CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão; Apresentar e utilizar o Teste da Segunda Derivada. 1 Concavidade Considere um intervalo I e uma função f : I R derivável cujo gráco é dado abaixo. Figura 1: Gráco de uma Função f Sejam p, x I tais que x p, sendo representados no gráco como mostra abaixo: Figura 2: Gráco de uma Função f 1

2 Agora, tracemos a reta tangente ao gráco de f que passa pelo ponto (p, f(p)), como está ilustrado abaixo. Figura 3: Gráco de uma Função f Como já foi observado em aulas anteriores, sabemos que a equação da referida reta tangente em (p, f(p)) é dada por y = f(p) + f (p)(x p) que denotaremos por T (x) = f(p) + f (p)(x p) Note que para x p, temos que a reta tangente possui um valor menor que f(x) como foi ilustrado a seguir Figura 4: Gráco de uma Função f Dessa forma, denimos que f tem concavidade para cima em um intervalo aberto I se f(x) > T (x) para quaisquer x, p I com x p. De forma análoga, dizemos que f possui concavidade para baixo em um intervalo aberto I se para quaisquer x, p I com x p. f(x) < T (x) Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Denição 1. Sejam f uma função contínua em um intervalo I e p I. Dizemos que p é ponto de inexão de f se existirem números reais a e b com p (a, b) I, tal que f tenha concavidade de nomes contrários em (a, p) e (p, b). Em outras palavras, p é um ponto de inexão de f se p I e se existir um intervalo aberto (a, b) I com p (a, b) tal que f tem concavidade para cima em (a, p) e concavidade para baixo em (p, b) ou vice-versa. Vejamos alguns exemplos de pontos de inexão. Figura 5: Ponto de Inexão de uma Função f Figura 6: Pontos de Inexão de uma Função f O próximo resultado é de extrema importância para determinarmos com mais facilidade a concavidade Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 de uma função. Teorema 1. Seja f uma função que admite derivada até 2 a ordem no intervalo aberto I. (i) Se f (x) > 0 em I, então f terá concavidade para cima em I; (ii) Se f (x) < 0 em I, então f terá concavidade para baixo em I; Vejamos alguns exemplos de aplicação desse teorema. Exemplo 1. Estude a função f(x) = x 3 3x 2 9x com relação à concavidade e pontos de inexão. Pelo teorema anterior, basta estudar o sinal da função f (x). Sendo assim, note que f(x) = x 3 3x 2 9x f (x) = 3x 2 6x 9 f (x) = 6x 6 Agora, note que f é uma função polinomial do primeiro grau que possui raiz em x = 1. Logo, notamos que f (x) < 0 para x (, 1) e f (x) > 0 para x (1, + ). Então pelo teorema 1, f tem concavidade para baixo em (, 1) e concavidade para cima em (1, + ). É comum representarmos essas informações através do seguinte diagrama: Figura 7: Exemplo 1 Utilizando o diagrama acima, vê-se facilmente que p = 1 é ponto de inexão de f. Exemplo 2. Estude a função f(x) = x com relação à concavidade e pontos de inexão. 1 + x2 Como zemos anteriormente, devemos determinar primeiramente a função f e estudar o seu sinal. Dito isso, note que [ ] f x (x) = 1 + x 2 Agora, observe que f (x) = = (x) (1 + x 2 ) x(1 + x 2 ) (1 + x 2 ) 2 = 1 + x2 2x 2 (1 + x 2 ) 2 = [ 1 x 2 (1 + x 2 ) 2 1 x 2 (1 + x 2 ) 2 ] = (1 x2 ) (1 + x 2 ) 2 (1 x 2 ) [ (1 + x 2 ) 2] (1 + x 2 ) 4 = ( 2x)(1 + x2 ) 2 (1 x 2 ).4x.(1 + x 2 ) (1 + x 2 ) 4 = 2x 4x3 2x 5 4x + 4x 5 (1 + x 2 ) 4 = 2x(x4 2x 2 3) (1 + x 2 ) 4 Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Note que (1 + x 2 ) 4 > 0, para qualquer valor real atribuído a x. Dessa forma, para estudar o sinal da função f, basta estudar o sinal da função 2x(x 4 2x 2 3). Sendo assim, vamos estudar o sinal do fator x 4 2x 2 3. Tomando y = x 2, podemos reescrever o polinômio como sendo y 2 2y 3 que possui raízes y 1 = 1 e y 2 = 3. Como y só admite valores positivos, temos que x 1 = 3 e x 2 = 3. Dessa forma, a concavidade de f é dada por Figura 8: Exemplo 2 Logo, f possui concavidade para baixo em (, 3) (0, 3) e concavidade para cima em ( 3, 0) ( 3, + ). Portanto, p = 3, p = 0 e 3 são os pontos de inexão de f. Observação 1. De posse desse resultado, podemos buscar os pontos de inexão de f analisando os pontos em f (x) = 0. Contudo, só vericar as raízes de f não basta, devemos também analisar a concavidade da função em pontos próximos dessas raízes. O exemplo a seguir ilustra essa observação. Exemplo 3. Considere a função f(x) = x 4. Determine seus pontos de inexão, caso existam. e que Note que f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 Estudando o sinal de f, temos que a concavidade de f é dada por Figura 9: Exemplo 3 Dessa forma, 0 não é um ponto de inexão de f, pois a concavidade em pontos próximos de 0 não muda. Logo, f não possui pontos de inexão. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Exemplo 4. Estude a função f(x) = sen x cos x com relação à concavidade e pontos de inexão. e Note que f (x) = cos x + sen x f (x) = cos x sen x Dessa forma, fazendo f (x) = 0 para encontrar as raízes de f, obtemos que f (x) = 0 cos x sen x = 0 cos x = sen x tg x = 1 Desse modo, como a função f é periódica de período 2π (Verique!), faremos o estudo da concavidade primeiramente para o intervalo [0, 2π] e depois estenderemos para x R. Sendo assim, note que os valores de 0 x 2π que satisfazem a equação encontrada são x = π 4 e x = 5π 4. Para estudar o sinal de f, podemos vericar os grácos das funções g(x) = cos x e h(x) = sen x, como abaixo: Logo, podemos notar que para 0 x < π 4 e 5π 4 π 4 < x < 5π, temos que cos x < sen x. Desse modo: 4 < x 2π, temos que cos x > sen x e para f (x) > 0 para 0 x < π 4 ou 5π 4 < x 2π e f (x) < 0 para π 4 < x < 5π 4 E assim obtemos o seguinte quadro: Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Assim, a função f, restrita ao intervalo (0, 2π) ( é côncava para cima em 0, π ) ( 4 5π ( 4, 2π) e côncava para π baixo em 4, 5π ) π 4. Note também que os pontos x = 4 e x = 5π são pontos de inexão. Para estender os 4 resultados encontrados para todo x R, basta notar que os pontos da forma x = π 4 + kπ são pontos de inexão da função f e tendo em mente o quadro anterior podemos facilmente determinar a concavidade de f, como pode ser visto no gráco abaixo 2 Teste da Segunda Derivada Sejam f uma função que admite derivada de 2 a ordem contínua no intervalo I e p I. (i) Se f (p) = 0 e f (p) > 0 então p é um ponto de mínimo local ou relativo; (ii) Se f (p) = 0 e f (p) < 0 então p é um ponto de máximo local ou relativo Os exemplos a seguir ilustram a utilização desse importante resultado. Exemplo 5. Utilizando o Teste da Segunda Derivada, determine os máximos e mínimos relativos da função f(x) = x4 4 x3 2x Primeiramente, vamos determinar f. Desse modo, f (x) = x 3 3x 2 4x Agora, vamos determinar os pontos críticos de f. Sendo assim, note que f (x) = 0 x 3 3x 2 4x = 0 x.(x 2 3x 4) = 0 Sendo assim, x = 0 ou x 2 3x 4 = 0. Resolvendo essa última equação, obtemos que os pontos críticos de f são x = 0, x = 4 e x = 1. Agora, note que E assim, f (x) = 3x 2 6x 4 f (0) = 4 < 0 f (4) = 20 > 0 f ( 1) = 5 > 0 Pelo Teste da Segunda Derivada, temos que x = 4 e x = 1 são mínimos locais de f e x = 0 é um ponto de máximo local de f. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 Exemplo 6. Considere a função f(x) = x 3 3x 2 + 3x 1. Podemos armar algo sobre seu(s) ponto(s) crítico(s), utilizando o Teste da Segunda Derivada? Note que f(x) = (x 1) 3. Logo, pela regra da cadeia, note que f (x) = 3(x 1) 2.(x 1) = 3(x 1) 2 Assim, o ponto crítico de f é x = 1. Agora, calculando f obtemos que Mas observe que f (x) = 6(x 1).(x 1) = 6(x 1) f (1) = 6(1 1) = 0 Isso implica que não podemos utilizar o teste da segunda derivada, pois ele não se aplica quando f (p) = 0 ou quando f (p) não existe. Observação 2. Note que o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo se f (c) = 0 ou se f (c) não existir no ponto crítico c. Contudo, no exemplo anterior, estudando a concavidade de f notamos que x = 1 é um ponto de inexão de f(x) = x 3 3x 2 + 3x 1. Observando o gráco, podemos notar esse fato. Figura 10: Gráco de f(x) = (x 1) 3 Exemplo 7. Dada a função f(x) = 3x 5 5x 3. mínimos locais ou pontos de inexão. Classique os pontos críticos de f em máximos locais, Note que f (x) = 15x 4 15x 2 Fazendo f (x) = 0, obtemos que 15x 4 15x 2 = 0 15x 2 (x 2 1) = 0 implicando que os pontos críticos de f são x 1 = x 2 = 0, x 3 = 1 e x 4 = 1. Calculando a segunda derivada de f, obtemos que f (x) = 60x 3 30x = x(60x 2 30) logo, f (0) = 0 f ( 1) = 30 < 0 f (1) = 30 > 0 Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 Então, pelo Teste da Segunda Derivada, podemos armar que x = 1 é ponto de máximo local e x = 1 é ponto de mínimo local de f. Analisando a concavidade de f, temos que Figura 11: Concavidade de f(x) = 3x 5 5x 3 Logo, x = 0 é um ponto de inexão. Exemplo 8. Classique os pontos críticos da função f(x) = ex x Note que, caso existam. f (x) = (ex ).x e x.(x) x 2 = ex (x 1) x 2 Logo, o único ponto crítico de f é x = 1. Agora, calculando a segunda derivada, temos que f (x) = [ex (x 1)] x 2 e x (x 1)(x 2 ) x 4 = [(ex ) (x 1) + e x (x 1) ]x 2 2x(x 1)e x x 4 = ex (x 2 2x + 2) x 3 Agora, note que f (1) = e1 ( ) 1 3 = e > 0 Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, 1 é mínimo local de f. Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 86-88, , ,285,286 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 88-91, , ,286 e 287 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9