Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo
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1 Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM Pré-cálculo 14 a lista de exercícios (0/11/017 a 01/1/017) 1 Resolva as equações abaixo sen x = 0 sen x = 1 sen x = 1 sen x = 0, x [ π/, π/] sen x = 1, x [ π/, π/] sen x = 1, x [ π/, π/] A função f : [ π/, π/] [ 1, 1] dada por f(x) = sen x é bijetora (verifique através gráfico) e, portanto, possui inversa Sua inversa f 1 : [ 1, 1] [ π/, π/] é denotada por f 1 (x) = arcsen x (às vezes também é denotada por f 1 (x) = sen 1 x) Por exemplo, arcsen( 1) é igual ao único número pertencente [ π/, π/] cujo seno é igual a 1 e, portanto, arcsen( 1) = π/ Como outros exemplos, temos arcsen 0 = 0 e arcsen(1/) = π/6 (compare com as equações resolvidas no exercício anterior) Calcule o que se pede arcsen 1 arcsen( 3/) arcsen( /) arcsen( 1/) arcsen( /) arcsen( 3/) 3 Faça o gráfico da função f(x) = arcsen x 4 Calcule o que se pede (j) sen(arcsen( 1/)) sen(arcsen(1/5)) arcsen(sen( π/)) arcsen(sen(0π/17)) sen(arcsen(1/)) sen(arcsen( 3/)) sen(arcsen x) (h) arcsen(sen(4π/3)) (k) arcsen(sen x) arcsen(sen(π/6)) arcsen(sen( 7π)) 5 Resolva as equações abaixo = 0 = 1 = = 0, x [0, π] = 1, x [0, π] =, x [0, π] 6 A função f : [0, π] [ 1, 1] dada por f(x) = é bijetora (verifique!) Sua inversa f 1 : [ 1, 1] [0, π] é denotada por f 1 (x) = arc (às vezes também é denotada por f 1 (x) = cos 1 x) Calcule o que se pede 1
2 arccos 1 arccos( 3/) arccos( /) arccos(1/) arccos 0 arccos( 1/) arccos( /) (h) arccos( 3/) 7 Faça o gráfico da função f(x) = arc 8 Calcule o que se pede cos(arccos( 1/)) cos(arccos( 3/)) cos(arc) arccos(cos(4π/3)) 9 Resolva as equações abaixo arccos(cos(π/6)) (h) arccos(cos(0π/17)) tg x = 0 tg x = 1 arccos( 1) cos(arccos(1/34)) arccos(cos( π/)) arccos() tg x = 3 tg x = 0, x ( π/, π/) tg x = 1, x ( π/, π/) tg x = 3, x ( π/, π/) 10 A função f : [ π/, π/] R dada por f(x) = tg x é bijetora (verifique!) Sua inversa f 1 : R [ π/, π/] é denotada por f 1 (x) = arctg x (às vezes também é denotada por f 1 (x) = tg 1 x) Calcule o que se pede arctg 3 arctg 1 arctg( 3/3) arctg 0 arctg( 3/3) arctg( 1) arctg( 3) 11 Faça o gráfico da função f(x) = arctg x 1 Baseado no gráfico acima, qual é o valor aproximado de arctg( )? 13 Calcule o que se pede tg(arctg 3) tg(arctg( 1)) tg(arctg( 361)) tg(arctg x) arctg(tg(π/6)) arctg(tg( π/3)) arctg(tg(4π/3)) (h) arctg(tg(0π/17)) arctg(tg x) 14 Seja x [ 1, 1] Determine o valor de: cos(arcsen x); sen(arc) 15 A partir da fórmula sen x + cos x = 1, deduza as seguintes relações: sec x = 1 + tg x; cossec x = 1 + cotg x 16 Observe os gráficos das funções trigonométricas e verifique quais são pares e quais são ímpares A partir disso, reescreva as expressões abaixo, conforme item sen( x) = sen x, isto é, a função seno é ímpar cos( x) cotg( x) cossec( x) tg( x) sec( x)
3 17 Reescreva as expressões abaixo usando apenas seno e cosseno e, em seguida, simplifique Observe o item como modelo + tg x sen x ( sen x ) Solução + sen x = + sen x = 1 = sec x tg x sen x sec x tg x sec x sen x + cotg x sec x sen x (h) cos 3 x + sen x (j) 1 + sen x sen x (k) sen x sec x tg x sec x tg x + tg x sec x 1 18 Verifique que as igualdades abaixo são identidades trigonométricas Observação Quando uma igualdade com incógnitas é fornecida, podemos perguntar sobre o conjunto solução da equação Quando esse conjunto solução corresponde a todos os possíveis valores das incógnitas, dizemos que a igualdade fornecida é uma identidade Por exemplo, a igualdade cos x = 1 sen x é verdadeira para todo x R e, portanto, é uma identidade matemática Por outro lado, a igualdade sen x = não é uma identidade pois, por exemplo, não é verdadeira para x = 0 Um dos caminhos para se verificar uma identidade é manipular um dos lados da igualdade até obter o outro (observe esse procedimento no item ) Para mostrar que uma igualdade não é uma identidade, basta encontrar substituições numéricas para as incógnitas para as quais a igualdade não é verdadeira (sec x ) = sen x Solução Vamos manipular o lado esquerdo da igualdade até chegar ao lado direito ( ) ( ) 1 1 cos (sec x ) = x = = 1 cos x = sen x sec x sen x = cossec x sen x (sen x + ) = 1 + sen x sen 4 x cos 4 x = sen x cos x cotg x sec x cossec x = 1 1 sen x 1 + sen x = (sec x tg x) 19 Utilize as fórmulas para soma de arcos para calcular: sen 75 ; cos 105 ; tg 15 ; sen(19π/1); cos(17π/1); tg( π/1) 0 Utilize as fórmulas para soma de arcos para verificar as igualdades abaixo sen(x π/) = tg(x π) = tg x cos(x + π/6) + sin(x π/3) = 0 tg(x π/4) = tg x 1 tg x A partir das informações em cada item, calcule sen(x), cos(x) e tg(x) 3
4 sen x = 5 e x pertence ao primeiro quadrante 13 tg x = 4 3 = 4 5 e x pertence ao segundo quadrante e cossec x < 0 cossec x = 4 e tg x < 0 Utilize sa fórmulas para a metade do arco para calcular: sen 15 ; cos 15 ; tg 15 ; cos 165 ; sen,5 ; sen(3π/8); (h) tg(5π/1) 3 A partir das informações em cada item, calcule sen(x/), cos(x/) e tg(x/) cos(π/8); sen x = 3 5 e x pertence ao primeiro quadrante = 4 5 e x pertence ao terceiro quadrante 4 Reescreva os produtos como somas: sen(x) cos(3x); sen x sen(5x); cos(5x) cos(3x); sen(4x) 5 Reescreva as somas como produtos: sen(5x) + sen(3x); sen(x) sen(4x); cos(4x) cos(6x); cos(9x) + cos(x) 6 Resolva as equações: sen x + 1 = 0; = 0; 3 tg x 1 = 0; 9 sen x 1 = 0; (tg x 3)( + 1) = 0; 3 sen x 7 sen x + = 0; cos x + sen x = 1; (h) tg x sec x = ; cos(3x) = 1; (j) tg(x/4) + 3 = 0; ( 3 cos 3x 3π ) (k) = 3 ; (l) sen(x) + = 0; (m)sen x + sen(3x) = 0 Sugestão No último item, utilize a fórmula para transformar soma em produto 7 Os sistemas de alimentação elétrica que chegam às nossas casas são sistemas de corrente alternada Pode-se modelar a tensão pela função E(t) = E 0 cos(ωt), em que t é medido em segundos, E(t) é medido em volts, E 0 é o maior valor possível para a tensão e o período da função é π/ω A tensão nominal em cada região (110 V ou 0 V ) representa a média quadrática do valor máximo da tensão, que é calculada dividindo o valor máximo da tensão por Já a frequência nominal em cada região (50 Hz ou 60 Hz) é o inverso do período Qual é a função E(t) em Florianópolis, onde a tensão e frequência nominais são 0 V e 60 Hz, respectivamente? 4
5 8 Considere um sistema massa mola ideal (isto é, sem atrito) Denote por m a massa do sistema e por k a constante elástica da mola A mola é esticada a uma distância a do seu ponto de repouso e, então, é solta Usando Cálculo e as leis físicas, é possível mostrar que a posição x do objeto (considerando o ponto de repouso como origem) em função do tempo t é dada por ( ) k x(t) = a cos m t Determine a equação em um sistema em que m = 0,01 kg, k = 3 kg/s e a = 0,05 m Determine a frequência em termos de k e m O que acontece com a frequência à medida que a massa aumenta? O que acontece com a frequência à medida que a rigidez da mola aumenta (isto é, k aumenta)? 9 Uma escada de comprimento 6 m é apoiada a uma parede (perpendicular ao solo) Sabendo que a distância entre a base da escada e a parede é de m, determine o ângulo de elevação da escada 30 Dois diapasões idênticos são colocados para vibrar, um deles uma fração de tempo após o outro Os sons produzidos por eles podem ser modelados por f 1 (t) = C sen(ωt) e f (t) = C sen(ωt + α) As duas ondas sofrem interferência uma da outra dando origem a uma única onda descrita por f(t) = f 1 (t) + f (t) = C sen(ωt) + C sen(ωt + α) Utilize a fórmula para o seno da soma de arcos e mostre que f(t) pode ser escrita na forma em que A e B dependem apenas de C e α f(t) = f 1 (t) + f (t) = A sen(ωt) + B cos(ωt), A Suponha que C = 10 e que α = π/3 Determine constantes k e φ tais que f(t) = k sen(ωt+φ) 31 Um retângulo ABCD é inscrito em uma circunferência de raio 10 cm Denote por θ o ângulo entre o lado AB e a diagonal AC Mostre que a área do retângulo é A = 00 sen(θ) Mostre que dentre todos os retângulos inscritos na circunferência, a maior área possível é 00 cm 3 Quando um projétil é lançado a uma velocidade v 0 formando um ângulo θ com a horizontal, seu alcance (isto é, a distância horizontal percorrida) é dada por R(θ) = v 0 sen(θ), g em que g é a aceleração da gravidade Se v 0 = 30 m/s, qual deve ser o ângulo θ para que o alcance seja de 79,5 m? Utilize g = 9,8 m/s Lista de exercícios parcialmente retirada e adaptada de [] J Stewart, L Redlin, S Watson Precalculus, Mathematics for Calculus 6 a ed, Brooks/Cole Cengage Learning, Belmont, 014 5
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