CÁLCULO I. Calcular integrais envolvendo funções trigonométricas; Apresentar a substituição trigonométrica. Iniciaremos com o seguinte exemplo:
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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 8: Integrais Trigonométricas. Substituição Trigonométrica. Objetivos da Aula Calcular integrais envolvendo funções trigonométricas; Apresentar a substituição trigonométrica. 1 Integrais Trigonométricas Iniciaremos com o seguinte exemplo: Exemplo 1. Calcule a integral indenida sen x dx. não podemos fazer a substituição u sen x, pois teríamos de obter que du cos x dx, isto é, precisaríamos ter uma função extra cos x. Com isso, uma forma de contornar esse problema é utilizar as relações trigonométricas do tipo sen x + cos x 1, porque assim podemos isolar o termo sen x: sen x 1 cos x Dessa forma, podemos escrever a integral do nosso exemplo como sen x dx sen xsen x dx sen x(1 cos x) dx sen x dx sen x cos x dx cos x sen x cos x dx Fazendo a substituição u cos x, temos que du sen x dx. sen x dx cosx + u du cos x + u cos x cos x Dessa forma, podemos estabelecer algumas regras para calcular as primitivas de potências de seno e cosseno. Seja n um número natural. Então cos n x dx { Se n for ímpar faça u sen x e cos x 1 sen x Se n for par faça cos x cos(x) sen n x dx { Se n for ímpar faça u cos x e sen x 1 cos x Se n for par faça sen x 1 1 cos(x) Vejamos alguns exemplos: 1
2 Cálculo I Aula n o 8 Exemplo. Calcule cos 5 x dx. cos 5 x dx cos x cos x dx (cos x) cos dx (1 sen x ) cos x dx (1 sen x + sen x ) cos x dx Fazendo u sen x, temos que du cos x dx. Sendo assim, cos 5 x dx sen x u dx + Exemplo. Calcule sen x dx. (cos x sen x cos x + sen x cos x ) dx cos x dx sen x cos x dx + sen x cosx dx sen x sen x cos x dx + sen x cosx dx u du senx u + u5 5 sen x sen x + sen5 x 5 ( 1 (sen x) dx 1 ) cos(x) dx ( 1 1 cos(x) + 1 ) cos (x) dx 1 (1 cos(x) + cos (x)), dx Como cos (x) cos(x), então sen x dx x Exemplo. Calcule sen (x) cos x dx. + 1 ( ) cos(x) dx x 8 sen (x) + sen (x) ( 1 cos x dx (cos x) dx + 1 ) cos(x) dx ( cos(x) + 1 ) cos (x) dx x sen (x) cos (x) dx x sen (x) ( ) cos(x) dx x sen (x) sen (x) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho
3 Cálculo I Aula n o 8 Em busca de uma generalização para a integral das potências de seno e cosseno temos as seguintes fórmulas de recorrência que podem ser provadas utilizando integral por partes. Sendo n, temos que sen n x dx 1 n senn 1 x cos x + n 1 sen n x dx n cos n x dx 1 n cosn 1 x senx + n 1 cos n x dx n Exemplo 5. Calcule cos 5 x dx. Usando a fórmula de recorrência, temos que cos 5 x dx cos x sen x Usando mais uma vez, temos que cos x dx cos x sen x + cos 5 x dx cos x sen x 5 cos x dx cos x dx cos x sen x + cos x sen x sen x 15 + sen x Agora, vamos determinar regras para calcular a integral de produtos de potências de seno e cosseno. Sejam m e n números naturais e considere a seguinte integral sen n x cos m x dx (i) Se n for ímpar, faça u cos x; (ii) Se m for ímpar, faça u sen x; (iii) Se n e m forem pares não nulos, faça sen x 1 cos x ou cos x 1 sen x. Ou então, faça cos x cos(x) e sen x 1 1 cos(x). Vejamos os seguintes exemplos: Exemplo 6. Determine sen (x) cos (x) dx. Faremos a substituição v x, com dv dx. sen (x) cos (x) dx 1 sen v cos v dv Como ambos os expoentes são ímpares, podemos escolher fazer u cos v ou u sen v. u sen v e, assim, du cos v dv. sen v cos v dv sen v cos v cos v dv sen v(1 sen v) cos v dv sen v cos v dv sen 5 v cos v dv u du u 5 du Escolhemos u u6 6 sen v sen (x) sen6 v 6 sen6 (x) 6 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho
4 Cálculo I Aula n o 8 Exemplo 7. Calcule sen (x) cos (x) dx sen (x) 1 sen x cos x dx. sen6 (x) 18 [ 1 sen x cos x dx 1 ] [ 1 cos(x) + 1 ] cos(x) dx [ 1 1 ] cos (x) dx 1 (1 cos (x)) dx 1 sen (x) dx 1 ( 1 1 ) cos(x) dx x 8 sen(x) Existem outras formas de resolver essa questão? Verique!!! Exemplo 8. Determine sen 5 x cos x dx. Observe que sen 5 x cos x dx (sen x) sen x cos x dx (1 cos x) cos xsen x dx Fazendo a substituição u cos x, temos que du sen x dx. sen 5 x cos x dx (1 u ) u du (1 u + u )u du ( u + u u 6 ) du u + u5 5 u7 7 cos x + cos5 x 5 cos7 x 7 Em alguns casos, podemos calcular integrais de produto de senos e cossenos da forma sen(mx) cos(nx) dx sen(mx)sen(nx) dx cos(mx) cos(nx) dx Para isso, utilize as identidades (i) sen(mx) cos(nx) 1 [sen(m n)x + sen(m + n)x] (ii) sen(mx)sen(nx) 1 [cos(m n)x cos(m + n)x] (iii) cos(mx) cos(nx) 1 [cos(m n)x + cos(m + n)x] Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho
5 Cálculo I Aula n o 8 Exemplo 9. Calcule sen (x) cos(5x) dx. Observe que sen(x) cos(5x) 1 [sen( 5)x + sen( + 5)x] 1 [sen( x) + sen(9x)] 1 (sen(9x) sen(x)) sen (x) cos(5x) dx 1 (sen(9x) sen(x)) dx 1 sen 9x dx 1 sen x dx cos x cos(9x) 18 Exemplo 1. Calcule sen (x)sen (6x) dx. Como sen x cos 6x 1 [cos( 6) x cos( + 6) x] 1 [cos( x) cos(9x)] 1 (cos(x) cos(9x)) Então, Exemplo 11. Calcule sen (x)sen (6x) dx 1 (cos(x) cos(9x)) dx sen x sen 9x 6 18 cos(π x) cos(π x) dx. cos(π x) cos(π x) 1 (cos(π π)x + cos(π + π)x) 1 (cos(π x) + cos(5π x)) cos(π x) cos(π x) dx 1 (cos(π x) + cos(5π x)) dx 1 sen π x ( π sen π x 6π + sen 5π x + ) 5π sen 5π x 1π Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 5
6 Cálculo I Aula n o 8 Agora, vamos vericar técnicas para calcular as integrais de potências de secante e tangente. Considere as integrais da forma: Então, sec m x tg n x dx (i) Se m é par, então mantenha um fator sec x e use a relação sec x 1 + tg x para expressar os fatores restantes. Em seguida, faça u tg x. (ii) Se n é ímpar, mantenha um fator sec x tg x e utilize a relação tg x sec x 1 para expressar os outros fatores. Em seguida faça a substituição u sec x. (iii) Os outros casos não possuem regras tão simples e talvez seja necessário utilizar as integrais indenidas de tangente e secante. Vejamos alguns exemplos Exemplo 1. Calcule 5 tg x sec x dx. Fazendo u tg x, temos que du sec x dx, temos que tg 5 x sec x dx u 5 du u6 6 tg 6 6 x Exemplo 1. Calcule sec 5 x tg x dx. sec 5 x tg x dx sec x sec x tg x dx fazendo u sec x, temos que du sec x tg x dx, temos que sec 5 x tg x dx u du u5 5 sec5 x 5 Exemplo 1. Calcule tg x dx. tg x tg xtg x (sec x 1)tg x sec xtg x tg x tg x dx (sec xtg x tg x) dx sec xtg x dx + ln cos x Fazendo u tg x, temos que du sec x dx. Então tg x dx u du ln cos x u tg x ln cos x + ln cos x Exemplo 15. Determine sec x dx. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 6
7 Cálculo I Aula n o 8 Observe que sec x (sec x) sec x (1 + tg x) sec x sec x + tg x sec x sec x dx sec x dx + tg x sec x dx tg x + tg x sec x dx Fazendo a mudança u tg x, temos que du sec x dx. sec x dx tg x + u du tg x + u tg x tg x + Para calcular as integrais de potências de tangente e secante, utilizamos as seguintes fórmulas de recorrência para n : sec n x dx secn x tg x + n n 1 n 1 tg n x dx tgn 1 x n 1 tg n x dx sec n x dx Vejamos alguns exemplos: Exemplo 16. Calcule tg x dx. Utilizando a fórmula de recorrência, temos que tg x dx tg x tg x dx tg x + ln cos x Exemplo 17. Calcule sec x dx. Utilizando a fórmula de recorrência, temos que sec x dx sec x tg x + 1 sec x dx sec x tg x + 1 ln sec x + tg x Exemplo 18. Calcule tg x sec x dx. tg x sec x (sec x 1) sec x sec x sec x tg x sec x dx sec x dx sec x dx sec x tg x 1 ln sec x + tg x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 7
8 Cálculo I Aula n o 8 Substituição Trigonométrica Ao resolver certas integrais f(x) dx não conseguiremos fazer uma substituição comum, como zemos em aulas passadas. Sendo assim, se faz necessário escrever a variável x como uma função inversível e derivável ϕ em função de uma variável u, com inversa derivável. fazendo a mudança x ϕ(u), então du ϕ (u) du e assim: f(x) dx f(ϕ(u))ϕ (u) du Após calcular a integral indenida no o membro, deve-se voltar à variável x, através da inversa de ϕ. Essa técnica é chamada também de substituição inversa. Nesta seção, estamos interessados nos casos em que a função ϕ é trigonométrica, chamando essa técnica de substituição trigonométrica. As principais substituições trigonométricas são as exibidas nos seguintes exemplos. Exemplo 19. Calcule 1 x dx. assim, obtemos que Como 1 sen u cos u, então podemos fazer a substituição trigonométrica x sen u e x sen u ( π < u < π ), dx cos u du Então, 1 1 cos x dx sen x cos u du u cos u du Como cos u cos u cos u pois u ( π, π ). Desse modo, 1 x dx cos u du ( ) cos(u) du 1 u + 1 sen(u) 1 u + 1 sen u cos u Agora, devemos retornar à variável x, logo, vamos utilizar o fato de que se x sen u então u arcsen x e também que sen u sen (arcsen x) x cos u 1 sen u 1 x Portanto, 1 x dx 1 arcsen x + 1 x 1 x 1 < x < 1 Exemplo. Calcule 1 + x dx Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 8
9 a x, a > x a sen u π u π a + x, a > x a tg u π < u < π x a, a > x a sec u u < π ou π u < π Cálculo I Aula n o 8 Fazendo x tg u, temos que du sec u du, com π < x < π. Então, x dx + tg u sec u du Agora, se x tg u então u arctg u, e também, sec u sec u du sec u du sec u tg u + 1 ln sec u + tg u tg u tg(arctg x) x sec u sec(arctg x) 1 + tg (arctg x) 1 + x Então, 1 + x dx 1 x 1 + x + 1 ln x x Exemplo 1. Calcule x 1 dx. Fazendo u sec u, onde < u < π ou π < u < π Dessa forma x sec 1 dx u 1 sec u tg u du. temos que du sec u tg u du. Como x sec u, então u arcsec x, logo, tg utg u sec u du tg u sec u du sec u tg u 1 ln sec u + tg u sec u sec(arcsec x) x tg u tg(arcsec x) sec (arcsec x) 1 x 1 x 1 dx 1 x x 1 1 ln x + x 1 Generalizando, podemos adotar: Expressão Substituição Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 9
10 Cálculo I Aula n o 8 Vejamos mais alguns exemplos: Exemplo. Calcule a área do círculo de raio r e centro na origem. Pela simetria do círculo podemos armar que Área r r x dx r r x dx r ( ( x ) ) r ( x ) r 1 dx r 1 dx r r Agora, fazendo a mudança E assim, x r sen u x r sen u dx r cos u du, x r u π, x u r r x dx r π 1 sen ur cos u du r π r π cos u du ( ) cos(u) du r [ 1 u + 1 sen(u) ] π πr Portanto, r Área r x dx πr πr Exemplo. Encontre x (x + 9) dx. Inicialmente faremos a mudança v x e obteremos que dv dx e também, x v x v podemos reescrever a integral como x (x + 9) dx 1 16 v (v + 9) dv Utilizando a tabela apresentada acima, fazemos v tg u. dv sec u du e v u π v u Assim: x (x + 9) dx π tg u sec u sec u du π 16 sen u cos u du Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 1
11 Cálculo I Aula n o 8 Logo: x (x + 9) dx 16 π 1 cos u cos sen u du u Fazendo a substituição w cos u, temos que dw sen u du e os novos limites de integração inferior e superior são 1 e 1, respectivamente. Então, x (x + 9) dx u u du 16 [ u + 1 ] 1 u 1 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 5 na seção de apêndices do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 11
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