UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT B33 Limites e Derivadas Prof a. Graça Luzia Dominguez Santos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT B Limites e Derivadas Prof a Graça Luzia Dominguez Santos LISTA DE EXERCÍCIOS( Questões de Provas a UNIDADE) Derivada ) Usando a definição de derivada verifique se as funções são deriváveis no ponto indicado ) (999 ) f ( ) 0 ) (999 ) f ( ) + 0 ) (000 ) f ( ) 0 0 ) (999 ) f ( ) o > ) f ( ) 0 < ) (999 ) Usando a definição de derivada calcule a derivada da função f ( ) + ) (006 ) Determine as constantes a e b de modo que eista f (-) sendo < - f ( ) (use a definição de derivada) a + b - ) Usando as regras de derivação calcule as derivadas das seguintes funções: ) (000 ) f ( ) sen ) (999 ) f ( ) / ( + ) ) (999 ) f ( ) sen cos ) (999 ) f ( ) e cos sec ) (000 ) f ( ) (sen ) ( ) 0 6) (000 ) f ( ) tg cos 7) (000 ) f ( ) 8) (000 ) f ( ) 0 sen + sec 9) (000 ) f ( ) 0) (999 ) f ( ) 8 tg + sen

2 ) (000 ) ) (999 ) tg f ( ) cos sen + f ( ) + sen ) (999 ) f ( ) + Reta Tangente ) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f no ponto de abscissa o : ) (999 ) f ( ) 9 em o ) (000 ) f ( ) + em o ) (999 ) f ( ) 6 em o ) (000 ) Ache as coordenadas do ponto P de abscissa negativa e pertencente à curva y + R tais que a reta tangente nesse ponto tenha ângulo de inclinação de 6) (999 ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f definida por f ( ) + + que é paralela à reta r : y 7) (000 ) Determine uma reta tangente ao gráfico de f ( ) cos( ) ( 0 π ) sabendo que a reta normal é paralela à reta y + 8) (000 ) Considere a função definida em IR pela equação f ( ) e a reta s : + y 0 8) Esboce o gráfico da função f e da reta s num mesmo plano de coordenadas cartesianas e determine graficamente a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de f que é(são) perpendicular(es) à reta s 8) Determine uma equação de uma das retas tangentes encontradas no item anterior caso haja mais de uma Regra da cadeia 9) Para cada uma das funções seguintes determine a derivada indicada: a) (999 ) sendo y arctg ( ) + (arcsen ( ))[log ( )] d log ( ) / b) (999 ) sendo y e [sen (cos( ))] y c) (999 ) sendo y arccos (sen ( e )) + arctg ( + ) d d) (999 ) f (0) sabendo que f ( tg ( ) ) f (π ) cos ( ) e) (999 ) f () sabendo que f ( + ) + f ( + ) + + R

3 8 f) (998 ) f (0) sendo f (8 ) f ( 9 + 8) + e f ( 0) π g) (998 ) f () sendo f ( ) g( cos( )) [ ] com g : R R uma função derivável e g () h) (999 ) w (0) sendo u ( ) v( w( )) w(0) 0 v ( 0) e u (0) ( + ) i) (0- ) f '( ) sendo f ( ) ( arctg) 0 < < π / j) (006 ) g () sabendo que f ( ) e g ( ) f ( arcsen ) + Derivada da função inversa 0) Aplicando o resultado anterior faça o que se pede nos itens a seguir: a) (999 ) Encontre ( f sen () π π ) ( f ( )) sendo f ( ) + cos ( ) b) (999 ) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de arctg() 0) sabendo que f ( ) + c) (998 ) Calcule g ( f ()) sendo d) (999 ) Determine a derivada da função f ( ) e g a inversa de f f no ponto P ( f no ponto de abscissa sabendo que D ( f ) ] [ e f está definida pela equação f ( ) + ( + ) / e) (998 ) Determine ( f ) () sendo f ( ) e f) (006 ) De termine ( f ) (0) sendo f ( ) ( + ) arctg + Derivação implícita ) Para cada um dos seguintes itens determine a derivada indicada: a) (999 ) sendo y f ( ) dada implicitamente pela equação e y ln ( y + ) d b) (999 ) d sendo f (y ) dada implicitamente pela equação + y + y c) (999 ) + d sen( ) y y d) (998 ) y' sendo P ( 0 0 ) e y f () uma função que satisfaz a equação P arccos () + ln ( ) + tg ( y) + sen ( y ) 0 e) (999 ) y' sendo P ( π) sabendo que y + sen ( y) π P

4 f) (00-) no ponto de ordenada sabendo que y é dada implicitamente por d π arctg( y) + e + e g) (006-) no ponto de abscissa 0 sabendo que y é dada implicitamente por d y + y y Derivada de uma função dada na forma paramétrica ) Determine: a) (006-) d no ponto de abscissa -/ da função y() definida na forma paramétrica pelas cos t equações t ]0 π[ y sen t d y b) (006-) da função y() definida na forma paramétrica pelas equações d arccost ] -[ ln t y t d y c) (00-) da função y() definida na forma paramétrica pelas equações d t sent t ]0 π[ no ponto de ordenada y cos t Reta tangente e reta normal ) Determine: a)(998 ) Uma equação da reta tangente à elipse + y 9 no ponto P ( ) b) (999 ) Uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa a f () sendo f ( ) com > c) (998 ) Uma equação da reta normal à curva + y + y no ponto do º quadrante onde a reta tangente é perpendicular à reta r : + y d) 998 ) Uma equação da reta tangente ao gráfico de f tal que a mesma seja paralela a reta r : y + 0 sendo y f () dada implicitamente pela equação y + y para todo D ( f ) com f () > 0

5 e) (00 ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de sabendo que arctg() f ( ) f no ponto P(0) f) (006 ) Determine a equação da reta normal ao gráfico de sabendo que + ( ) e f f no ponto de abscissa g) (006-) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função definida parametricamente pelas equações: t sent 0 y cost t π Taa de variação ) a)(00-) Um balão sobe verticalmente a uma velocidade constante de m/s Quando ele está a 9 m acima do solo uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de m/s passa por baio dele A que taa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará três segundos depois? b) (006-)Um balão deia o solo a uma distância de 00m de um observador e se eleva verticalmente com velocidade de 6m/s A que taa está variando o ângulo de elevação do observador no instante em que o balão está a uma altura de 0m? c) (006-) Acumula-se areia em um monte em forma de um cone onde a altura é o dobro do raio da base Se o volume de areia cresce a uma taa constante de m /h a que razão aumentará a área da base quando a altura do monte for 6m? RESPOSTAS ) - ) ) / ) / f () ) / f () 6 ) ) ) a - e b - ( + ) / / )f () sen + cos ) ) ( + ) + ( )

6 ) ) sen (cos sen ) ) ) e cos sec ( cot g) + ) ) cos ( ) + sen( + ) 6) tg + sec ) 7) 0 ) 8) ( ) ( sen + cos ) ) 9) ( 8) cos sen ) 0) f () -cossec cotg ( 8) ( tg + sec )( cos ) tgsen ) ) ( co) sen ( sen + cos )( + ) sen ) ) ( ) ( ) + ( + ) ) ( sen ) + sen + ln )( ( + ) ( sen + ) + )( 8) ) y - ( + ) ) y ( - ) ) y 6( ) ) y + 6) y 6 ( ) 7) y + π 8) +y 0 8) y y + 9) 6

7 a) b) c) d d d log ( ) arcsen + ( ) ln0 log e sen cos (cos ) + ln sen (cos ) e cos ( e ) + arctg ( + ) + sen ( e ) π d) f '(0) e) f '() f) f '(0) g) f '() h) + i) ( + ) ( ) f ( ) ( arctg) ( + )ln( arctg) + ( + ) arctg (( arcsen) + ) j) g ( ) w '(0) [ + cos ()] 0) a) ( f )'( f ( )) [ cos () + ] b) a t ( f )'() ; ( f )'( f ( )) f '(0) ln ln c) g '( f ()) ; g'( f ( )) ( ln ) ln d) ( f )'() ; ( f )'( f ( )) f '( ) 8 + arctg() e) ( f )'() ; ( f )' ( f ( )) f '( ) ( + ) / ( + ) e f) ( f ) (0) f ( ) arctg( ) ) a) d y ( y + ) e b) y ( y + ) e d) y' P 6 e) y' P π f) d d + y c) y + π () e g) d ( 00) d sen y y sen y cos y a) b) d ( / ) d y d c) t( t ) d d y ( cos t) 7

8 9 ) a) t : y ( ) ; y ' y 0 ( ) b) t : y ( ) ; ( f )' ( f ( )) 7 + y c) n : y ; y ' e y ' P + y y d) t : y ( ) ; y ' + y π e) y ( ) f) y + ( ) g) y ( + ) ln 9 ) a) m / s b) /8 rd/s c) / m /h 8