(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

Transcrição

1 LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número = a quando n tende para infinito, e escrevemos n = a ou simplesmente n a n se podemos garantir que os números n ficam tão próimos quanto se queira de = a a partir de um índice suficientemente grande, dito de outro modo: para todo ɛ > 0 eiste n 0 tal que n a < ɛ sempre que n > n 0 Definição 2 Funções Contínuas). Dizemos que uma função f : D R é continua no ponto a D, quando a função f assumir valores f) tão próimos quanto se queira do valor fa) para suficientemente próimos do ponto = a, o que é o mesmo que: a seqüência y n = f n ) fa) sempre que D n a. Definição 3 Limite de Funções ). Seja f uma função definida para valores próimos de = a, eceto possivelmente para = a. Dizemos que o ite de f) quando tende para = a é um numero L, e escrevemos f) = L, a quando para qualquer seqüência n a, a seqüência de valores y n = f n ) L. A definição acima é equivalente a pedir que para todo numero ɛ > 0 eiste um δ > 0 que depende do ɛ), tal que: f) L < ɛ sempre que 0 < a < δ. que traduzindo significa que os valores f) ficam ɛ-próimos do numero L um erro menor que ɛ) se calculamos f em pontos que estão δ-próimos do número a mais diferentes de a. Na Definição 3, o fato de ser para qualquer seqüência e muito forte e tem varias implicações, como por eemplo: a) para provar que o ite de função seja diferente de L basta eibir duas seqüências n a mais que f n ) não seja convergente ou que f n ) M L, b) se eistir duas seqüências n, z n a para as quais as seqüências f n ) e fz n ) tenham ites diferentes então a f) não eiste.

2 Definição 4 Limites Laterais). i)seja f uma função definida para valores próimos e maiores que = a. Dizemos que o ite lateral a direita de f) quando tende para = a é um numero L, e escrevemos f) = L, a + quando para qualquer seqüência n a com n > a, a seqüência de valores y n = f n ) L. ii) De modo análogo definimos o ite lateral a esquerda o qual denotaremos por a f). E evidente que quando a f) = L não interessa se vamos aproimar do ponto = a só pela direita ou só pela esquerda, de qualquer modo f) fica tão próimo quanto se queira de L, portanto os ites laterais tem que ser iguais, ou seja, vale: Teorema 5. a f) = L f) = f) = L a + a Como conseqüência deste Teorema, temos que se f é uma função contínua então o seu gráfico não tem saltos. Mais ainda, se pode provar o seguinte teorema que é conhecido como Teorema do Valor Intermediário ou TVI, cujo a prova pode ser encontrada em [, pag.87]: Teorema 6 TVI). Seja f : [a, b] R é uma função continua. Se fa) fb) ou se fb) fa)) então para todo valor c [fa), fb)] ou c [fb), fa)] resp.) eiste um ponto 0 a, b) tal que f 0 ) = c O seguinte teorema é uma propriedade do ite e será de grande utilidade para o calculo de ites difíceis, tais como a derivada das funções cosseno e seno. Teorema 7 Teorema do Confronto ou Sanduiche). Se f) g) h) para todo contido em algum intervalo aberto que contenha = a eceto possivelmente em = a e então f) = h) = L a a g) = L a Uma prova do teorema acima pode ser vista em [3, pag. A45]. 2. Limites no infinito, Limites infinitos Seja f : D R uma função cujo o domínio é iitado superiormente, ou seja, D contem um intervalo da forma a, ), neste caso faz sentido perguntar como que a função se comporta no infinito ou seja para. Tal comportamento é o que nos vamos chamar de ite no infinito. ou seja: 2

3 Definição 8 Limite no infinito ). i)seja f uma função definida para valores arbitrariamente grandes. Dizemos que o ite de f) quando é L, e escrevemos f) = L, quando para qualquer seqüência n, a seqüencia de valores y n = f n ) L. ii)seja f uma função definida para valores de modulo arbitrariamente grandes e negativos. Dizemos que o ite de f) quando é L, e escrevemos f) = L, quando para qualquer seqüência n, a seqüencia de valores y n = f n ) L. Quando qualquer um dos dois ites acima é verdadeiro dizemos que a reta horizontal y = L é uma assíntota horizontal de f. Ou seja escrever f) = L significa que f assume valores tão próimos quanto se queira pedir do número L sempre que é suficientemente grande. Como eemplo, valem: = = 0 que podem ser facilmente justificados usando diretamente a definição. Mesmo em alguns casos em que o ite não eiste, pode ser que ser que a função tenha um comportamento especifico, como por eemplo vá para infinito, o que pode ser formalizado na seguinte definição: Definição 9 Limite Infinito ). Seja f uma função definida para valores próimos e diferentes de = a. Dizemos que o ite de f) quando a é ou ), e escrevemos f) = =, resp.), a quando para qualquer seqüência n a, a seqüência de valores y n = f n ) vai para o infinito ou vai para menos infinito, resp.). Nos dois casos dizemos que a reta vertical = a é uma assíntota verticas de f. Como eemplos, considerem a função g) =, neste caso esta função é contínua em R = 2 { R/ 0}. Sendo que para qualquer seqüência n 0 a seqüência F n ) claramente diverge para infinito. Portanto temos que 0 g) =. Observem que para a função f) =, se considerarmos as seqüências n = e z n n = n então vale que n, z n 0 e calculando f nestas seqüências temos que f n ) = n porem fz n ) = n o que prova que o ite não eiste. De modo similar podemos definir os seguintes ites: f) = f) = f) = f) = a + f) = a + f) = a f) = a f) = 3

4 No eemplo acima da função g) =, vimos que não eiste o ite para 0 entretanto eistem os ites laterais 0 g) = e 0 + g) =. Do modo similar ao Teorema 5 temos que o ite quando a é igual à ± se e somente se os ites laterais são iguais a ±. 3. Propriedades do Limite ou Leis do Limite A definição do ite de uma função é muito técnica para o cálculo do ite. De fato precisamos de uma conjectura ou um candidato ao valor ite e usando a definição o que fazemos é provar que este valor é ou não o ite em questão. Na pratica o que fazemos é verificar alguns ites pela definição e usamos as propriedades ou leis do ites que enunciaremos abaio) para comparar o ite desejado com um ite conhecido. Vamos agora enuncias as Leis do Limite, Para estudar as demonstrações, veja por eemplo [3, pag. A42]. Teorema 0 Leis do Limite). Vamos denotar c R e α R {, + }. Suponhamos que os ites f) e g) α α eistem ou seja são números reais). Então valem as seguintes igualdades: i) ii) iii) iv) vi) vii) viii) f) + g)) = f) + g). α α α f) g)) = f) g). α α α f)g)) = f) g). α α α f) α g) = α f) α g) cf) = c f) α α ) n α f))n = f) α α n f) = n f) α, se g) 0. α onde n N onde n N Observação. Todas as propriedades acima também valem para ite laterais. 4

5 Caso o ite de pelo menos uma das funções seja ou, não podemos usar diretamente as propriedades, já que podemos obter uma indeterminação como por eemplo,. Assim como não podemos aplicar a propriedade iv) quando α g) = 0. Entretanto tais ites podem eistir. Ate mesmo em casos mais simples como por eemplo: g) = L e f) = α α como o ite de f) não eiste não podemos usar as Leis do Limite para calcular os ites da soma, produto e quociente envolvendo estas funções, entretanto é fácil usar a definição para verificar que valem: f) + g) =, α α f) = 0 e que cf) = para c > 0, α f)g) =, ou f)g) = α α Se L > 0 ou se L < 0 respectivamente. Outros casos, podem ser visto em [2, pag 292 e 293]. Adaptando a prova do Teorema do Sanduíche Teorema 7 ) podemos provar versões do teorema válido ± e ites infinitos, ou seja: Teorema 2. a) Se f) g) h) para todo suficientemente grande e f) = h) = L então g) = L b) Seja f) g) para todo em um intervalo aberto que contem α, eceto possivelmente para = α. i) Se α f) = então g) = ii) Se α g) = então f) = 3.. Eemplos: Cálculos de ites. a) Considerem a função p) = Sendo p uma função contínua em R temos que: p) = pa) = a a2 a + 2, a R. Falta estudar o comportamento desta função para ±, ou seja falta calcular os ite no infinito. Para isto observando que para todo 0, vale que ) = ), 2 5

6 logo vale a igualdade: 2 + 2) = ) 2 Sendo 2 = e que, usando as propriedades i ) e ii ), + 2 ) = = = 2 Temos que ) =. 2 Usando os mesmos passos acima pode-se mostrar que p) = b). Considerem a função f) = 2 + neste caso, observem que para todo 0 vale a igualdade: 2) e como usando a propriedade iv) obtemos 2 + = 2 + ) = = = 2 + = = ) = 2 Do mesmo modo também podemos mostrar que f) = /2. Observação 3. O os argumentos usados no eemplo a) são facilmente estendidos para calculo de ites de qualquer polinômio e de fato a igualdade ), significa que o termo de maior grau domina a epressão para suficientemente grande. Já no eemplo b) o que fizemos na igualdade 2 ) foi dividir o numerador e denominador pelo maior grau do denominador para einar a indeterminação a mesma estratégia para calcular o ite do quociente de dois polinômios quais quer. c) Vamos estudar o comportamento assintótico função 22 + y =. Observem que o domino da função é D = { R/ }, e esta função é contínua em todos os pontos de D. Para entender o seu comportamento devemos analisar o comportamento para pontos próimos de = e para ±. 6

7 Para calcular o ite quando podemos usar uma estratégia similar ao eemplo 2, dividindo o numerador e denominador por / temos que: = e usando a propriedades do ite obtemos que: = 22 + = ) ) = 22 + = 22 + = ) = 2 Cuidado para calcular o ite com, pois já que iremos considerar < 0 então = 2 =. Neste caso dividindo o numerador e denominador por obtemos: e portanto temos que 22 + = 2. Vamos agora analisar o que ocorre quando. Inicialmente observem que 0 = 0 e que = 3 pois são ites de funções contínuas. Ademais vale: 22 +, R, e sendo que < 0 para todo < e > 0 para todo >, então valem as desigualdades: 22 + < para todo < e Portanto valem: 22 + > para todo > = e 22 + = já que assume valores arbitrariamente grandes para suficientemente próimo de = e troca de sinal neste ponto, logo = e = + o que também prova que o ite quando tende a não eiste. d) Estude o comportamento assintótico de y = 2 +. Esta função é contínua para todos os números reais. Portanto apenas temos que estudar os ites ao infinito. Observem que não 7

8 podemos usar diretamente propriedade ii) do ite porque isto nos levaria a uma indeterminação. Para einar esta indeterminação neste eemplo podemos multiplicar e dividir pelo conjugado de y, ou seja: 2 + ) = 2 + ) = = Usando as leis do ites obtemos: 2 + ) = = ) = ) ) Falta verificar o comportamento de y) quando neste caso temos uma soma de funções cujo os dois ites vão para infinito. Logo aplicando o teorema 4.2 de [2]) temos que 2 + ) =. = 0 e) Calcule o ite 3. Observe que o domínio desta função são os reais positivos. Neste caso os ites do numerador e denominador são iguais a zero. Para resolver este ite, a nossa estratégia será introduzir uma nova variável relacionada a anterior para obter um ite mais simples. Neste caso particular, observem que escolhendo u = u) = 6 com > 0, temos que = u 6. Note que é equivalente a que u. Portanto vale: 3 = u fatorando o numerador e denominador obtemos que: u 2 u u 3 = u 3 u6 u6 = u 2 u u 3 u )u + ) u )u 2 + u + ) = u u + ) u 2 + u + ) = 2 3 8

9 a) b) 4. Eercicios: ) Resolva os seguintes eercícios do Livro [2], pagina 298: - eercício 2, ítens : a, d, f, j, k - eercícios 8 e 9 2) Calcule os ites: ) c) 2u 2 u u 3 d) use o ítem anterior, veja antes eemploe) das notas de aula. e) ) Prove que um polinômio do tipo P ) = 3 + a 2 + b + c tem pelo menos uma raiz real. Referências [] Elon L. Lima, Curso de análise Vol., Projeto Euclides,7a ed. [2] Iaci Malta, Sinésio Pesco e Hélio Lopes, Cálculo de uma variavel Vol. - uma introdução ao cálculo, Coleção matmídia, ed. PUC-Rio. [3] James Stewart, Calculo Vol. I, 4a ed. Universidade Federal of Minas Gerais, Dep. of Matemática, ICE, Av. Antônio Carlos, 6627/ C. P.702, , Belo Horizonte, MG, Brasil. address: jan@mat.ufmg.br. 9