Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x 1 x 1. 1 sen x 1 (x 2 1) 2 (x 2 1) 2 sen

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - TURMA EL Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. Questão. Encontre o valor do ite, se eistir. a 0.75 pt sen Note que sen sen Além disso ] = = 0 = 0 ] = = 0 = 0 Pelo teorema do confronto, segue que sen = 0 b 0.75 pt + + ]

2 + + ] + + = = = = = = = = = c 0.75 pt 0 π Note que = Calculando os ites laterais Pela esquerda: Pela direita: { ; 0 ; < 0 π + π = 0 0 π 0 + = 0 + π = π Como os ites laterais diferem, então o ite não eiste. d 0.75 pt π/4 sen cos cos Dica: = 0 + π = + π π cos = 4 π = sen 4 Pela regra da soma do cosseno, cos a + b = cos a cos b sen a sen b e tomando a = b = temos cos = cos sen. π/4 sen cos cos sen cos = π/4 cos sen cos sen = π/4 cos sen cos + sen = π/4 cos + sen = cos π/4 + sen π/4 = + =

3 Questão..0 pt Encontre a constante λ que torna a função g contínua em, +. { λ, < 4 g = λ + 0, 4 Primeiramente, notamos que à esquerda de 4, a função é polinomial. Analogamente, à direita de 4 a função também é polinomial. Isto significa que para 4, a função é contínua. Resta investigar a continuidade em = 4. Para que g seja contínua, precisamos verificar que: g4 eista 4 g = g4 Notamos que g4 = λ4 + 0 = 4λ + 0 e iremos determinar λ, portanto g4 eiste. Precisamos também que Assim 4 4 g = g = g4. + g = λ = 4 λ = 6 λ 4 4 g = λ + 0 = λ4 + 0 = 4λ g = g 6 λ = 4λ λ + 4λ + 4 = 0 λ + = 0 λ + = 0 e por fim obtemos que λ =. Questão 3. Diferencie a.0 pt f = ln sen f = e 3π sen e cos e 3π e 3π b.0 pt g = e + e g = e + e + e e + e + e 3

4 c 0.75 pt h = tg Observe que e assim ficamos com y = tg y = tg = tg ln y = ln tg = ln tg ln y = ln tg Diferenciando esta última equação implicitamente y y = ln tg + y = y ln tg + tg sec tg e substituindo y por h e y por tg temos sec h = tg ln tg + tg sec Questão 4..5 pt Para quais valores de a e b a reta + y = b é tangente à parábola y = a quando =? Calculando o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = a no ponto = temos y = a m = y = a = 4a. Por outro lado, vamos encontrar o coeficiente angular da reta + y = b. Para isto, basta encontrar dois pontos 0, y 0 e, y e calcular mediante m = y y 0. 0 Para 0 = 0 0+y 0 = b y 0 = b e assim temos o ponto 0, y 0 = 0, b. Para = + y = b y = b e assim temos o ponto, y =, b. Logo o coeficiente angular da reta é m = y y 0 b b = =. 0 0 Para que a reta + y = b seja tangente à parábola y = a, precisamos que o coeficiente angular da reta tangente à parábola seja igual ao coeficiente angular da reta, isto é, m = m 4a = a =. 4

5 Portanto, a parábola é y = e o ponto de tangência é quando = y = =, é o ponto de tangência. Sendo este o ponto de tangência, a reta também precisa conter este ponto. Logo, aplicando, na equação da reta obtemos Por fim, encontramos que + = b b = a = b = Questão pt Encontre dy d diferenciando implicitamente y = cos y 3y dy d + 3 = sen y 3y dy d + 3 = sen y 3y dy d + sen y 3y + sen y y y y sen y y dy d = 3 sen y y dy d = 3 sen y y + dy d y dy d y y y y 3 sen y dy d = y y 3y + sen y y 5