 0 (j) h (k) h (l) 7. Para a função t cujo gráfico é dado, diga o valor da cada quantidade, se ela eistir. Se não eistir, eplique por quê. (a) tt (b) tt (c) t l 0 (d) tt (e) tt (f) t l (g) t 4 (h) l5 t l 0 t l tt t l 4 4 h l0 h l h l t l tt 8. Para a função R, cujo gráfico é mostrado a seguir, diga quem são: (a) R (b) R l l 5 (c) R l (d) l R (e) As equações das assíntotas verticais. t t l 0 tt 9. Para a função f cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o seguinte: (a) f (b) f (c) (d) f (e) f l 6 l 6 (f) As equações das assíntotas verticais. 0. Um paciente recebe uma injeção de 50 mg de uma droga a cada 4 horas. O gráfico mostra a quantidade f t da droga na corrente sanguínea após t horas. Encontre e eplique o significado desses ites laterais. e Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais l a f eiste:.. l7 f f sen cos sen tl ; 4 Use o gráfico da função f para dizer o valor de cada ite, se eistir. Se não eistir, eplique por quê. f t (a) f (b) f (c) f l 0 7 f t tl f(t) l t se se se se 0 se 0 p se p l 0 f l l 0

3 90 CÁLCULO. 4. f f e s 5 8 Esboce o gráfico de um eemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas. 5. f, f, l 6., f, 0, f l 0 l 0 f l f, f, f 0 não está definido l 7. f 4, f, f, l l l f, f 8., 0,, f l 0 f l 0 f l 4 f 0, f 0, f 4 l 4 9 Faça uma conjectura sobre o valor do ite (se ele eistir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). 9., l,5,,,,05,,0,,005,,00,,9,,95,,99,,995,,999 0., l 0, 0,5, 0,9, 0,95, 0,99, 0,999,,,5,,,,0,,00 e.,, 0,5, 0,, 0,05, 0,0 l 0 l. ln,, 0,5, 0,, 0,05, 0,0, 0,005, 0,00 l 0 6 Use uma tabela de valores para estimar o valor do ite. Se você tiver alguma ferramenta gráfica, use-a para confirmar seu resultado. s l l 0 f tg l 0 tg l 0 ; 7. (a) A partir do gráfico da função f cos cos e dando zoom no ponto em que o gráfico cruza o eio, estime o valor de l 0 f. (b) Verifique sua resposta da parte (a), calculando f para valores de que se aproimem de 0. ; 8. (a) Estime o valor de sen l 0 sen p traçando o gráfico da função f sen sen p. Forneça sua resposta com precisão de duas casas decimais. ; (b) Verifique sua resposta da parte (a) calculando f para valores de que se aproimem de Determine o ite infinito l.. l. ln 9 4. l 5. csc l 8 l (a) Encontre as assíntotas verticais da função (b) Confirme sua resposta da parte (a) fazendo o gráfico da função. 9. Determine e (a) calculando f para valores de que se aproimam de pela esquerda e pela direita, (b) raciocinando como no Eemplo 9, e ; (c) a partir do gráfico de f. ; 40. (a) A partir do gráfico da função f tg 4 e dando zoom no ponto em que o gráfico cruza o eio, estime o valor de l 0 f. (b) Verifique sua resposta da parte (a) calculando f para valores de que se aproimam de (a) Estime o valor do ite l 0 com cinco casas decimais. Esse número lhe parece familiar? ; (b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da função. ; 4. (a) Faça o gráfico da função f e ln 4 para 0 5. Você acha que o gráfico é uma representação precisa de f? (b) Como você faria para que o gráfico represente melhor f? 4. (a) Avalie a função f.000 para, 0,8, 0,6, 0,4, 0,, 0, e 0,05, e conjecture qual o valor de l0.000 (b) Avalie f para 0,04, 0,0, 0,0, 0,005, 0,00 e 0,00. Faça uma nova conjectura. 44. (a) Avalie h tg para, 0,5, 0,, 0,05, 0,0 e 0,005. tg (b) Estime o valor de l 0 (c) Calcule h para valores sucessivamente menores de até finalmente atingir um valor de 0 para h. Você ainda está confiante que a conjectura em (b) está correta? Eplique como finalmente obteve valores 0. (Na Seção 4.4 veremos um método para calcular esse ite.) ; (d) Faça o gráfico da função h na janela retangular, por 0,. Dê zoom até o ponto onde o gráfico corta o eio para estimar o ite de h quando tende a 0. Continue l l l l5 cot l l e 5 4 4

4 LIMITES E DERIVADAS 9 dando zoom até observar distorções no gráfico de h. Compare com os resultados da parte (c). ; 45. Faça o gráfico da função f senp do Eemplo 4 na janela retangular, por,. Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função. 46. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é m 0 m s v c onde m 0 é a massa da partícula em repouso e c, a velocidade da luz. O que acontece se v l c? ; 47. Use um gráfico para estimar as equações de todas as assíntotas verticais da curva tgsen Encontre, então, as equações eatas dessas assíntotas. ; 48. (a) Use evidências numéricas e gráficas para fazer uma conjectura sobre o valor do ite l s p p (b) A que distância de deverá estar para garantir que a função da parte (a) esteja a uma distância de 0,5 de seu ite?

5 98 CÁLCULO. Eercícios. Dado que encontre, se eistir, o ite. Caso não eista, eplique por quê. (a) (c) (e). Os gráficos de f e t são dados. Use-os para calcular cada ite. Caso não eista, eplique por quê. (a) (c) (e) 9 Calcule o ite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.. 4. (b) (d) (f) (b) (d) (f) t t l t t 7. ( s ) l 8 ƒ() f 4 l f 5t l sf l t l h f t l f t l0 f l l 4 l 4 5 l 0. (a) O que há de errado com a equação a seguir? (b) Em vista de (a), eplique por que a equação está correta. 6 l t l 6 l t f l t th l f t() f t l l f t s f l t l t l h 0 l 0 ul su 4 u 6 t t 5 Calcule o ite, se eistir. 6.. l l t t l t 7t 5 h hl0 h l 8 s9 h.. h l 0 h l4 4 s t s t t l 0 t 4 s l t l 0 ts t t h.. h l 0 h. (a) Estime o valor de s traçando o gráfico da função f (s ) (b) Faça uma tabela de valores de f para próimo de 0 e estime qual será o valor do ite. (c) Use as Propriedades dos Limites para mostrar que sua estimativa está correta. 4. (a) Use um gráfico de l0 s s f para estimar o valor de l 0 f com duas casas decimais. (b) Use uma tabela de valores de f para estimar o ite com quatro casas decimais. (c) Use as Propriedades dos Limites para encontrar o valor eato do ite. 5. Use o Teorema do Confronto para mostrar que l 0 cos 0 0. Ilustre, fazendo os gráficos das funções f, t cos 0 e h na mesma tela. 5 4 l4 4 l l h 8 h l0 h t 4 t l t s4u ul u l 4 t l 0 t h h l 0 h s 9 5 l4 4 h l t t h h ; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

6 LIMITES E DERIVADAS Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que s sen p. l0 0 Ilustre, fazendo os gráficos das funções f, t e h (como no Teorema do Confronto) na mesma tela. 7. Se 4 9 f 4 7 para 0, encontre f. l 4 8. Se t 4 para todo, avalie t. 9. Demonstre que 4 cos 0. l0 40. Demonstre que s. l0 esenp Encontre, quando eistir, o ite. Caso não eista, eplique por quê l l0, l0 47. A função sinal, denotada por sgn, é definida por (a) Esboce o gráfico dessa função. (b) Encontre ou eplique por que não eiste cada um dos ites a seguir. (i) sgn (ii) sgn l0 l0 48. Seja (iii) (iv) (a) Encontre l f e l f. (b) l f eiste? (c) Esboce o gráfico de f. 49. Seja t 6. (a) Encontre (i) t l (b) l t eiste? (c) Esboce o gráfico de t. 50. Seja ( ) l 0 sgn f se se sgn 0 t (ii) l6 6 l l0 se 0 se 0 se 0 sgn l 0 t l se se se se l (a) Determine as quantidades a seguir, se eistirem. (i) t (ii) t (iii) t l l (iv) t (v) t (vi) t l l l (b) Esboce o gráfico de t. 5. (a) Se o símbolo denota a função maior inteiro do Eemplo 0, calcule (i) (ii) (iii) l l l.4 (b) Se n for um inteiro, calcule (i) (ii) ln l n (c) Para quais valores de a o ite l a eiste? 5. Seja f cos,. (a) Esboce o gráfico de f. (b) Calcule cada ite, se eistir (i) f (ii) f l 0 l (iii) f (iv) f l l (c) Para quais valores de a o ite l a f eiste? 5. Se f, mostre que eiste l f, mas que não é igual a f. 54. Na Teoria da Relatividade, a fórmula da contração de Lorentz epressa o comprimento L de um objeto como uma função de sua velocidade v em relação a um observador, onde L 0 é o comprimento do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. Encontre v lcl e interprete o resultado. Por que é necessário o ite à esquerda? 55. Se p for um polinômio, mostre que l a p pa. 56. Se r for uma função racional, use o Eercício 55 para mostrar que l a r ra para todo número a no domínio de r. f Se 0, encontre f. l l f 58. Se 5, encontre os seguintes ites. l 0 (a) f (b) f l 0 l Se f se é racional 0 se é irracional demonstre que l 0 f Mostre por meio de um eemplo que l a f t pode eistir mesmo que nem l a f nem l a t eistam. 6. Mostre por meio de um eemplo que l a f t pode eistir mesmo que nem l a f nem l a t eistam. s6 6. Calcule l s 6. Eiste um número a tal que L L 0s v c a a l eista? Caso eista, encontre a e o valor do ite.

7 8 CÁLCULO.6 Eercícios. Eplique com suas palavras o significado de cada um dos itens a seguir. (a) f 5 (b) f l l. (a) O gráfico de f pode interceptar uma assíntota vertical? E uma assíntota horizontal? Ilustre com gráficos. (b) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de f? Ilustre com gráficos as possibilidades.. Para a função f, cujo gráfico é dado, diga quem são. (a) f (b) f l l (c) (e) f l f l (d) f l (f) As equações das assíntotas 4. Para a função t, cujo gráfico é dado, determine o que se pede. (a) t (b) t l l (c) (e) t l t l (d) t l0 (f) As equações das assíntotas Esboce o gráfico de um eemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas. 5. f, f 5, f 5 l 0 l l 6. f, f, f, l l l f 0, f 0, f 0 0 l l ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

8 LIMITES E DERIVADAS f, f, f, f é ímpar 9. f, l f, l0 l f 0, l l 0. f, f, f 0 0, f é par l ;. Faça uma conjectura sobre o valor do ite l calculando a função f para 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 0, 50 e 00. Então, use o gráfico de f para comprovar sua conjectura. ;. (a) Use o gráfico de para estimar o valor de l f com precisão de duas casas decimais. (b) Use uma tabela de valores de f para estimar o ite com precisão de quatro casas decimais. 4 Calcule o ite justificando cada passagem com as propriedade dos ites que forem usadas.. 4. l 4 5 l Encontre o ite ou demonstre que não eiste l l 7 st t t l t t.. l. s9 l ) l (s a s b ) 8. l l l f, f l f, l f l0 f 4, l0 l. arctge 4. l e l e l f f 0, l f, l0 f, l 4 5 l 4 l tl l s9 6 l ( s ) l l s e cos l 6 l 4 e e l e e l f, l t tst t t 5 s 4 sen l e cos ; 9. (a) Estime o valor de traçando o gráfico da função f s (b) Faça uma tabela de valores de f para estimar qual será o valor do ite. (c) Demonstre que sua conjectura está correta. ; 40. (a) Use um gráfico de para estimar o valor de l f com precisão de uma casa decimal. (b) Use uma tabela de valores de f para estimar o ite com precisão de quatro casas decimais. (c) Encontre o valor eato do ite Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas ; 47. Estime a assíntota horizontal da função através do gráfico f para 0 0. A seguir, determine a equação da assíntota calculando o ite. Como você eplica a discrepância? ; 48. (a) Trace o gráfico da função f s 5 Quantas assíntotas horizontais e verticais você observa? Use o gráfico para estimar os valores dos ites e (b) Calculando valores de f, dê estimativas numéricas dos ites na parte (a). (c) Calcule os valores eatos dos ites na parte (a). Você obtém os mesmos valores ou valores diferentes para estes ites? [Em vista de sua resposta na parte (a), você pode ter de verificar seus cálculos para o segundo ite.] 49. Encontre uma fórmula para uma função f que satisfaça as seguintes condições: f 0 f f 0 l f f l f s 8 6 s s l 5 (s ) l l0 f l l 0 tg ln 4 4 e e 5 s l Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assíntotas verticais e e por assíntota horizontal.

9 0 CÁLCULO 5. Uma função f é a razão de funções quadráticas e possui uma assíntota vertical 4 e somente um intercepto com o eio das abscissas em. Sabe-se que f possui uma descontinuidade removível em e l f. Calcule (a) (b) l 5 56 Encontre os ites quando l e quando l. Use essa informação, bem como as intersecções com os eios, para fazer um esboço do gráfico, como no Eemplo sen 57. (a) Use o Teorema do Confronto para determinar. l ; (b) Faça o gráfico de f sen. Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota? ; 58. Por comportamento final de uma função queremos indicar uma descrição do que acontece com seus valores quando l e quando l. (a) Descreva e compare o comportamento final das funções P 5 5 Q 5 por meio do gráfico de ambas nas janelas retangulares, por, e 0, 0 por 0.000, (b) Dizemos que duas funções têm o mesmo comportamento final se sua razão tende a quando l. Mostre que P e Q têm o mesmo comportamento final. 59. Sejam P e Q polinômios. Encontre P l Q se o grau de P for (a) menor que o grau de Q e (b) maior que o grau de Q. 60. Faça um esboço da curva n (n inteiro) nos seguintes casos: (i) n 0 (ii) n 0, n ímpar (iii) n 0, n par (iv) n 0, n ímpar (v) n 0, n par Então, use esses esboços para encontrar os seguintes ites: (a) n (b) n l0 l0 (c) n l (d) n l 6. Encontre l f se, para todo, 0e f 5s e s 6. (a) Um tanque contém litros de água pura. Água salgada contendo 0 g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taa de 5 Lmin. Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (em gramas por litro) é Ct 0t 00 t (b) O que acontece com a concentração quando t l? 6. Seremos capazes de mostrar, no Capítulo 9 do Volume II, que, sob certas condições, a velocidade vt de uma gota de chuva caindo no instante t é vt v* e ttv*, onde t é a aceleração da gravidade e v* é a velocidade final da gota. (a) Encontre t l vt. (b) Faça o gráfico de vt se v* ms e t 9,8 ms Quanto ; tempo levará para a velocidade da gota atingir 99% de sua velocidade final? ; 64. (a) Fazendo os gráficos de e 0 e 0, na mesma tela, descubra quão grande você precisará tomar para que e 0 0,. (b) A parte (a) pode ser resolvida sem usar uma ferramenta gráfica? ; 65. Use um gráfico para encontrar um número N tal que se N então ; 66. Para o ite s4 l ilustre a Definição 7, encontrando os valores de N que correspondam a 0,5 e 0,. ; 67. Para o ite s4 l ilustre a Definição 8, encontrando os valores de N correspondentes a 0,5 e 0,. ; 68. Para o ite l s ilustre a Definição 9, encontrando um valor de N correspondente a M (a) De que tamanho devemos tomar para que 0,000? (b) Tomando r no Teorema 5, temos a igualdade l 0 Demonstre isso diretamente usando a Definição (a) De que tamanho devemos tornar para que s 0.000? (b) Tomando r no Teorema 5, temos a igualdade l s 0 Demonstre isso diretamente usando a Definição Use a Definição 8 para demonstrar que. l 0 7. Demonstre, usando a Definição 9, que. 7. Use a Definição 9 para demonstrar que e. 74. Formule precisamente a definição de f l Então, use sua definição para demonstrar que l 75. Demonstre que f f t l t l0 l e se esses ites eistirem. f t l0,5 0,05 l l f t

10 APÊNDICES A6 CAPÍTULO 9. (a) 0,,7,,0847,,74, 4,0,,87, 0,,65,,606, 5,,40; não (c),4 EXERCÍCIOS.. Sim. (a) l f significa que podemos fazer os valores de f ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos) tomando suficientemente próimo de (mas não igual a ). (b) l 4 f significa que os valores de f podem se tornar números negativos arbitrariamente grandes ao fazer ficar suficientemente próimo a 4 por valores maiores que (a) (b) (c) 4 (d) Não eiste (e) 7. (a) (b) (c) Não eiste (d) (e) 0 (f) Não eiste (g) (h) 9. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 7,, 0, 6. eiste para qualquer a eceto a. l a. (a) (b) 0 (c) Não eiste EXERCÍCIOS.. (a) 6 (b) 8 (c) (d) 6 (e) Não eiste (f) Não eiste (a), (b) Não eiste 47. (a) (b) (i) (ii) (iii) Não eiste (iv) 49. (a) (i) 5 (ii) (c) (, 5) (, _5) (b) Não eiste 0 5. (a) (i) (ii) Não eiste (iii) (b) (i) n (ii) n (c) a não é um inteiro ; (a), ; 4. (a),788 (b) 5 6 _ (a) 0,998000, 0,6859, 0,58484, 0,58680, 0,0885, 0,00898, 0,00465; 0 (b) 0,00057, 0,00064, 0,000907, 0,000978, 0,00099, 0,00000; 0, Não importa quantas vezes damos zoom na origem, o gráfico parece consistir em retas quase verticais. Isso indica oscilações cada vez mais frequentes quando l ,90,,4; sen p4, p sen p4 _

11 APÊNDICES A65 EXERCÍCIOS.6. (a) Quando se torna grande, f () aproima-se de 5. (b) Quando se torna um negativo grande (em módulo), f () aproima-se de.. (a) (b) (c) (d) (e) (f),,, =5 = 0 =_ = = a b 9... p/ (a), (b) 4., 4. ;, f 5 5. (a) 4 (b) 5 5., 55., (a) 0 (b) Um número infinito de vezes -5 5 _0,5 59. (a) 0 (b) (a) v* (b), 0,47 s N N 6, N 69. (a) 00