ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi

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1 ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi 06 Limites, Assíntotas Horizontais e Assíntotas Verticais [0] (2006.2) Considere a função f() = 2 4. (a) Determine o domínio natural (efetivo) de f, isto é, determine o maior subconjunto de pontos R para os quais é possível possível calcular f(). (b) Determine, caso eistam, as assíntotas verticais do gráfico de f. Justifique sua resposta! (c) Determine, caso eistam, as assíntotas horizontais do gráfico de f. Justifique sua resposta! (d) A função f é contínua? Justifique sua resposta! [ ( ) ( )] [02] (2007.2) Calcule cos sen. Justifique a sua resposta! 0 [03] (2007.2) Determine as assíntotas horizontais e verticais (caso eistam) da função Justifique a sua resposta! y = f() = [04] (2008.) Determine as assíntotas horizontais e verticais (caso eistam) da função Justifique a sua resposta. y = f() = [05] (2008.) Diga se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa. Se a sentença for verdadeira, apresente uma justificativa e, se ela for falsa, apresente um contraeemplo. (a) Se f() = + e g() = +, então [f() g()] = 0. (b) Se f() = 0 e g() = +, então [f() g()] = 0. [06] (2009.) Determine as assíntotas horizontais e verticais (caso eistam) do gráfico da função Justifique a sua resposta! y = f() = [07] (2009.2) O que é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f : R R? Dê a definição! Dê também um eemplo de uma função cujo gráfico possui pelo menos uma assíntota horizontal e um eemplo de uma função cujo gráfico não possui assíntotas horizontais!

2 [08] (2009.2) Determine as assíntotas horizontais e verticais (caso eistam) do gráfico da função Justifique a sua resposta! [09] (203.2) y = f() = arctg() (a) O que é uma assíntota vertical do gráfico de uma função real f? Dê a definição! (b) Determine, caso eistam, as assíntotas verticais do gráfico da função f() = Justifique sua resposta! 2

3 Respostas dos Eercícios [0] (a) Queremos encontrar todos os valores de que satisfazem a desigualdade 4 > 0, isto é, > 4. Etraindo-se a raiz quadrada dos dois lados desta desigualdade, obtemos que 2 > 4, isto é, > 2. Agora, se > 2, então < 2 ou > +2. Sendo assim, o domínio natural da função f é o conjunto D = (, 2) (+2, + ). Erro frequente: usar a seguinte implicação errada: > 4 > 2. Lembre-se que =. (b) Para todo ponto a no domínio de f, vale que f() = a a 2 4 = a2 4, isto é, a f() eiste para todo a no domínio de f. Sendo assim, os únicos candidatos a assíntota vertical do gráfico de f são as retas = 2 e = +2. Como segue-se que = 0 + e = 0 +, = + e = +. Desta maneira, as retas = 2 e = +2 são, de fato, as únicas assíntotas verticais do gráfico de f. Erros frequentes: muitos não escreveram nada nesta questão. Outros colocaram a resposta direto, sem justificativas. (c) Como 2 4 = + e 2 4 = +, segue-se que 2 4 = 0+ e 2 4 = 0+. Assim, a reta y = 0 é a única assíntota horizontal do gráfico de f. Erros frequentes: muitos não escreveram nada nesta questão. Outros colocaram a resposta direto, sem justificativas. (d) A função f é contínua como multiplicação, diferença, composição e divisão de funções contínuas. Erro frequente: muitos alunos escreveram que f não é contínua com o seguinte argumento: Eu sei que f é contínua se a f() = f(a). Como +2 f() = +, segue-se que f não é contínua em a = +2. O problema com este argumento é que o ponto a = +2 não está no domínio de f. Desta maneira, não faz sentido investigar se f é contínua ou não neste ponto. [02] Como, para todo 0, cos ( ) + e sen 3 ( ) +,

4 segue-se que cos ( ) sen ( ) +. Isto mostra que g() = cos(/) sen(/) é uma função itada. Como 0 = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que [ ( ) ( )] cos sen = 0. 0 [03] Como = = + e 3 + = = +, segue-se que a reta y = é a única assíntota horizontal do gráfico de f. Note que f é contínua em todos os pontos diferentes de zero. Assim, a única candidata a assíntota vertical é a reta = 0. Mas [ ] = = +, + pois 0 +(/) = + e 0 +[( 3 + )/( + )] =. Isto mostra que, de fato, = 0 é uma assíntota vertical do gráfico de f. [04] Vamos determinar primeiro as assíntotas verticais do gráfico de f. Se p é diferente de e +, então 2 3 f() = = p2 2 p 3, p p p 2 que não é e nem +. Assim, as únicas candidatas a assíntota vertical do gráfico de f são as retas = e = +. Como 2 3 f() = ( + )( 3) = ( + )( ) = 3 = 2 não é e nem +, segue-se que a reta = não é uma assíntota vertical do gráfico de f. Por outro lado, dado que 2 3 f() = + + = + 3 =, concluímos que a reta = é uma assíntota vertical do gráfico de f. Vamos agora determinar as assíntotas horizontais do gráfico de f. Uma vez que e f() = 2 3 f() = 2 3 = = segue-se que y = é a única assíntota horizontal do gráfico de f. 4 2 = 3 = 2 = 3 = +,

5 [05] (a) A sentença é falsa. Como contraeemplo, considere as funções f() = + 2 e g() =. Note que f() = +, g() = +, por outro lado, [f() g()] = [ + 2 ] = 2 = 2 0. (b) A sentença é falsa. Como contraeemplo, considere as funções f() = / e g() =. Note que f() = 0, g() = +, por outro lado, [f() g()] = [ (/ )] = = 0. [06] Vamos determinar primeiro as assíntotas verticais do gráfico de f. Note que Se p {2, 3}, então y = f() = = ( 2) 2 ( 2)( 3) f() = p p = p 2 p 3, que não é e nem +. Assim, as únicas candidatas a assíntota vertical do gráfico de f são as retas = 2 e = 3. Agora e = = = = +, pois 3 +( 2) = e 3 +( 3) = 0 +. Segue-se então que a reta = 3 é a única assíntota vertical do gráfico da função f. Vamos agora determinar as assíntotas horizontais do gráfico de f. Temos que e = = 2 3 = 2 3 = 2/ 3/ = 2/ 3/ = 2/ 2/ / = + 2/ 2/ / =. Sendo assim, a reta = é a única assíntota horizontal do gráfico da função f. [07] Dizemos que uma reta y = L é assíntota horizontal do gráfico de uma função f : R R se f() = L ou f() = L. A reta y = π/2 é assíntota horizontal do gráfico de y = f() = arctg(). O gráfico da função y = g() = não possui assíntotas horizontais, pois g() = g() = +. [08] Vamos determinar primeiro as assíntotas verticais do gráfico de f. Se p, então arctg() + f() = p p 2 + = arctg(p) + p 2 2 p +, que não é e nem +. Assim, a única candidata a assíntota vertical do gráfico de f é a reta =. Como +(arctg() + ) = arctg() + = π/4 + > 0 e +( 2 + ) = +( ) 2 = 0 +, concluímos que arctg() + f() = + p 2 + = +. 5

6 Segue-se então que a reta = é a única assíntota vertical do gráfico da função f. Vamos agora determinar as assíntotas horizontais do gráfico de f. Note que g() = arctg() + é uma função itada, pois π/4 < arctg() < +π/4 π/4 + < arctg() + < +π/4 +. Por outro lado, 2 + = Pelo teorema do anulamento, concluímos que 2 + = 0. arctg() = arctg() = 0. Sendo assim, a retas y = 0 é a única assíntota horizontal do gráfico da função f. [09] (a) Dizemos que uma reta = p é uma assíntota vertical do gráfico de uma função real f se p + f() = + ou p + f() = ou p f() = + ou p f() =. (b) Se p e p 3, então = p não é assíntota vertical do gráfico de f pois, neste caso, p 2 2 p 3 0 e, sendo assim, p 2 3 = p2 + 4 p 2 p 2 2 p 3. Uma vez que = ( + 7)( 3 e 2 3 = ( + )( 3), temos que = ( + 7)( 3) 3 ( + )( 3) = = 0 4 = 5 2. Portanto, a reta = 3 não é uma assíntota vertical do gráfico de f. Agora, quando +, 2 3 = ( + )( 3) 0 e Consequentemente, = ( + 7)( 3) + ( + )( 3) = +. Logo, a reta = é uma assíntota vertical do gráfico de f. Teto composto em L A TEX2e, HJB, 02/09/204. 6