Arco Duplo. Se a área do triângulo T 1 é o triplo da área do triângulo T 2, então o valor de cosθ é igual a. a) 1. b) 1. d) 1.

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1 Arco Duplo. (Insper 0) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento, é possível determinar diferentes triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala. Se a área do triângulo T é o triplo da área do triângulo T, então o valor de cosθ é igual a a). 6 b). c). d). e) (Fuvest 0) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 5. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 00 m da ladeira, será de, aproximadamente, Dados:,7; a) 7 m b) 6 m c) 0 m d) 5 m e) 67 m θ cos θ sen. Página de

2 . (Fuvest 0) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P e P representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP tem comprimento 6 e o braço PP tem comprimento. Num dado momento, a altura de P é, P está a uma altura menor do que P e a distância de O a P é 0. Sendo Q o pé da perpendicular de P ao plano do chão, determine a) o seno e o cosseno do ângulo P OQ ˆ entre a reta OP e o plano do chão; b) a medida do ângulo OPˆ P entre os braços do guindaste; c) o seno do ângulo P OQ ˆ entre o braço OP e o plano do chão.. (Unicamp 0) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo θ em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo. a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo θ. b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan( θ) /, com 0 θ π/, calcule o valor numérico da expressão cos( θ) sen( θ). 5. (Ufpe 0) Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre identidades trigonométricas. ( ) sen x cos x sen x cos x, para todo x real. π π ( ) sen x cos x, para todo x real. kπ ( ) tg x cotg x, para x real e x, com k inteiro. senx cos x cos x cos x, ( ) para todo x real. ( ) sen x y sen x y cos x cos y, para quaisquer x e y reais. Página de

3 6. (Fuvest 0) No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 5/5, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α. Sabe-se, também, que cos( α) cosα 0 Nessas condições, calcule a) o valor de sen α ; b) o comprimento do lado AC. 7. (Udesc 0) A expressão cotg(x) cossec(x) pode ser escrita como: cos(x) sen(x) a) cos(x)sen(x) b) tg(x) c) cotg(x) d) e) cos (x) sen(x) sen(x) cos(x) sen (x) sen(x) 8. (Ifsp 0) Sabendo que a) - 5 b) 6 cos sen, então o valor de sen é: c) 6 d) e) Página de

4 . (Uepg 00) Na figura a seguir, sabe-se que sen α =, então, assinale o que for correto. 0) x = 8 08) tg α = 0) y = 6 6) sen C ˆM B 0) cos C ˆM B = 7 0. (Uft 00) Se a) 0 b) c) 0 d) e) 5 sen e,, então o valor de tg( ) é:. (Ibmecrj 00) Considere: sen x - cos x = a, com a > 0. Logo, sen x é igual a: a) - a b) a - c) a d) a + e) a Página de

5 . (Ufsc 00) Na figura a seguir determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6.. (Fgv 008) O valor de cos 7 - cos 6 é idêntico ao de a) cos 6. b) - cos 6. c) cos 6. d) - sen 6. e) sen 6.. (Ufrgs 008) Se cos x sen x = a) 0,5. b) 0,5. c) 0,5. d) 0,75. e)., então sen (x) é igual a 5. (Uel 008) Se cos (x) = /, então o valor de tan (x) + sec (x) é: a) / b) / c) d) / e) 5/ Página 5 de

6 Gabarito: Resposta da questão : [A] A área de T é dada por sen, enquanto que a área de T é igual a sabendo que a área de T é o triplo da área de T, vem sen. Logo, sen sen sen sen cos cos. 6 Resposta da questão : [B] Considere a figura, em que h é a diferença pedida. Sabendo que cos0, vem 0 cos0 sen sen 5 Portanto, sen5 h 00 sen5 00 0,6 6 m.,7 7 sen5 00,7 sen5 0 sen5 0,6. Página 6 de

7 Resposta da questão : 0 sen P ÔQ a) b) OPP ˆ 0, pois OP PP OP c) ΔOPP ΔOP ˆ ˆ Q logo P OP P OQ α 6 6 Então, senp ˆ OQ senα sen α.cos α Resposta da questão : a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado: a a tgθ a b) Se tan( θ) /, com 0 θ π/, temos: Página 7 de

8 sen θ e cosθ 7 7 Logo, cos θ senθ cos θ sen θ.sen θ.cosθ Resposta da questão 5: V V V F F. Temos que para todo x real. sen x cos x (sen x cos x) (sen x cos x) sen x cos x, π Sabendo que sen y cos y, para todo y real, vem π π π π sen x cos x cos x, para todo x real. Como sen x tgx e cos x cos x temos que cotg x, sen x sen x cos x tgx cotgx cos x sen x sen x cos x sen x cos x sen x cos x, sen(x) para x real e kπ x, com k inteiro. Sabendo que cos(y) cos y, para todo x real, vem cos x cos(x) cos x cos x cos x cos x. Como sen(a b) senacosb senbcosa e sen(a b) senacosb senbcosa, temos que sen(x y) sen(x y) sen xcos y sen ycos x sen xcos y sen ycos x sen xcos y. Página 8 de

9 Resposta da questão 6: a) Observe o cálculo a seguir:.cos( α).cosα 0.(cos α sen α).cosα 0.(.cos α ).cosα 0 cos α.cosα 0 Δ 5 5 cosα cosα 8 cosα (não coném) 5 logo, sen α= b) traçando uma reta r representada na figura, temos: cosα 5 5x 0 x 5 5x 0 x 0x 5 0x 0x 5 5 x 5 Página de

10 Resposta da questão 7: [C] Sabendo que cos x cos x e senx sen x cos x, vem cos x cotgx cossec x senx senx cos x senx cos x sen x cos x cos x sen x cotg x. Resposta da questão 8: [D] Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade, temos: cos + sen -.sen.cos = sen( ) = sen( ) = Resposta da questão : = sen = cos = (/) cos = 8/ cos = cos = tg = sen cos (0) Verdadeiro, cos (0) Verdadeiro, tg 7 x y 8 7 cos = cos - sen cos = 7 x y 6 (0) Verdadeiro, cos C ˆM 7 B = cos = 8 6 y (08) Verdadeiro, cálculo acima, (6) Verdadeiro, sen C ˆM B = y Página 0 de

11 Resposta da questão 0: [B] cos = sen cos 5 = - cos= tg = (segundo quadrante) cos = sen cos tg tg tg cos = 6 Resposta da questão : [A] (sen x cos x) ( a) sen x cos x sen x a sen x a. Resposta da questão : 6 cm Resposta da questão : [D] Resposta da questão : [D] (cos x sen x) cos x sen x sen x cos x sen x sen x 0,75 Resposta da questão 5: [E] Página de