CÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos.

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 9: Grácos. Objetivos da Aula Denir e determinar as assíntotas oblíquas ao gráco de uma função, Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco de uma função. Assíntotas Oblíquas Nas aulas 08 e 09, denimos as assíntotas verticais e horizontais como sendo retas constantes cujas equações são encontradas mediante o cálculo de ites no innito e ites innitos. Porém, eistem assíntotas que não são verticais nem horizontais, como por eemplo Figura : Gráco de uma Função f Figura 2: Gráco de uma Função f

2 Cálculo I Aula n o 9 Essas assíntotas são chamadas oblíquas. Então, podemos denir que assíntotas oblíquas são retas da forma y = m + n, tais que [ (m + n)] = 0 ou [ (m + n)] = 0 Note que o número m deve ser nito e diferente de 0. Consideremos então, a equação dessas assíntotas como sendo y = m + n, então podemos calcular m e n da seguinte forma: e Vejamos alguns eemplos: n = m = e m = [ m] e n = [ m] Eemplo. Determine as assíntotas oblíquas da função = Solução: 2 +. Mostraremos primeiro para +. Calculando o valor de m, obtemos m = Pela regra de L'Hôspital, temos que = = ( 2 + ) = m = 2 2 = Agora, vamos calcular o valor de n. Desse modo, note que n = [ ] = Pela regra de L'Hôspital, temos que Fazendo para, temos que m = = [ ] 2 + = 2 = + n = 2 = 0 = = ( 2 + ) = Utilizando a regra de L'Hôspital, temos que m = Calculando o valor de n. Dessa forma, note que n = [ ] = Fazendo uso da regra de L'Hôspital, temos que 2 2 = = [ ] 2 + = 2 = + n = Portanto y = é a única assíntota da função = 2 = 0 [ ] = [ ] = [ ] + [ ] + + 2, como podemos vericar no gráco abaio + Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 2

3 Cálculo I Aula n o 9 Figura : Gráco de uma Função = Eemplo 2. Determine as assíntota oblíqua de = Solução: Primeiramente, vamos determinar o quociente. = 2 + = = 2 se > se < 0 Dessa forma, vamos calcular os ites e Utilizando a mudança de variável u = +, temos que se + então u e se então 2 u. Logo, e que = + 2 = u = u = + 2 = u = u Portanto, temos dois valores para m. Vamos determinar os valores de n, e para isso, precisamos determinar a função para +. Sendo assim, temos que Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

4 Cálculo I Aula n o = 2 + ( ) = = = ( ) = ) = ( ( + 2 ) = 0. 2 = 0 Para, temos que + = 2 + +, logo Fazendo a mudança de variável u =, temos que se então u +. Logo, = [ u 2 + u] = 0 u + Logo, as assíntotas oblíquas de são y = e y =. Observe o gráco abaio: Figura 4: Gráco de uma Função = Construção de Grácos Separamos alguns eemplos de construção de grácos de funções utilizando o cálculo diferencial. Para isso, em todos os eemplos seguiremos o seguinte roteiro. () Domínio - vericar sempre em que pontos a função está denida ou não está denida; (2) Simetria - vericar se a função é par ou ímpar. No caso de trabalharmos com funções periódicas, determinar o período, caso eista. () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máimos e Mínimos Locais - Utilizar a primeira derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e o teste da primeira derivada para determinar os máimos e mínimos locais; Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4

5 Cálculo I Aula n o 9 (4) Concavidade / Pontos de Ineão - Utilizar a segunda derivada para determinar a concavidade da função e também os pontos de ineão; (5) Assíntotas - Utilizar os ites no innito para determinar a eistência de assíntotas horizontais; vericar os pontos em que a função não está denida para determinar as assíntotas verticais e utilizar o conteúdo da seção anterior para determinar as assíntotas oblíquas, caso eistam; (6) Raízes e Interseção com o eio y - determinar as raízes da função e o ponto de interseção com o eio y, caso eistam; (7) Esboçar o gráco. Observação. Sempre que determinarmos os etremos relativos e os pontos de concavidade se faz necessário determinar o valor da função nesses pontos para que possamos representá-los no gráco. Observação 2. Na procura por raízes de uma função, podemos utilizar diversos métodos que já foram ensinados como a divisão de polinômios, as relações entre raízes e coecientes de um polinômio e até mesmo o Teorema do Valor Intermediário. Um resultado pouco conhecido talvez mas que pode nos auiliar, é o seguinte: Proposição. Considere o polinômio a n n + a n n + + a a + a 0. Se ele possui uma raiz inteira (uma de suas raízes é um número inteiro) então divide o termo independente a 0 Eemplo. Esboce o gráco da função = 2 + Solução: Vamos seguir sempre o roteiro mencionado no início dessa seção. () Domínio. Como f é uma função polinomial, então D f = R. (2) Simetria. Note que f( ) = ( ) ( ) 2 ( ) + = Como f( ) e f( ) =, então f não é par nem ímpar. () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máimos e Mínimos Locais. Vamos determinar a função f e estudar o seu sinal. Desse modo, f () = 2 2 Agora, vamos determinar as raízes de f. Dessa forma, utilizando a fórmula de Bháskara, temos que as raízes são = e =. Então, estudando o sinal da função f, temos o seguinte diagrama Figura 5: Estudo do Crescimento/Decrescimento de = 2 + Logo, f é crescente em (, ) (, + ) e decrescente em ( ),. Pelo teste da primeira derivada, é máimo local e é mínimo local. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5

6 Cálculo I Aula n o 9 (4) Concavidade / Pontos de Ineão. Vamos determinar a função f e estudar o seu sinal. Sendo assim, f () = 6 2 Logo, a raiz de f é =. Estudando o sinal de f, temos o seguinte diagrama Figura 6: Estudo da Concavidade de = 2 + Logo, f tem concavidade para baio em (, ) ( ) e para cima em, +. Analisando a concavidade de f, podemos notar que = é um ponto de ineão de f. (5) Assíntotas. Verticais. Como f está denido em R, então f não apresenta assíntotas verticais. Horizontais. Para vericar se eistem assíntotas horizontais, devemos calcular os ites e. Então, = 2 + = ( 2 + ) = +. = + e Oblíquas. Note que = 2 + = Portanto, f não apresenta assíntotas horizontais. Logo, ( 2 + ) =. = = 2 + = 2 + = 2 + = 2 ( ) = +. = + e também que = 2 + = 2 ( 2 + ) =. = Com esses resultados, podemos concluir que f não possui assíntotas oblíquas. (6) Raízes e Interseção com o eio y. Por inspeção, note que é uma raiz de. Se tratando de uma função polinomial, podemos utilizar o Método de Briot-Runi ou a divisão usual de polinômios para descobrir que 2 + = ( ) 2 ( + ). Logo, = ( ) 2 ( + ), e portanto, as raízes de f são e (note que é uma raiz dupla). A interseção com o eio y é feita fazendo = 0 na epressão da função. Logo, f(0) = = Logo, o ponto de interseção com o eio y é o ponto (0, ) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6

7 Cálculo I Aula n o 9 (7) Esboçar o gráco. Notamos primeiramente que ( f ) = 2 27 ( ) f = 6 27 f() = 0 f( ) = 0 Assim, o gráco é dado por Figura 7: Graco de = 2 + Eemplo 4. Esboce o gráco de = Solução: () Domínio. Note que D f = R (2) Simetria. Observe que Então f é uma função par. f( ) = ( ) 4 2( ) 2 = = () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máimos e Mínimos Locais. Calculando a primeira derivada, temos que f () = 4 4 Calculando as raízes da primeira derivadas, temos que f () = 0 4( 2 ) = 0 = 0 ou = ou = Estudando o sinal de f podemos construir o seguinte diagrama e eibir os intervalos de crescimento e descrescimento de f. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7

8 Cálculo I Aula n o 9 Figura 8: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de = Então, f é decrescente em (, ) (0, ) e crescente em (, 0) (, ). Utilizando o diagrama acima, segue do teste da primeira derivada que e são mínimos locais e 0 é máimo local. (4) Concavidade / Pontos de Ineão. Para estudar a concavidade, devemos estudar o sinal da função f. Sendo assim, note que f () = Logo f () = = 0 4( 2 ) 4( )( + ) Sendo assim, as raízes são = e =. Dessa forma, utilizando o diagrama abaio, podemos determinar a concavidade de f. Figura 9: Concavidade de = ( ) Então, f possui concavidade para cima em, ( ) baio em,. Utilizando o diagrama acima, podemos perceber que = são pontos de ineão de f. (5) Assíntotas. Verticais. Como o domínio de f é R, então não há assíntotas verticais. ( ), + e possui concavidade para e = Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 8

9 Cálculo I Aula n o 9 Horizontais. Calculando os ites no innto, temos que e = = = = Então, não há assíntotas horizontais. + Oblíquas. A função é dada por = Note que e que 4 ( 2 ) = +. = ( 2 ) = +. = + 2 Observe que se + ou, temos que = 2 2 = ( 2 ) 2 = +. = + 2 = ( 2 ) 2 =. = Com isso, podemos concluir que f não admite assíntotas oblíquas. (6) Raízes e Interseção com o eio y. Fazendo = 0, obtemos que = 0 2 ( 2 2) = 0 = 0 ou = 2 ou = 2 Então as raízes são 0(raiz dupla), 2 e 2. Agora, fazendo f(0) = = 0 notamos que a função intersecta o eio y na origem. (7) Esboçar o gráco. Fazendo os seguintes cálculos Sendo assim, o gráco de f é dado por f f(0) = 0 f( 2) = 0 f( 2) = 0 f( ) = ( ) f() = f = 5 9 ( ) = 5 9 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 9

10 Cálculo I Aula n o 9 Figura 0: Gráco de = Eemplo 5. Esboce o gráco de = Solução: () Domínio. Note que D f = R { } (2) Simetria. Observe que 2 + f( ) = ( )2 = 2 Como f( ) e f( ), então f não é par nem ímpar. () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máimos e Mínimos Locais. Calculando f, obtemos que f () = (2 ) ( + ) 2.( + ) ( + ) 2 = 2( + 2) 2. ( + ) 2 = ( + ) 2 Sendo assim, note que ( + ) 2 > 0 para todo D f. Logo, para estudarmos o sinal de f, basta estudar o sinal de ( + ) 2. Assim, calculando as raízes do polinômio 2 + 2, obtemos que = 0 ou = 2. Portanto, obtemos o seguinte quadro: Figura : Intervalos de Crescimento e Decrescimento de = 2 + Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 0

11 Cálculo I Aula n o 9 Então, f é crescente em (, 2) (0, + ) e decresce em ( 2, ) (, 0). primeira derivada, = 2 é máimo local e = 0 é mínimo local. Pelo teste da (4) Concavidade / Pontos de Ineão. Calculando f, obtemos f () = (2 + 2) ( + ) 2 ( 2 + 2)[( + ) 2 ] ( + ) 4 = (2 + 2)( + )2 ( 2 + 2).2( + ) ( + ) 4 = (2 + 2)( + ) 2(2 + 2) ( + ) = ( + ) 2 = ( + ) Logo, para analisar o sinal de f basta estudar o sinal de ( + ). seguinte quadro Logo, fazendo isso, temos o Figura 2: Concavidade de = 2 + Então, f tem concavidade para cima em (, ) e para baio (, + ). Note que não é um ponto de ineão. (5) Assíntotas. Verticais. Note que f possui uma assíntota vertical em =. De fato, note que 2 [ ] + + = 0 logo, note que + 2 =, + + = 0 e que g() = + > 0 para +, então, = + Analogamente, calculamos que 2 + = Horizontais. Calculando os ites de f no innito, obtemos que 2 + = [ ] + + Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

12 Cálculo I Aula n o 9 Pela Regra de L'Hôspital, temos que Analogamente, temos que 2 + = Assim, f não admite assíntota horizontal. Oblíquas. Determinando a função, obtemos que Logo, calculando Pela regra de L'Hôspital, temos que Analogamente, temos que Então m =. Agora, calculamos Pela regra de L'Hôspital, temos que Analogamente, obtemos 2 = 2. + = = = 2 ( + ) = + = + = + = [ ] = Portanto, a assíntota oblíqua de f é y = + [ ] + + = = = = [ ] 2 + [ ] [ ] + = + [ ] = = [ ] = (6) Raízes e Interseção com o eio y. Note que se = 0, então 2 + = 0 2 = 0 = 0 Assim, raiz de f é = 0 e é fácil ver que a interseção com o eio y também é na origem. (7) Esboçar o gráco. Efetuando os cálculos abaio, Desse modo, o gráco de f é dado por f( 2) = 4 e f(0) = 0 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 2

13 Cálculo I Aula n o 9 Figura : Gráco de = 2 + Eemplo 6. Esboce o gráco da função = Solução: () Domínio. Note que D f = R. (2) Simetria. Note que f( ) = ( ) ( ) = + = ( ) = = Então f é uma função ímpar. () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máimos e Mínimos Locais. Calculando f, temos que f 2 () = ( ) 2 Agora, note que ( ) 2 > 0 e portanto, o denominador ( ( ) 2 ) > 0 (mas note que a função derivada não está denida em =, = 0 e = ). Então, para estudarmos o sinal de f, basta vericarmos o sinal de 2. Dessa forma, obtemos o seguinte diagrama Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

14 Cálculo I Aula n o 9 Figura 4: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de = ( ) ( ) ( Logo, f é crescente em (, ),, (, + ) e decrescente em ( ) 0,. Pelo teste da a derivada, temos que = é máimo local e = local. (4) Concavidade / Pontos de Ineão. Calculando f, temos que ), 0 é mínimo f () = (2 ) ( ( ) 2 ) ( 2 ) ( ( ) 2 ) ( ( ) 2 ) 2 [ ] 8( ) 2 ( 2 ).. ( ) 2 = 9( ) 4 = 8( ) 2 2.(2 ) 2 9( ) 4 ( ) = 8( ) 2( 2 ) 9( ) 5 = = ( ) 5 = ( ) 5 ( ) 5 Note que 2(2 + ) > 0 então, para estudarmos o sinal de f devemos estudar o sinal de ( ) 5. 9 Sendo assim, temos o seguinte diagrama Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4

15 Cálculo I Aula n o 9 Figura 5: Concavidade de = Logo, f é côncava para cima em (, 0) (, + ) e côncava para baio em (, ) (0, ). Note que =, = 0 e = são pontos de ineão. (5) Assíntotas. Verticais. Note que f não possui assíntotas verticais. Horizontais. Calculando os ites de f no innito. Dessa forma, ) = ( 2 = 2 = + E também, = ( 2 ) = 2 = Oblíquas. Note que Logo, f não possui assíntotas horizontais. Logo, e Agora, temos que = = 2 = 2 2 = 2 = = Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5

16 Cálculo I Aula n o 9 Logo, = Analogamente, temos que ( ). ( ( ) ) ( ( ) ) = = = = = ( ) ) ( ) ( =. = 0. = ( ) = 0. Então, a assíntota oblíqua de f é y =. (6) Raízes e Interseção com o eio y. Note que se = 0, então = 0 = 0 ( 2 ) = 0 Então, = 0, = e = são raízes de f. E também ca fácil ver que a interseção com o eio y é na origem. (7) Esboçar o gráco. Agora, note que ( ) f = 6 08 ( ) e f = 6 08 Então, o gráco é Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6

17 Cálculo I Aula n o 9 Figura 6: Gráco de = Eemplo 7. Esboce o gráco da função = tg, ( π 2, π 2 Solução: () Domínio. Note que D f = ( π 2, π ) 2 ). (2) Simetria. Observe que sen ( ) f( ) = ( ) tg ( ) =. cos( ) como a função seno é ímpar e a função cosseno é par, temos que sen( ) = sen() e cos( ) = cos(). Então, f( ) = sen cos =.sen = tg = cos Logo, f é uma função par. Note que f não é periódica. () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máimos e Mínimos Locais. Calculando f, obtemos que Note que se f () = 0, então, f () = tg + sec 2 tg + sec 2 = 0 sen cos + cos 2 = 0 sen cos + cos 2 = 0 sen cos + = 0. cos 2 sen = 0 sen 2 = 2 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7

18 Cálculo I Aula n o 9 o que implica que = 0. Sendo assim, para estudarmos o sinal de f, observamos que para sec 2 > 0 para todo D f, e que se < 0 então, tg < 0 e se > 0 então tg > 0, ou seja, se < 0 então f () < 0 e se > 0 então f () > 0. Portanto, obtemos o seguinte quadro Figura 7: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de = tg Pelo Teste da Primeira Derivada, = 0 é mínimo local. (4) Concavidade / Pontos de Ineão. Calculando f, obtemos f () = sec 2 + sec sec 2 tg = 2 sec 2 ( + tg ) Note que para ( π 2, π 2 ), temos que sec 2 0. Logo, para encontramos uma raiz de f, temos que encontrar uma raiz de + tg. Mas note que para isso, devemos encontrar algum valor de tal que + tg = 0 tg = sen cos = Agora, observe que se > 0 então sen > 0 e se < 0 então sen < 0. Logo o produto sen > 0 e como cos > 0 para D f então tg > 0 no domínio que estamos considerando. Então, f não possui raiz. E como + tg > 0, temos o seguinte quadro Figura 8: Concavidade de = tg (5) Assíntotas. Em se tratando de assíntotas da função = tg, note que não faz sentido calcularmos os ites no innito de uma função denida em um intervalo. Como nesse intervalo a função f é contínua, então não há assíntotas em pontos de seu interior. Porém se faz necessário, estudar os ites nas etremidades do intervalo, mesmo que elas não pertençam ao mesmo. Sendo assim, vamos calcular os seguintes ites: Como sen tg = π + π + cos 2 2 sen = π π + 2, cos = 0 e cos > 0 para valores a direita de π, temos que π tg = + π + 2 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 8

19 Cálculo I Aula n o 9 Analogamente, temos que tg = + π 2 (6) Raízes e Interseção com o eio y. Observe que a única raiz da função = tg é em = 0, implicando que a interseção com o eio y é a origem. (7) Esboçar o gráco. Logo, o gráco de f é dado por Figura 9: Gráco de = tg Eemplo 8. Esboce o gráco da função = e. Solução: () Domínio. Note que D f = R {0}. (2) Simetria. Observe que f( ) = e = e como f( ) e f( ) então f não é par nem ímpar. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 9

20 Cálculo I Aula n o 9 () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máimos e Mínimos Locais. Calculando f, obtemos que f () = (e ) e () 2 = e ( ) 2 Agora, observe que e > 0 e 2 > 0 para todo D f. Desse modo, para estudarmos o sinal de f temos que estudar o sinal de. E, dessa forma, obtemos o seguinte quadro: Figura 20: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de = e. Pelo Teste da Primeira Derivada, = é mínimo local. (4) Concavidade / Pontos de Ineão. Calculando f, obtemos f () = [e ( )] 2 e.( ).2 4 = e ( ) Observe que para D f, temos e > 0 e > 0. Logo, o termo que determina o sinal de f é o. Mas lembre que 0. Logo, obtemos o seguinte quadro: Figura 2: Concavidade de = e E, observe que não há pontos de ineão. (5) Assíntotas. Verticais. Note que 0 + e = [ ] 0 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 20

21 Cálculo I Aula n o 9 Como 0 e =, = 0 e > 0, logo, Analogamente, temos que portanto, = 0 é uma assíntota vertical. Horizontais. Agora observe que Pela Regra de l'hôspital, temos que Agora, note que 0 + e = + e 0 = e [ ] + = + e = = e = + e = Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal. Oblíquas. Pela regra de l'hôspital, temos que m = E também, note que e. = e 2 = m = Logo, não há assíntotas oblíquas. = e 2 = e 2 = e. = 0 e 2 = + 2 = 0 (6) Raízes e Interseção com o eio y. Observe que f não possui raízes e não há interseção com o eio y. (7) Esboçar o gráco. Logo, o gráco de f é dado por Figura 22: Gráco de = e Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 2

22 Cálculo I Aula n o 9 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.5 do livro teto. Sugestão de eercícios Resolva os eercícios da seção 4.5 do livro teto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 22