CAP. 2 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS

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1 5 CAP. ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS OBJETIVO: Estudo de métodos iterativos para resolução de equações não lineares. DEFINIÇÃO : Um nº real é um zero da função f() ou raiz da equação f() = 0 se f( )=0. Obs.: Em alguns casos de equações polinomiais, os valores de que anulam f(), podem ser reais ou compleos. Neste capítulo, estamos interessados apenas nos zeros reais de f(). GRAFICAMENTE: f() f() f() Obs.: os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eio o.

2 6 COMO OBTER RAÍZES REAIS DE UMA EQUAÇÃO QUALQUER? Equações Polinomiais de grau, grau 4 (eistem fórmulas definidas); de grau mais alto e no caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se achar os zeros eatamente. Encontrar aproimações para os zeros das funções. IDÉIA CENTRAL DOS MÉTODOS QUE ESTUDAREMOS: Partir de uma aproimação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproimação através de um processo iterativo. OS MÉTODOS CONSTAM DE DUAS FASES:. Localização ou isolamento das raízes: obter um intervalo que contém raiz;. Refinamento: escolhidas aproimações iniciais no intervalo encontrado na fase, melhora-las sucessivamente até se obter uma aproimação para a raiz dentro de uma precisão prefiada. FASE : ISOLAMENTO DAS RAÍZES Análise teórica e gráfica da função f(). Na análise teórica usa-se o teorema : TEOREMA : Seja f() uma função contínua num intervalo [a, b]. Se f(a)f(b)<0 então eiste pelo menos um ponto = entre a e b que é zero de f().

3 7 GRAFICAMENTE: f() f() a b a b OBSERVAÇÃO: Sob as hipóteses do teorema, se f () eistir e preservar sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de f(). GRAFICAMENTE: f() f() a b a b f () > 0, [a, b] f () < 0, [a, b] Uma forma de se isolar as raízes de f() usando os resultados anteriores é tabelar f() para vários valores de é analisar as mudanças de sinal de f() e o sinal da derivada nos intervalos em que f() mudou de sinal.

4 8 EXEMPLO : f() = 9 Solução: D(f) = R, tabelando os valores, tem-se: f() Sabendo-se que f() é contínua para qualquer real e observando as variações de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I =[5, ], I =[0, ] e I =[, ] contém pelo menos um zero de f(). 9 f ()=, verificar se f () preserva o sinal nos intervalos dados: I =[5, ] f () > 0 I =[0, ] f () < 0 e I =[, ] f () >0. Portanto, cada um dos intervalos contém pelo menos um zero de f(). Como o polinômio dado é de grau três, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f(); assim localizamos todas as raízes de f()=0. Pode-se verificar os intervalos que contêm raízes reais esboçando o gráfico da função f() (vide Gráfico) e fazendo f()=0, obtém-se g()= e h()= 9 (Gráfico ), para isto utilizaremos o Software Winplot, vejamos:

5 9 Gráfico: Função ^-9+ Gráfico: Funções ^ e 9- EXEMPLO : f() = 5 e D(f) = R +. Construindo uma tabela de valores, temos: f() Admite pelo menos um zero no intervalo (, ). Para se saber se este zero é único neste intervalo, basta analisar o sinal de f () : ' f 5e 0, 0. Assim, podemos concluir que f() admite um único zero em todo seu domínio de definição e este zero está no intervalo (,). Esboçando o gráfico da função f(), utilizando o winplot, temse:

6 0 Gráfico: f ( ) 5e Gráfico4: g( ) e h( ) 5e OBSERVAÇÃO: Se f(a)f(b)>0 então podemos ter várias situações no intervalo [a,b], conforme mostram os gráficos: f() f() f() a b a b a b A análise gráfica da função f() ou da equação f() = 0 é fundamental para se obter boas aproimações para a raiz.

7 Para tanto, é suficiente utilizar um dos seguintes processos:. esboçar o gráfico da função f() e localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eio. a partir da equação f()=0, obter a equação equivalente g()=h(), esboçar os gráficos das funções g() e h() no mesmo eio cartesiano e localizar os pontos onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso f( )=0 g( );. usar os programas que traçam gráficos de funções, disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos. o ; )=h( Site: plotador de gráficos(freeware), wingraf(shareware) FASE : REFINAMENTO início Dados iniciais Cálculos iniciais k = Calcular a nova aproimação

8 Esta aproimação está próima o suficiente S Cálculos da raiz eata? finais Fim Cálculos intermediários k = k+ CRITÉRIOS DE PARADA Pelo diagrama de fluo verifica-se que todos os métodos iterativos para obter zeros de função efetuam um teste do tipo: k está suficientemente próimo da raiz eata? Que tipo de teste efetuar para se verificar se k está suficientemente próimo da raiz eata? Para isto é preciso entender o significado de raiz aproimada. EXISTEM DUAS INTERPRETAÇÕES: é raiz aproimada com precisão se: i) ii) ε f() ε ou

9 Como efetuar o teste i) se não conhecemos? Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao se conseguir um intervalo [a,b] tal que: [a,b] e b a < então [a,b], como. ε. Portanto, [a,b] pode ser tomado f() a b OBS.: Nem sempre é possível ter as eigências i e ii satisfeitas simultaneamente. MÉTODOS ITERATIVOS A ESTUDAR:. Método da Bissecção;. Método da Posição Falsa;. Método do Ponto Fio; 4. Método de Newton; 5. Método da Secante.. MÉTODO DA BISSECÇÃO Teorema satisfeito. Objetivo: Reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b a) <, usando para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio. f()

10 4 a=a0 a a b 0 b=b0 b 0 a 0 b 0 a b a0 = 0 f ( a f ( b 0 f ( f ( 0 ) 0 ) 0 0) ) 0 f ( a ) 0 f ( b ) 0 ) ) 0 [a 0, b0] a=a0 b = 0 [a, b] a=a b = 9 EXEMPLO : Seja f()=, I =[5, ], I =[0, ] e I =[, ] e =0,04. Encontrar a(s) raiz(es) aproimada(s) de f pelo método da bissecção. Utilizando o software pzeros, obtém-se: (a) No intervalo [0, ]:

11 5 (b) No intervalo [4, ]: (c) No intervalo [, ]:

12 6 Convergência: É bastante intuitivo perceber que se f () é contínua no intervalo e f ( a) f ( b) <0, o método da bissecção vai gerar uma seqüência que converge para a raiz, (vide Ruggiero, p. 44). a,b k Estimativa do número de iterações: Dada uma precisão e um intervalo inicial, é possível saber quantas iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até que se obtenha b a, (vide Ruggiero, p. 46). log( b a ) 0 log k log 0 Eemplo: Se desejarmos encontrar a, tal que a, b b a. Assim, no Eemplo, item a, tem-se, log( 0) log( 0,04) 0 (,979) k 4,64 k 5. log 0,00 a,b

13 7. MÉTODO DO POSIÇÃO FALSA Muitas vezes não sabemos se a raiz está mais próima de a ou de b, [a,b]. Devido a isto tomamos a média ponderada entre a e b com pesos f(a) e f(b), respectivamente: a f ( b) b f ( a) af ( b) bf ( a) f ( b) f ( a) f ( b) f ( a) Visto que f(a) e f(b) tem sinais opostos. GRAFICAMENTE: é a intersecção entre o eio das abscissas e a reta r() que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)): f() a b 9 EXEMPLO : Seja f()=, I =[5, ], I =[0, ] e I =[, ] e =0,04. Encontrar a(s) raiz(es) aproimada(s) de f pelo método da posição falsa. a) No intervalo [0, ]:

14 8 b) No intervalo [4, ]: c) No intervalo [, ]: Convergência: (vide Ruggiero, p.5) Assim, como no método da bissecção, o método da posição falsa, gera uma seqüência k que converge para a raiz.

15 Em geral, este método obtém como raiz aproimada um ponto, no qual, sem que o intervalo seja pequeno o suficiente. f () 0 gerar uma seqüência k I a, b.método DO PONTO FIXO (MPF) Teorema satisfeito. O MPF consiste em transformar a equação f()=0 em uma equação equivalente = () e a partir de uma aproimação inicial de aproimações para pela relação k k, pois a função () é tal que f 0. Transformamos assim o problema de encontrar um zero de f() no problema de encontrar um ponto fio de (). Uma função () que satisfaz a condição acima é chamada de função de iteração para a equação f()=0. Eemplo: Seja f ( ) 6, faça f()=0 e encontre as várias funções de iteração (). a) 6 b) 6 c) d) A forma geral das funções de iteração () é ()= +A()f(), com a condição que em, ponto fio de (), se tenha A()0. Mostremos que f( )=0 ( )= ()seja tal que f( )=0. )= +A( )f( ()= +A()f() ( ) ( (porque )=0). () se ( )= +A( )f( )= A( )f( )=0 f( )=0 (porque A( )0). f( )= 9

16 40 Com isto vemos que, dada uma equação f()=0 eistem infinitas funções de iteração () para a equação f()=0. GRAFICAMENTE: Uma raiz da equação = () é a abscissa do ponto de intersecção da reta y= e da curva y=(): y y= () (a) k 0 quando k y y= () (b) k 0, diverge ESTUDO DA CONVERGENCIA: convergência linear

17 4 De acordo com os gráficos (a) e (b), não é para qualquer escolha de () que o processo recursivo definido k k gera uma seqüência que converge para. Eemplos: ) Seja f ( ) 6, vamos trabalhar com duas funções de iteração (a e b) para demonstrar numérica e graficamente a convergência ou não do processo iterativo. a) 6. Raízes de f() : e. Tomando 0 5,. tem se : e podemos ver que não está convergind o para. k GRAFICAMENTE: Observe que eiste dois pontos de intersecção e. E percebe-se claramente que as seqüências, diverge. k

18 4 ) Seja agora, 6 e novamente 0 =.5. Temos assim: e podemos ver que k está convergind o

19 4 TEOREMA : Seja uma raiz da equação f()=0, isolada num intervalo I centrado em. Seja () uma função de iteração para a equação f()=0. Se ' i) e são contínuas em I ' ii) M, I e iii) I 0 então a seqüência gerada pelo processo iterativo k k converge para. (ver demonstração Ruggiero, p. 59). CRITÉRIOS DE PARADA Tomando k omo raiz aproimada de. ou f() k k k Eemplo: Resolva aplicando o método do ponto fio(mpf), f ( ) 9, 9 4, 0.5, 50 e 0, 0

20 44 Graficamente: gráfico da função () e da função y=, no mesmo plano cartesiano. Uma raiz da equação k k é a abscissa do ponto de intersecção da reta y= e da curva y=(). Iteração = k f() Assim, = 0.76, é a raiz aproimada, pois f() <. Veja, a seguir, com o software p_zeros, o resultado aproimado obtido:

21 Com a =0,04, o resultado aproimado 0,

22 46 4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Na tentativa de garantir e acelerar a convergência do MPF, escolher para função de iteração a função () tal que ( )=0. Dada a equação f()=0 e partindo da forma geral para (), queremos obter a função A() tal que ( )=0. Partindo da forma geral ()= +A()f() ()= +A ()f() + A()f (), mas f()=0, ( )= + A( )f ( ). ' f ( ) Assim: ( )=0 + A( )f ( )=0 A, A ' f ( ). f ( ) ' f ( ) donde Então, dada f(), a função de iteração ()=, será tal que ( )=0, pois como podemos verificar: ( ' f ( ) f ( ) f )= ' f ( ) '' ( ) f ( ) f '' ' f ( ) ( ) e, como f( )=0, ( )=0 (desde que f ( )0). Assim, escolhido 0, a seqüência k será determinada por f ( k ) ( k ) k, k 0,,,. ' f ( ) k k MOTIVAÇÃO GEOMÉTRICA Dado o ponto ( k, f( k )) traçamos a reta L k () tangente à curva neste ponto: L k ()=f( k )+ f ( k )( k ). L k () é um modelo linear que aproima a função f() numa vizinhança de k. Encontrando o zero deste modelo, obtemos:

23 47 f ( k L k ()=0, k 0,,,. Fazemos k ' f ( GRAFICAMENTE k ) ) k. y 0 Convergência: quadrática Obs.: Desvantagem deste método é a necessidade de se obter f () e calcular seu valor numérico a cada iteração. Eemplo : Aplicar o método de Newton-Raphson 4 f ( ) 9, 0 0.5, 50 e 0, Com a =0,04, o resultado aproimado 0,.

24 48 Com a =0,0005, o resultado aproimado 0,7606.

25 49 5. MÉTODO DA SECANTE Vamos substituir a derivada f ( k ) pelo quociente das diferenças: f ' ( ) A função de iteração fica : k k f(k ) f( k ( ) k k k k ), onde f ( k ) k f ( k f ( ) f ( ) k k k e k- são duas aproimaçõ es ), k,,... para a raiz. São necessárias duas aproimações para se iniciar o método. INTERPRETRAÇÃO GEOMÉTRICA: y 0 A partir de duas aproimações k- e k, o ponto k+ é obtido como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eio das abscissas e da reta secante que passa por ( k-,f( k- )) e ( k,f( k )): Eemplo : Aplicar o método da Secante 4 f ( ) 9, 0 e, 50 e 0 Com o software p_zeros, obtém-se: Com a =0,0005, o resultado aproimado 0,764. 0,

26 50 Com a =0,004, o resultado aproimado 0,764. Convergência: Condições de convergências praticamente as mesmas do método de Newton. O método da secante pode divergir se f ) f ( ). ( k k

27 5 ESTUDO ESPECIAL DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS INTRODUÇÃO Normalmente, um polinômio de grau n é escrito na forma n pn( ) a0 a a an, an 0 (). Para n =, sabemos da álgebra elementar como achar os zeros de. Eistem fórmulas fechadas, semelhantes à fórmula para polinômios de grau, mas bem mais complicadas, para zeros de polinômios de grau e 4. Agora, para n 5, em geral, não eistem fórmulas eplícitas e somos forçados a usar métodos iterativos para encontrar zeros de polinômios. Vejamos alguns teoremas da álgebra para localização e classificação dos tipos de zeros de um polinômio. Nosso estudo será dividido em duas partes: localização de raízes e determinação das raízes reais. p ( ) LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES TEOREMA (Teorema Fundamental da Álgebra): Se p n () é um polinômio de grau n, ou n seja, pn( ) a0 a a an, an 0, a, a, 0, an reais ou compleos, com a n 0, então p n () tem pelo menos um zero, ou seja, eiste um número compleo tal que p n ( ) 0. Para determinarmos o número de zeros reais de um polinômio com coeficientes reais, podemos fazer uso da regra de sinal de Descartes: Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos, p, desse polinômio não ecede o número v de variações de sinal dos coeficientes. Ainda mais, vp é inteiro, par, não negativo.

28 5 Eemplo: 5 4 a) p 5( ) Raízes negativas: p ( ) p ( ) sev p 0, p ou v sev p, p 0 sev neg 0, neg ou v sev neg, neg Observe o gráfico do polinômio, em que apresenta duas raízes reais positivas e uma raiz real negativa. p ( 5 ) 5 b) p 5( ) Raízes negativas: p ( ) p ( ) sev p 0, p ou v sev p, p se v neg 0, neg 4 ou v 4 se v neg, neg ou se v neg 4, neg 0

29 5 Vejamos graficamente: 7 c) p 7( ) + + Raízes Negativas: p ( ) 7 7 p ( ) v 0 e p : ( v p 0) p 0 v e neg : v neg 0 neg Vimos que não eiste zero positivo e apresenta apenas uma raiz real negativa, as outras são compleas. Ver gráfico:

30 54 Se estivermos interessados em estimar o número de zeros que um polinômio possui num intervalo [, ] podemos utilizar as seqüências de Sturm, que são construídas da seguinte maneira: SEQÜÊNCIAS DE STURM: Dado o polinômio v ~ ( ) como sendo o número de variações de sinal em onde construímos a seqüência g ), g ( ),, g ( ), ignorando os zeros assim: g0( ) pn( ) g ( ) pn( ) com sinal trocado. e, para k p n ()e um número real, vamos definir 0( n, ( ) Eemplo: p ( ) 9 g0( ) p( ) 9 g ( ) p( ) 9 g k g i () é o resto da divisão de por k gk g, g0( ) g( ). Resto da divisão com sinal trocado, g ( ) 6. g ( ) ( ) g( ) g ( ) g. Resto da divisão com sinal trocado,. g( ) g4( ). Resto da divisão com sinal trocado. g ( ) Assim, se =0, por eemplo, tem-se: g ( ) 0 0 g ( ) 9 0 g ( ) 0 g ( ) / 4 0 v ~ ( ) v~ (0) g ( ) Teorema (de Sturm): Se p n( ) 0 e pn( ) 0, então o número de raízes distintas p n ( ) 0no intervalo é eatamente v ~ ( ) v~ ( ). No eemplo, tomando =, tem-se: 4

31 55 g ( ) g ( ) 6 0 g ( ) 0 g( ) 0 4 v ~ ( ) v~ (). Assim 9 possui uma raiz real no intervalo [0, ], pois v ~ ( ) v~ ( ) ==, como já verificado em estudos anteriores.

32 56 Eemplos Etras: ) Seja f() = + 6 = 0 dividindo f() em duas funções mais simples e esboçando o gráfico, tem-se: g() = e h()= +6. Vejamos o(s) pontos de intersecção entre os gráficos: (,0) e (,0), isto é, os zeros de f(). 9 ) Seja f()=, com g() = e h()= 9, vejamos os pontos de intersecção entre os dois gráficos.

33 57 Lista Capítulo Eercícios: a. Localizar o(s) intervalo(s) que contém raiz(es) das equações abaio. a)f() = 6 +0 = 0 b) f() = + log = 0 c) y =cos=0 d) y = sen=0 e) y = 0=0 f) y = +ln=0 Decompor a função em funções mais simples e verificar a intersecção entre seus gráficos; Utilizar um software gráfico para análise do intervalo; Utilizar um método iterativo para encontrar a(s) solução(ões) aproimada(s).

34 58 a) b) c) d) e) f)