ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
|
|
- Anna Esteves Valente
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi 06 Limites, Assíntotas Horizontais e Assíntotas Verticais [0] (2006.2) Considere a função f() = 2 4. (a) Determine o domínio natural (efetivo) de f, isto é, determine o maior subconjunto de pontos R para os quais é possível possível calcular f(). (b) Determine, caso eistam, as assíntotas verticais do gráfico de f. Justifique sua resposta! (c) Determine, caso eistam, as assíntotas horizontais do gráfico de f. Justifique sua resposta! (d) A função f é contínua? Justifique sua resposta! [ ( ) ( )] [02] (2007.2) Calcule cos sen. Justifique a sua resposta! 0 [03] (2007.2) Determine as assíntotas horizontais e verticais (caso eistam) da função Justifique a sua resposta! y = f() = [04] (2008.) Determine as assíntotas horizontais e verticais (caso eistam) da função Justifique a sua resposta. y = f() = [05] (2008.) Diga se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa. Se a sentença for verdadeira, apresente uma justificativa e, se ela for falsa, apresente um contraeemplo. (a) Se f() = + e g() = +, então [f() g()] = 0. (b) Se f() = 0 e g() = +, então [f() g()] = 0. [06] (2009.) Determine as assíntotas horizontais e verticais (caso eistam) do gráfico da função Justifique a sua resposta! y = f() = [07] (2009.2) O que é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f : R R? Dê a definição! Dê também um eemplo de uma função cujo gráfico possui pelo menos uma assíntota horizontal e um eemplo de uma função cujo gráfico não possui assíntotas horizontais!
2 [08] (2009.2) Determine as assíntotas horizontais e verticais (caso eistam) do gráfico da função Justifique a sua resposta! [09] (203.2) y = f() = arctg() (a) O que é uma assíntota vertical do gráfico de uma função real f? Dê a definição! (b) Determine, caso eistam, as assíntotas verticais do gráfico da função f() = Justifique sua resposta! 2
3 Respostas dos Eercícios [0] (a) Queremos encontrar todos os valores de que satisfazem a desigualdade 4 > 0, isto é, > 4. Etraindo-se a raiz quadrada dos dois lados desta desigualdade, obtemos que 2 > 4, isto é, > 2. Agora, se > 2, então < 2 ou > +2. Sendo assim, o domínio natural da função f é o conjunto D = (, 2) (+2, + ). Erro frequente: usar a seguinte implicação errada: > 4 > 2. Lembre-se que =. (b) Para todo ponto a no domínio de f, vale que f() = a a 2 4 = a2 4, isto é, a f() eiste para todo a no domínio de f. Sendo assim, os únicos candidatos a assíntota vertical do gráfico de f são as retas = 2 e = +2. Como segue-se que = 0 + e = 0 +, = + e = +. Desta maneira, as retas = 2 e = +2 são, de fato, as únicas assíntotas verticais do gráfico de f. Erros frequentes: muitos não escreveram nada nesta questão. Outros colocaram a resposta direto, sem justificativas. (c) Como 2 4 = + e 2 4 = +, segue-se que 2 4 = 0+ e 2 4 = 0+. Assim, a reta y = 0 é a única assíntota horizontal do gráfico de f. Erros frequentes: muitos não escreveram nada nesta questão. Outros colocaram a resposta direto, sem justificativas. (d) A função f é contínua como multiplicação, diferença, composição e divisão de funções contínuas. Erro frequente: muitos alunos escreveram que f não é contínua com o seguinte argumento: Eu sei que f é contínua se a f() = f(a). Como +2 f() = +, segue-se que f não é contínua em a = +2. O problema com este argumento é que o ponto a = +2 não está no domínio de f. Desta maneira, não faz sentido investigar se f é contínua ou não neste ponto. [02] Como, para todo 0, cos ( ) + e sen 3 ( ) +,
4 segue-se que cos ( ) sen ( ) +. Isto mostra que g() = cos(/) sen(/) é uma função itada. Como 0 = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que [ ( ) ( )] cos sen = 0. 0 [03] Como = = + e 3 + = = +, segue-se que a reta y = é a única assíntota horizontal do gráfico de f. Note que f é contínua em todos os pontos diferentes de zero. Assim, a única candidata a assíntota vertical é a reta = 0. Mas [ ] = = +, + pois 0 +(/) = + e 0 +[( 3 + )/( + )] =. Isto mostra que, de fato, = 0 é uma assíntota vertical do gráfico de f. [04] Vamos determinar primeiro as assíntotas verticais do gráfico de f. Se p é diferente de e +, então 2 3 f() = = p2 2 p 3, p p p 2 que não é e nem +. Assim, as únicas candidatas a assíntota vertical do gráfico de f são as retas = e = +. Como 2 3 f() = ( + )( 3) = ( + )( ) = 3 = 2 não é e nem +, segue-se que a reta = não é uma assíntota vertical do gráfico de f. Por outro lado, dado que 2 3 f() = + + = + 3 =, concluímos que a reta = é uma assíntota vertical do gráfico de f. Vamos agora determinar as assíntotas horizontais do gráfico de f. Uma vez que e f() = 2 3 f() = 2 3 = = segue-se que y = é a única assíntota horizontal do gráfico de f. 4 2 = 3 = 2 = 3 = +,
5 [05] (a) A sentença é falsa. Como contraeemplo, considere as funções f() = + 2 e g() =. Note que f() = +, g() = +, por outro lado, [f() g()] = [ + 2 ] = 2 = 2 0. (b) A sentença é falsa. Como contraeemplo, considere as funções f() = / e g() =. Note que f() = 0, g() = +, por outro lado, [f() g()] = [ (/ )] = = 0. [06] Vamos determinar primeiro as assíntotas verticais do gráfico de f. Note que Se p {2, 3}, então y = f() = = ( 2) 2 ( 2)( 3) f() = p p = p 2 p 3, que não é e nem +. Assim, as únicas candidatas a assíntota vertical do gráfico de f são as retas = 2 e = 3. Agora e = = = = +, pois 3 +( 2) = e 3 +( 3) = 0 +. Segue-se então que a reta = 3 é a única assíntota vertical do gráfico da função f. Vamos agora determinar as assíntotas horizontais do gráfico de f. Temos que e = = 2 3 = 2 3 = 2/ 3/ = 2/ 3/ = 2/ 2/ / = + 2/ 2/ / =. Sendo assim, a reta = é a única assíntota horizontal do gráfico da função f. [07] Dizemos que uma reta y = L é assíntota horizontal do gráfico de uma função f : R R se f() = L ou f() = L. A reta y = π/2 é assíntota horizontal do gráfico de y = f() = arctg(). O gráfico da função y = g() = não possui assíntotas horizontais, pois g() = g() = +. [08] Vamos determinar primeiro as assíntotas verticais do gráfico de f. Se p, então arctg() + f() = p p 2 + = arctg(p) + p 2 2 p +, que não é e nem +. Assim, a única candidata a assíntota vertical do gráfico de f é a reta =. Como +(arctg() + ) = arctg() + = π/4 + > 0 e +( 2 + ) = +( ) 2 = 0 +, concluímos que arctg() + f() = + p 2 + = +. 5
6 Segue-se então que a reta = é a única assíntota vertical do gráfico da função f. Vamos agora determinar as assíntotas horizontais do gráfico de f. Note que g() = arctg() + é uma função itada, pois π/4 < arctg() < +π/4 π/4 + < arctg() + < +π/4 +. Por outro lado, 2 + = Pelo teorema do anulamento, concluímos que 2 + = 0. arctg() = arctg() = 0. Sendo assim, a retas y = 0 é a única assíntota horizontal do gráfico da função f. [09] (a) Dizemos que uma reta = p é uma assíntota vertical do gráfico de uma função real f se p + f() = + ou p + f() = ou p f() = + ou p f() =. (b) Se p e p 3, então = p não é assíntota vertical do gráfico de f pois, neste caso, p 2 2 p 3 0 e, sendo assim, p 2 3 = p2 + 4 p 2 p 2 2 p 3. Uma vez que = ( + 7)( 3 e 2 3 = ( + )( 3), temos que = ( + 7)( 3) 3 ( + )( 3) = = 0 4 = 5 2. Portanto, a reta = 3 não é uma assíntota vertical do gráfico de f. Agora, quando +, 2 3 = ( + )( 3) 0 e Consequentemente, = ( + 7)( 3) + ( + )( 3) = +. Logo, a reta = é uma assíntota vertical do gráfico de f. Teto composto em L A TEX2e, HJB, 02/09/204. 6
ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 08 Continuidade e O Teorema do Valor Intermediário [0] (2008.) (a) Dê um exemplo de uma função
Leia maisLista de Exercícios 2 1
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Lista de Eercícios Mostre, utilizando a definição formal, que os ites abaio eistem e são iguais ao valor
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática
Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas Departamento de Matemática MAT 040 Estudo Dirigido de Cálculo I 07/II Encontro 5 - /09/07: Eercício : Seja f a função cujo gráfico
Leia maisCálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite
Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco
Leia maisT. Rolle, Lagrange e Cauchy
T. Rolle, Lagrange e Cauchy EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Mostre que a equação 5 + 5 = 5 tem uma única solução em R. Seja f = 5 +5 5. Então f é contínua e diferenciável em R. Temos f = 5 4 + > 0, em R, logo f
Leia maisResolução dos Exercícios Propostos no Livro
Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por y 0 O que ocorre com f() quando se aproima de por valores maiores que? E quando se aproima de
Leia maisCONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL
BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206 Universidade Federal
Leia maisCÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos.
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 9: Grácos. Objetivos da Aula Denir e determinar as assíntotas oblíquas ao gráco de uma função, Utilizar o Cálculo Diferencial
Leia maisFundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof. Dr. Maurício Zahn Lista 01 de Exercícios
Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof Dr Maurício Zahn Lista 01 de Eercícios 1 Use a definição de derivada para calcular a derivada
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 18 Esboço de gráficos de funções [01] Verdadeiro ou falso? Se f : R R é uma função de classe C e f (p)
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I LEAmb, LEMat, LQ, MEB, MEEC, MEQ o teste / o eame - 7 de Janeiro de 8 duração: o teste: :3 / o eame: 3: Apresente todos os cálculos e justificações relevantes Para resolver
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática
MAT- - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática - 200 a Lista de eercícios I. Limite de funções. Calcule os seguintes ites, caso eistam: 2 3 + 9 2 + 2 + 4 2 + 6 5 ) 2 3 2 2 2) + 4 + 8
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Implicações e Teoria dos Conjuntos, Conectivos Lógicos
LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 03 Implicações e Teoria dos Conjuntos, Conectivos Lógicos [01] Considere os seguintes predicados (x
Leia maisLimites: Noção intuitiva e geométrica
Eemplo : f : R {} R, f sen a Gráfico de f b Ampliação do gráfico de f perto da origem Limites: Noção intuitiva e geométrica f Apesar de f não estar definida em, faz sentido questionar o que acontece com
Leia maisFicha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy
Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial soluções).teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Seja f) = 3 e. Então f é contínua e diferenciável em R. Uma vez que f) = +, f0) = conclui-se do Teorema do
Leia maisHumberto José Bortolossi [01] (a) (1.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam ao intervalo
PRIMEIRA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome legível: Assinatura: [0] (a) (.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam
Leia maisVolume de um gás em um pistão
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Volume de um gás em um pistão Suponha que um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão é comprimido, o volume
Leia maisUniversidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA
Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Ideia Intuitiva
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL 5-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando
5 a Ficha de eercícios de Cálculo para Informática CÁLCULO DIFERENCIAL 5-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando o quociente f( + h) f() h e tomando o ite quando h tende
Leia maisMatemática A Semi-Extensivo V. 3
Matemática A Semi-Etensivo V. Eercícios 0) 0 f: R R f() = c) f: R R f() = 0. Falsa alsa. CD = R, mas Im(f) = [, ). 0. Falsa alsa. Im(f) = [, ). 0. Falsa alsa. Já não é sobrejetora. 08. Verdadeira f( 5
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Números Reais Geometricamente, Numericamente e Axiomaticamente
LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://wwwprofessoresuffbr/hjbortol/ 07 Números Reais Geometricamente, Numericamente e Axiomaticamente [01] Determine os números reais x,
Leia maisFundamentos de Matemática. Lista de Exercícios Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Fundamentos de Matemática Lista de Exercícios Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 02 Demonstração direta, demonstração por absurdo e
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva = 0 e = y = nos pontos onde Vamos determinar a reta tangente à curva y = nos pontos
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2015/16 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 05/6 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8 Regra de Cauchy. Estudo de funções. a. a) b 0 é uma indeterminação do tipo
Leia maisData: 18/03/2008. Aula Teórica 2 (LIMITES E CONTINUIDADE) Atividade 1 - Analise cada um dos gráficos abaixo e complete as igualdades.
Data: 8/03/008 Aula Teórica (LIMITES E CONTINUIDADE) Atividade - Analise cada um dos gráficos abaixo e complete as igualdades. lim f(x) = 4 gráfico limf(x) = não existe gráfico gráfico3 gráfico4 Professor
Leia mais2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x).
1. Algumas funções básicas 2. Tipos de funções Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eio y, isto é, f( ) = f(). Eemplos: A função f() = n onde n inteiro positivo é par?
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Demonstrações diretas e por absurdo
LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 02 Demonstrações diretas e por absurdo Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa.
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 9 3 de abril de Aula 9 Pré-Cálculo Cuidado! Se os eios coordenados são desenhados com escalas
Leia maisProfessor Dr. Jair Silvério dos Santos 1 LIMITES INFINITOS NO INFINITO Figura 1
CONTNUIDADE E DERIVADAS 1 Professor Dr Jair Silvério dos Santos 1 LIMITES INFINITOS NO INFINITO Definition 01 Dada f : (a, ) R, dizemos que f o ite de f quando aproima-se do infinito é infinito se dado
Leia maisRespostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x 1 x 1. 1 sen x 1 (x 2 1) 2 (x 2 1) 2 sen
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - 07. A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - TURMA EL Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas
Leia maisUFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática
UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Questão. Considere f : [, ] R a função cujo gráfico
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. [01] Determine o domínio natural (efetivo) de cada uma das funções indicadas abaixo.
LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 04 Transformações de gráficos de funções, função raiz quadrada, funções potência [01] Determine o domínio
Leia maisAcadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites
Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites 7.1. Noção Intuitiva de ite Considere a função f(), em que f() = 2 + 1. Para valores de que se aproima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores
Leia maisUnidade F. Limites. Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE
9 Unidade F Limites Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE 9. Noção de ites Quando queremos saber a ordenada do ponto em uma função, cuja lei é y= f(), em que = a, basta calcularmos f(a). O ponto (a,f(a))
Leia maisLista de Exercícios de Calculo I Limites e Continuidade
Lista de Eercícios de Calculo I Limites e Continuidade ) O gráfico a seguir representa uma função f de [ 6, 9] em Determine: ) Dada a função f definida por:, se f ( ), se, se Esboce o gráfico de f e calcule
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 07: Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Confronto e Limite Trigonométrico Fundamental Objetivos da Aula Conhecer e aplicar o Teorema
Leia maisLimites envolvendo infinito primeira parte
Limites envolvendo infinito primeira parte Ao infinito... e além! Buzz Lightyear, Toy Story Meta da aula Estender o conceito de ites de funções aos casos que envolvem o símbolo. Objetivos Ao final desta
Leia maisNotas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental
Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 3 Limites Considere a função f definida por: Qual o domínio dessa função? Se 1, então f () é dada por: (2 + 3)( 1). 1 2 +
Leia mais7 Derivadas e Diferenciabilidade.
Eercícios de Cálculo p. Informática, 006-07 1 7 Derivadas e Diferenciabilidade. E 7-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando o quociente f( + h) f() h e tomando o ite
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. [01] Determine o domínio natural (efetivo/maximal) de cada uma das funções indicadas abaixo.
LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 06 Função raiz quadrada, funções da forma y = f(x) = a 2 x 2, funções potência [01] Determine o domínio
Leia maisLimites. Slides de apoio sobre Limites. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 7 de outubro de 2013
Cálculo 1 ECT1113 Slides de apoio sobre Limites Prof. Ronaldo Carlotto Batista 7 de outubro de 2013 AVISO IMPORTANTE Estes slides foram criados como material de apoio às aulas e não devem ser utilizados
Leia mais(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos
LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número
Leia maisMatemática A Extensivo V. 6
Etensivo V. 6 Eercícios ) C A função que descreve o custo com a primeira locadora é dada por: f () =, + em que é a quantidade de quilômetro rodado. Função que descreve o custo com a segunda locadora: f
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa
Universidade Federal de Viçosa Ciências Eatas e Tecnológicas Departamento de Matemática MAT 4 - Lista - 07/. Determine o domínio a imagem as raízes e o estudo de sinal das funções a seguir: (a) f() = 4
Leia maisFFCLRP-USP LIMITES FUNDAMENTAIS - CÁL. DIF. E INT. I. Professor Dr. Jair Silvério dos Santos TEOREMA DO SANDUICHE
FFCLRP-USP LIMITES FUNDAMENTAIS - CÁL. DIF. E INT. I Professor Dr. Jair Silvério dos Santos TEOREMA DO SANDUICHE Teorema 0.. Dadas f,g, : A R funções e 0 ponto de acumulação de A. (i) Supona eiste ǫ >
Leia maisRESPOSTAS DA LISTA 5 (alguns estão com a resolução ou o resumo da resolução):
Lista de Matemática Básica I - RESPOSTAS) RESPOSTAS DA LISTA alguns estão com a resolução ou o resumo da resolução): Resposta: < < < < < 8 Justificativa: observe que Também observe que: e são simétricos;
Leia mais1 Exercícios de Aplicações da Derivada
Cálculo I (205/) IM UFRJ Lista 4: Aplicações de Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 0.05.205 Eercícios de Aplicações da Derivada. Eercícios de Fiação Fi.: Suponha que f(0) = 0, f é
Leia maisFunção par e função ímpar
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Deartamento de Matemática Alicada Universidade Federal Fluminense Função ar e função ímar Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Função ar Definição Função
Leia maisCálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense. Parte de novembro de 2013
Folha 1 Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 16 13 de novembro de 2013 Parte 16 Cálculo I -A- 1 Aproximações lineares (afins)
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2016/17 - LEAN, MEMat, MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 06/7 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA 8 - SOLUÇÕES Regra de Cauchy. Estudo de funções.. a) 0; b) ln ; c) ln ; d) +
Leia maisCálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1
Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume. Eercícios. Eplique com suas palavras o significado da equação É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que f? Eplique.. Eplique o que significa
Leia maisCÁLCULO I. 1 Primitivas. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Primitivas. Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 8: Primitivas. Objetivos da Aula Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares. Primitivas Em alguns problemas, é necessário
Leia maisA Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função
A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada
Leia maisCÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade do gráco de uma função;
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 18: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade do gráco de uma função; Denir ponto de
Leia maisUFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene
UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene - 011-1 37 Sumário III Números reais - módulo e raízes 38 3.1 Módulo valor absoluto........................................ 38 3.1.1 Definição
Leia maisDerivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente.
Análise Matemática - 007/008.5.- Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. Teorema.31 Derivada da Função Composta
Leia maisANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 2018
ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 08 Condições Suficientes de Diferenciabilidade Teorema Seja f(z) = u(, y) + iv(, y). Se u e v têm derivadas parciais contínuas em torno
Leia maisMaterial de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1
Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia
Leia maisPrimeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I
Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I 28 de Março de 23 Questão [2,5 pontos] Calcule os limites abaio quando eistirem: 3 a) lim 2 3 + 2 b) lim 2 2 4 + 4 3 3 2 + 4 Questão 2 [3,75 pontos] Considere
Leia maisHumberto José Bortolossi x 1 < 0 x2 x 12 < 0. x 1 x + 12 (x + 3)(x 4)
SEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome legível: Assinatura: [0] (2.0) Resolva a inequação x 2 < x + 2 no conjunto dos
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I CDI I
Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Limites laterais e ites envolvendo o infinito Luiza Amalia Pinto Cantão luiza@sorocaba.unesp.br Limites 1 Limites Laterais a à diretia b à esquerda c Definição precisa
Leia maisUFRJ - Instituto de Matemática
UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras
Leia mais1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016
1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/016 1. Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas
Leia maisO limite trigonométrico fundamental
O ite trigonométrico fundamental Meta da aula Continuar a apresentação de ites de funções. Objetivo Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Calcular ites usando o ite trigonométrico fundamental.
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 2 13 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 2 13 de agosto de 2010 Aula 2 Pré-Cálculo 1 Problemas de organização e erros frequentes Problemas
Leia maisCDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 5) 1 Extremos de Funções Escalares. Exemplos
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Resumo das Aulas Teóricas (Semana 5) 1 Etremos de Funções Escalares. Eemplos Nos eemplos seguintes
Leia maisMAT Lista de exercícios para a 3 a prova
Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística MAT - Lista de eercícios para a a prova Valentin Ferenczi de maio de 9. Estude a função dada com relação a máimos e mínimos locais e globais.
Leia maisCapítulo 1 Números Reais
Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 1 Números Reais Conjuntos Numéricos Conjunto dos naturais: N = {1,, 3, 4,... } Conjunto dos inteiros: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... } {
Leia maisCálculo III-A Módulo 1 Tutor
Eercício : Calcule as integrais iteradas: Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor a) e dd b) dd Solução: a) Temos:
Leia maisMaterial Teórico - Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau. Inequações Quociente. Primeiro Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau Inequações Quociente Primeiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 27 de
Leia maisDizemos que uma superfície é um cilindro se na equação cartesiana da superfície há uma variável que não aparece.
Aula 9 Cilindros e Quádricas Cilindros Dizemos que uma superfície é um cilindro se na equação cartesiana da superfície há uma variável que não aparece. Exemplo 1. x 2 + y 2 = 1 No espaço, o conjunto de
Leia maisAula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva.
Curvas ou Funções Vetoriais: Aula 6 Exemplo 1. Círculo como coleção de vetores. Vetor posição de curva: r(t) = (cos t, sen t), t 2π r(t) pode ser vista como uma função vetorial: r : [, 2π] R R 2 Doravante
Leia maisFunções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição
Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente
Leia maisSEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM. Nome legível: Assinatura:
SEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome legível: Assinatura: [01] (2.0) Resolva a desigualdade 1 x 2 2 x 3 0 usando a
Leia maisc) R 2 e f é decrescente no intervalo 1,. , e f é crescente no intervalo 2, 2
UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº As questões de números a 9 referem-se à função f ( ). - O domínio da função f é o conjunto: a) R b) R c) R R, 0 e) R 0 - A derivada
Leia maisLimite e Continuidade
Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Limite e Continuidade Neste caítulo aresentaremos as idéias básicas sobre ites e continuidade de
Leia maisUNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ. Observação: Faça os exercícios 5, 6, 7, 8b-c), 9, 10, 11, 12, 13, 15, 19, 22, 27
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 3a Lista de Eercícios - Limites Prof. Wellington D. Previero Observação: Faça os eercícios 5, 6, 7, 8b-c), 9, 10, 11, 12, 13, 15, 19, 22, 27 1. Eplique com suas
Leia maisTraçado do gráfico de uma função; otimização
15 Traçado do gráfico de uma função; otimização Sumário 15.1 Traçado do gráco de uma função.......... 15. Problemas de otimização............... 15 1 Unidade 15 Traçado do gráfico de uma função 15.1 Traçado
Leia maisLISTA DE PRÉ-CÁLCULO
LISTA DE PRÉ-CÁLCULO Instituto de Matemática - UFRJ Prof. Nei Rocha Rio de Janeiro 2018-2 Eercício 1 Resolva: (a) 1 = + 1 (b) 6 3 1 = 3 (1 + 2 2 ) (c) 8 < 3 4 (d) 2 2 + 10 12 < 0 (e) 1 2 + 2 3 4 (f) +
Leia maisAssíntotas. Assíntotas. Os limites infinitos para a função f(x) = 3/(x 2) podem escrever-se como
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Assíntotas Os limites
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO Grupo I
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) ª FASE 25 DE JUNHO 203 Grupo I Questões 2 3 4 5 6 7 8 Versão B D C A D B C A Versão 2 C A B D D C B B Grupo II...
Leia maisIII Números reais - módulo e raízes Módulo ou valor absoluto Definição e exemplos... 17
UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene - 010-16 Sumário III Números reais - módulo e raízes 17 3.1 Módulo valor absoluto...................................... 17 3.1.1 Definição
Leia maisCÁLCULO I. 1 Construção de Grácos. Objetivo da Aula. Aula n o 20: Grácos. Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco de uma função.
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 0: Grácos. Objetivo da Aula Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco
Leia maisPARTE 5 LIMITE. 5.1 Um Pouco de Topologia
PARTE 5 LIMITE 5.1 Um Pouco de Topologia Vamos agora nos preparar para definir ite de funções reais de várias variáveis reais. Para isto, precisamos de alguns conceitos importantes. Em primeiro lugar,
Leia mais5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções.
Capítulo V: Derivação 0.. 4. 7. tg( ) 0 tg( π ( + + ) sen( ) + ) sen( ) Resolução: cos( ) Repare que não eiste sen( ). + 5. ( e + ) 6. 0 π ( + cos( )) cos( ) sen( ) sen( ) Mas, e como 0, então 0 + + +
Leia maisBases Matemáticas - Turma A3
Bases Matemáticas - Turma A3 a Avaliação - Resolvida Esta resolução é mais do que um mero gabarito. O objetivo é apresentar a solução de cada problema de modo detalhado, com o propósito de ajudar na compreensão
Leia maisCentro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções
Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo - 01. Aula 1 Professor: Carlos Sérgio Revisão de Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema de Coordenadas Cartesianas,
Leia maisCálculo III-A Módulo 1
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Prezado aluno, Cálculo III-A Módulo Seja bem-vindo à nossa disciplina. Este teto possui - salvo
Leia maisMAT Cálculo I - POLI Gabarito da P2 - A
MAT 45 - Cálculo I - POLI - 006 Gabarito da P - A Questão A) Calcule (.0) (a) lim ( cos() ) / (.0) (b) 0 ( ( π ) ) cos + e d (a) Tem-se, ( π/4, π/4) \ {0}: (cos ) / = ep( ln(cos )). Pondo f() =. ln(cos
Leia maisAula de exercícios (21/05/2016) 1) (OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.
Aula de eercícios (21/05/2016) 1) (OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura. A medida do ângulo é: A primeira informação que devemos
Leia maisLIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por =
LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproimar o máimo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo ite são usados com bastante freqüência. A produtividade
Leia maisAula 26 A regra de L Hôpital.
MÓDULO - AULA 6 Aula 6 A regra de L Hôpital Objetivo Usar a derivada para determinar certos ites onde as propriedades básicas de ites, vistas nas aulas 3, 4, e 5, não se aplicam Referência: Aulas 3, 4,
Leia maisAula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:
Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto
Leia maisOUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
8 OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Gil da Costa Marques 8. Integração por partes 8. Integrais de funções trigonométricas 8.3 Uso de funções trigonométricas 8.4 Integração de Quociente de Polinômios 8.5 Alguns
Leia maisCálculo III-A Lista 1
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Lista Eercício : Calcule as seguintes integrais duplas: a) b) c) dd, sendo [,] [,].
Leia maisCapítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1
Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.
Leia maisFundamentos de Matemática. Lista de Exercícios Humberto José Bortolossi Argumentos e Exercícios de Revisão
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Fundamentos de Matemática Lista de Exercícios Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 04 Argumentos e Exercícios de Revisão [01] (Exercício
Leia mais