1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016

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1 1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/ Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas Horizontais e Verticais: 1

2 18 de agosto de 016

3 Os ites ininitos podem ser aplicados para encontrar assíntotas verticais de um gráicos, se elas eistirem. Neste caso, quanto mais os valores de se aproimam do número, o gráico de () se aproima da reta =. A igura abaio que representa o gráico da unção () = 1.

4 y Figura : Gráico da unção () = 1.

5 Deinição Diremos que a reta = a é uma assíntota vertical do gráico da unção, se pelo menos uma das alternativas abaio or verdadeira. (i) a + () = + ; (ii) a + () = ; (iii) a () = + ; (iv) a () =. Observação Dada uma unção contínua, pode eistir mais de uma assíntota vertical e o gráico nunca interceptará tais assíntotas. Geometricamente, a assíntota vertical do gráico de uma unção é a reta paralela ao eio Oy que passa pelo ponto (a, 0).

6 Eemplo Ache a(s) assíntota(s) vertical(is) da unção () = + 4. Observe que os candidatos a assíntotas verticais são = e =, pois são os valores que satisazem a equação 4 = 0. Como + 4 = 1 = = 1 4, + ( )( + ) concluímos que = não é uma assíntota vertical.

7 Uma vez que e = + ( )( + ) = 1 = = + + ( )( + ) = = +, + 1 pela deinição, a reta = é uma assíntota Vertical.

8 y Figura : Gráico da unção () = + 4.

9 Deinição Diremos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráico de uma unção, se pelo menos uma das seguintes airmações or verdadeira. (i) + () = b e eiste um número N, tal que, se > N, então () b. (ii) () = b e eiste um número N, tal que, se < N, então () b. Observação Uma unção pode ter no máimo duas assíntotas horizontais e o gráico de pode interceptar a assíntota horizontal.

10 Eemplo Encontre a(s) assíntota(s) horizontal(is) da unção () = Note que ( ) = ( 3 ) ( ) = ( 3 ) = 1 3,

11 e ( ) = ( 3 ) ( ) = ( 3 ) = 1 3.

12 Para mostrar que eiste N > 0 tal que () 1, para > N, é suiciente 3 mostrar que o gráico de corta a reta y = 1 3 De ato, um número inito de vezes. () = = 1 3 3( 4 + ) = = 0 = 3. Logo, para > 3, temos () 1 3 e desta orma, y = 1 3 horizontal do gráico de. é uma assíntota

13 y Figura : Gráico da unção () =

14 Continuidade: 1

15 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática sen5 0 t0 sent t 5 5sent 5 t0 t 5 5sent t0 t 5 t0 sent t Eemplo Calcule sen7. 0 sen9 Solução: Temos que: sen7 sen7 0 sen9 0 sen9 7sen sen9 9 sen sen9 9 sen sen9 0 9 Fazendo u = 7 e v = 9, e lembrando que se tende a zero, u e v tendem a zero também, temos: sen7 0 sen9 7 9 u0 v0 sen u u sen v v a Quando deinimos a Continuidade De modo inormal, analisamos o comportamento da unção para valores de próimos de a, porém dierentes de a. Em muitos eemplos, vimos que a e pode eistir, mesmo que não esteja deinida no ponto a. Se está deinida em eiste, pode ocorrer que este ite seja dierente de a. Quando a diremos, de acordo com a deinição abaio, que é contínua em a. a Deinição: Uma unção é contínua em um número a se satisaz as seguintes condições: i. a é deinida; Notas de Aula - Cálculo I - Limites 3

16 ii. Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática eiste; a iii. a a. Segue alguns esboços de gráicos de unções que não são contínuas em a. y Para ver a animação deste eemplo y a ( I ) ( II ) a y y a a ( III) ( IV) Se uma (ou mais) das três condições da deinição não orem satiseitas, dizemos que é descontínua em a. Observe os gráicos acima. As descontinuidades em ( I ) e ( III ) são descontinuidades removíveis, pois podemos removê-las deinindo adequadamente o valor de a. A descontinuidade em ( II ) é do tipo salto, conorme a aparência do gráico. Se tende para ou quando tende para a pela esquerda ou pela direita, conorme o gráico ( IV ), temos uma descontinuidade ininita em a. Notas de Aula - Cálculo I - Limites 4

17 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Eemplo A unção não é contínua em a = 0, pois 0 não é deinido e também 0 não eiste. y Descontinuidade tipo salto Eemplo A unção deinida por 5 é contínua em = 0? 5 Solução: Como 0 0 5, Temos que 0 0 está deinida Assim, Como as condições de (i) a (iii) da deinição oram satiseitas, concluímos que é contínua em 0.. Eemplo Veriique se a unção deinida por contínua em para o número 1. Solução: Testando as três condições da deinição, temos: 3 1 se 1 1 é 3 se 1 Para ver a animação deste eemplo i. 1 3 ii iii. Como , a unção é descontínua em = 1. Notas de Aula - Cálculo I - Limites 5

18 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Eemplo Seja a unção deinida por 9 3 unção é contínua em = 0. Solução: Pela deinição de unção contínua, temos: se se 0. Veriique se a 0 Para ver a animação deste eemplo i ; ii e Logo, 3 0 iii Logo, a unção é contínua em = 0. Propriedades das unções contínuas 1. Se as unções e g são unções contínuas em um ponto a, então: i. g é contínua em a; ii. iii. iv. g é contínua em a; g é contínua em a; / g é contínua em a, desde que g a 0.. Uma unção polinomial é contínua para todo número real. 3. Uma unção racional é contínua em todos os pontos de seu domínio. 4. As unções trigonométricas são contínuas em todo seu domínio. 5. As unções eponencial e logarítmica são contínuas em todo seu domínio. 3 se 1 Determine os números nos quais a unção é Eemplo se 1 contínua. Notas de Aula - Cálculo I - Limites 6

19 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Solução: As unções 3 e são polinomiais e, portanto, contínuas em qualquer número. Assim, temos que o único número cuja continuidade é questionável é = 1. Dessa orma, i ii Assim, como 1 1, temos que não eiste 1 Portanto, a unção será contínua em todos os números, eceto = 1. Eemplo 7 k Ache o valor para a constante k, se possível, que ará a unção se 1 contínua para todos os números reais. se 1 Solução: Sabemos que as unções 7 e são contínuas em todo seu domínio. Para que a unção seja contínua para todos os números reais, basta veriicarmos a continuidade de para = 1. Assim, veriiquemos as três condições da deinição de continuidade: k 1 7 i. 1 5 ii. ( ) ( ) k 1 k Para que ( ) eista, temos que k seja igual a 5. 1 iii. Para que a unção seja contínua para todos os números reais, temos que ( ) (1), logo k = 5. 1 Continuidade à esquerda e à direita: Seja a unção deinida em um intervalo echado a,b. Dizemos que uma unção é contínua à esquerda no ponto c se e é contínua à direita no ponto c, se b ( ) ( b) Notas de Aula - Cálculo I - Limites 7

20 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática a ( ) ( a) Assim, deinimos continuidade em um intervalo echado: Deinição: Uma unção é dita contínua em um intervalo echado a, b, se as seguintes condições são satiseitas: i. é contínua em a, b; ii. é contínua à direita em a; iii. é contínua à esquerda em b. Eemplo Veriique a continuidade da unção 9. Solução: Como o domínio da unção é o intervalo echado, necessitamos investigar a continuidade de no intervalo aberto 3,3 3,3 e nos pontos etremos. Seja c um ponto qualquer do intervalo 3,3. Então, pela deinição de continuidade em um ponto, temos: i. ii. (c) 9 c está deinido pois 3,3 c ; ( ) 9 9 c eiste pois c 3,3 c c ; iii. ( ) 9 c (c) c Logo, a unção é contínua para todo ponto do intervalo 3,3. Veriiquemos os etremos: 3 ( ) e (3) 9 3 0, logo é contínua à esquerda em 3. Além disso, 3 ( ) e ( 3) direita em 3. Dessa orma, temos que é contínua no intervalo echado 3,3., logo é contínua à Notas de Aula - Cálculo I - Limites 8

21 Eercícios: Fazer os eercícios 8,10,18 e 19 da lista (Ver em intermat-disciplinas-mat146- Listas) 1