E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 TRIGONOMETRIA

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1 E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 TRIGONOMETRIA

2 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO Trigonometria Conceitos Iniciais Ângulos e Arcos Unidades de Ângulos Tipos de Ângulos Triângulo Retângulo Círculo Trigonométrico Definição Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico Seno e Cosseno Tangente Relações Trigonométricas Inversas Identidades Trigonométricas Funções Trigonométricas Função Seno: Função Cosseno: Função Tangente: Página 1

3 2 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO Função Arco-Seno Função Arco-Cosseno Função Arco-Tangente Conversão de Coordenadas EXERCÍCIOS PROPOSTOS GABARITO Página 2

4 3 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 APRESENTAÇÃO Ao chegar à UFPA, você tem a possibilidade de cursar gratuitamente cursos de nivelamento em Ciências Básicas (Física, Química e Matemática). Assistindo às aulas no próprio ambiente em que cursará sua graduação, isso auxiliará você a adquirir o conhecimento necessário para enfrentar melhor o programa curricular do seu curso. Então seja Bem-vindo ao Curso de Nivelamento em Matemática Elementar do PCNA. Este é o sexto de uma série de cinco E-books que vão lhe acompanhar durante o curso, o professor utilizará este material como apoio às suas aulas e é fundamental que você o leia e acompanhe as atividades propostas. A série E-books PCNA-Matemática foi desenvolvida com o propósito de apresentar o conteúdo do curso de Matemática Elementar, fornecendo também ferramentas para facilitar o ensino e a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral que você irá encontrar em breve na sua graduação. Neste fascículo você irá encontrar o conteúdo de Trigonometria. É bom lembrar que não se pode aprender Cálculo sem alguns pré-requisitos, que muitas das vezes não valorizamos por acharmos simples e descomplicados, todavia, atenção e compreensão se fazem necessária. Página 3

5 4 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 6. Trigonometria 6.1. Conceitos Iniciais A palavra trigonometria vem do grego [trigōnon = "triângulo", metron "medida"], ou seja, está relacionada com as medidas de um triângulo, sendo estas medidas de ângulo e comprimento. A partir da definição dos conceitos básicos de trigonometria, arcos e ângulos, podemos utilizar as propriedades do triângulo retângulo e diversas relações úteis para a resolução de problemas matemáticos poderão ser encontradas. Além disso, a partir dos conceitos compreendidos no triângulo retângulos, a trigonometria pode abordar conhecimentos para outras figuras e áreas da matemática, como no estudo da circunferência, da elipse e das funções periódicas Ângulos e Arcos Em trigonometria, é de fundamental importância a definição de ângulos e arcos. Um ângulo α é a abertura entre duas retas R1 e R2 que possuem um ponto P em comum (vértice do ângulo). Pode ser entendido também como a inclinação entre duas retas. Esta ideia está ilustrada na Fig Página 4

6 5 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.1: Representação de um ângulo α. Adicionalmente, pode-se observar a magnitude de um ângulo α como sendo a quantidade de rotação que separa R1 da R2. Para se descrever a magnitude de um ângulo, deve-se primeiramente estabelecer uma unidade de medida, sendo as mais comuns o grau e o radiano. Mais adiante serão explicadas as diferenças entre estes 2 modelos de medição. Um ângulo α determina um arco (L) de uma circunferência, como se observa na Fig.6.2. Esse comprimento de arco está relacionado, juntamente com o ângulo (α), ao Raio (R); o que é explicitado na Eq.6.1: = L R Eq. (6.1) Página 5

7 6 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.2: Circunferência de raio R e comprimento de arco L Unidades de Ângulos Grau Ao dividir uma circunferência em 360 arcos iguais o que é representado na Fig.6.3 ; sendo C o comprimento da circunferência, e L comprimento do arco formado, o ângulo que determina um destes arcos corresponde a 1. Fig.6.3: Representação do ângulo que mede 1. Onde, L = C 360 Página 6

8 7 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Existe ainda uma unidade de medida de ângulos chamada de grado (ou gradiano) onde a circunferência é dividida em 400 arcos iguais, ao invés de 360. No entanto esta unidade não é comumente usada no Brasil. Radiano O radiano é o ângulo que determina um arco com comprimento igual ao raio da circunferência, tal qual é explicitado na Fig.6.4. Fig.6.4: Representação do ângulo que mede 1 rad. Onde L = R Tipos de Ângulos Alguns tipos de ângulos são muito usados, entre eles, o ângulo reto (90 ), ângulo raso ou de meia-volta (180 ), ângulo agudo (maior que 0 e menor que 90 ), ângulo obtuso (maior que 90 e menor que 180 ) e ângulo de uma volta (360 ). Os quais estão representados na Fig.6.5: Página 7

9 8 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.5: Ângulos de comum uso: (a) ângulo reto, (b) ângulo raso, (c) ângulo agudo, (d) ângulo obtuso e (e) ângulo de uma volta. (a) (b) (c) (d) Página 8

10 9 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 (e) Duas retas que formam um ângulo reto entre si são chamadas de perpendiculares ou ortogonais. Por exemplo, o plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares, como mostra a fig.6.6. Fig.6.6: Representação de um Plano Cartesiano Triângulo Retângulo Um triângulo que possui um ângulo reto (90 ) chamase triângulo retângulo. O maior lado a de um triângulo Página 9

11 10 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 retângulo é chamado de hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); e os outros dois lados b e c são chamados de catetos (Ver Fig.6.7). Fig.6.7: Triângulo Retângulo. Teorema de Pitágoras Para todo triângulo retângulo tem-se que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, o que pode ser explicitado pela Eq.6.2: a 2 = b 2 + c 2 (Eq. 6.2) Página 10

12 11 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Observe no exemplo o triângulo pitagórico, onde a soma da quantidade de quadrados formados pelos catetos é igual ao número de quadrados formados pela hipotenusa. Relações Trigonométricas Pode-se obter relações trigonométricas (da Eq.6.3 à Eq.6.8) em um triângulo retângulo ABC: sen θ = CO HI = a h cos θ = CA HI = b h tan θ = CO CA = a b cotg θ = 1 tgθ = b a cossec θ = 1 senθ = h a sec θ = 1 cosθ = a b (6.1) (6.2) (6.3) (6.4) (6.5) (6.6) Página 11

13 12 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Onde, em relação ao ângulo θ: CO = Cateto oposto; CA = Cateto adjacente; HI = Hipotenusa Lei dos Cossenos Para um triângulo qualquer podemos escrever a Lei dos Cossenos como na Eq.6.9. a 2 = b 2 + c 2 2. b. c. cos(α) (6.7) Fig.6.8: Exemplos de Triângulos onde pode ser aplicada a Lei dos Cossenos. Lei dos Senos Considerando o triângulo ABC, CH será a altura relativa ao lado AB, como mostrado na Fig.5.9: Página 12

14 13 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.9: Distância entre CH em um Triângulo ABC. Relações obtidas no triângulo ABC: sen A = h b h = b sen A (6.8) sen B = h a h = a sen B (6.9) b sen A = a sen B (6.10) a sen A = b cos B Assim, pode-se concluir que: a sen A = b sen B = c sen C (6.11) (6.12) Página 13

15 14 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 A Eq.6.14 é conhecida como Lei dos Senos ou Teorema dos Senos Círculo Trigonométrico Definição O círculo trigonométrico (ou ciclo trigonométrico) é a circunferência que possui raio unitário e cujo centro coincide com a origem do plano cartesiano. Ele é dividido em quatro quadrantes, os quais são limitados por um intervalo de ângulos de 90º, ou π 2 rad. Além disso, ele também pode ser representado em graus ou radiano, assim como mostra a Fig I Quadrante [0, π 2 ] ; II Quadrante [ π 2, π]; III Quadrante [π, 3 π 2 ] ; IV Quadrante [ 3π 2, π]. Página 14

16 15 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.10: Círculo trigonométrico: (a) em radianos e (b) em graus. (a) (b) Nota-se que o Sentido Positivo do Círculo Trigonométrico, ou seja, o sentido em que o ângulo aumenta a partir de 0, é dado a partir do Sentido Anti-horário, Página 15

17 16 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 enquanto que o Sentido Negativo é dado a partir do Sentido Horário. Além disso, é possível calcular o Comprimento da Circunferência C a partir da seguinte equação Eq C = 2. π. R (6.13) Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico Conhecidas as razões trigonométricas básicas no triângulo retângulo, será possível expandir esse conhecimento para o círculo trigonométrico, a fim de se determinar o seno, o cosseno e a tangente de outros arcos importantes. Para todo ângulo α contido no primeiro quadrante, tem-se um ângulo correspondente nos demais quadrantes, de forma que os valores de seno, cosseno e tangente de α são iguais em módulo nos seus correspondentes, podendo alterar o sinal, positivo ou negativo, dependendo do quadrante. No II Quadrante: 180º α; No III Quadrante: 180º + α; No IV Quadrante: 360º α. Página 16

18 17 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.11: Ângulos correspondentes de α em outros quadrantes: (a) em graus e (b) em radianos. (a) (b) Seno e Cosseno Para a determinação dos valores de seno e cosseno de um ângulo α, usam-se os mesmos princípios citados no Página 17

19 18 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 triângulo retângulo. Como é possível observar na Fig.6.12, raio do círculo trigonométrico é unitário (Hipotenusa). Portanto, o seno de α será igual ao próprio cateto oposto (C.O.) à α; e o cosseno de α será igual ao próprio cateto adjacente (C.A.) à α. As Eq.6.17, Eq.6.18 e Eq.6.19 exemplificam tais relações. sen α = y A (6.14) cos α = x A (6.15) tan α = sen α cos α (6.16) Fig.6.12: Determinando o Seno e o Cosseno de α Página 18

20 19 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Com isso, obtém-se a relação fundamental da trigonometria: sin²(α) + cos²(α) = 1 (6.17) Como o raio do círculo trigonométrico é unitário, o maior valor de seno e cosseno é igual a 1; e o menor valor será 1. Ou seja, as funções seno e cosseno estão limitadas ao intervalo [ 1; 1]. A partir da Fig.6.13 é possível notar que: o seno do ângulo correspondente de α no II quadrante é igual ao seno de α; o seno dos ângulos correspondentes de α no III e no IV quadrantes são iguais ao oposto do seno de α; o cosseno dos ângulos correspondentes de α no II e no III quadrantes são iguais ao oposto do cosseno de α; e o cosseno do ângulo correspondente de α no IV quadrante é igual ao cosseno de α. Fig Representação gráfica das funções seno e cosseno dos ângulos correspondentes de nos demais quadrantes: (a) sen (α) e sen (α); (b) cos (α) e cos (α). (a) Página 19

21 20 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 (b) Observa-se que a função sen(α) é uma função ímpar, pois tem-se que sen(α) = sen( α). E a função cos (α) é uma função par, pois cos(α) = cos( α), tal como é ilustrado na Fig Fig.6.14: Classificação das funções (a) sin(α) e (b) cos(α) como ímpar e par, respectivamente. (a) Página 20

22 21 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 (b) Tab.6.1: Tabela dos valores de seno e cosseno dos ângulos notáveis. Ângulo sen(α) cos (α) α =0 0 1 α = 30 α = 45 α = α = Página 21

23 22 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 α = α = α = Exemplos: 1) Determine sen ( π 3 ) Solução: O ângulo π rad está no IV quadrante e está relacionado ao 3 ângulo π rad, portanto: 3 sen ( π 3 ) = sen (π ), logo: sen ( π 3 3 ) = 3 2 2) Determine cos ( π 3 ) Solução: cos ( π 3 ) = cos (π π ), logo: cos ( 3 3 ) = 1 2 3) Determine sen ( 5π 4 ) Página 22

24 23 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Solução: O ângulo 5π rad está no III quadrante e está relacionado ao 4 ângulo π rad, portanto: 4 sen ( 5π 4 ) = sen (π 4 ), logo: sen (5π 4 ) = 2 2 4) Determine cos ( 5π 4 ) Solução: 5) sen ( 5π 6 ) Solução: cos ( 5π 4 ) = cos (π 4 ), logo: cos (5π 4 ) = 2 2. E o ângulo 5π rad está no II quadrante e, portanto, está 6 relacionado ao ângulo π rad, portanto: 6 5. π sen ( 6 ) = sen (π π ), logo: sen ( ) = 1 2 6) Determine cos ( 5π 6 ) Página 23

25 24 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Solução: cos ( 5π 6 ) = cos (π 6 ), logo: cos (5π 6 ) = Tangente Para a representação do valor da tangente de um ângulo α no círculo trigonométrico, acrescenta-se uma reta tangente t ao círculo trigonométrico, assim como é indicado na figura Fig A tangente de α será dada pelo comprimento do segmento AB. Observe que não existe tan(α) se α é igual a π/2 ou 3π/2, pois as reta r 3 e t não se interceptam para os ângulos α = π/2 e α = 3π/2. Fig.6.15: Definição gráfica da função tan(α). Eixo dos senos t π/2 α A r3 tg α O B Eixo dos cossenos 3π/2 Página 24

26 25 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Ao analisar a Fig.6.16, conclui-se que a tangente do ângulo correspondente de α no III Quadrante é igual à tangente de α; e a tangente dos ângulos correspondentes de α no II e no IV quadrantes são iguais ao oposto da tangente de α. Fig.6.16: Representação gráfica da função tangente dos ângulos correspondentes de α nos demais quadrantes. Exemplos: 1) Determine tan ( 7π 6 ) Solução: O ângulo 7π rad está no III quadrante e está relacionado ao 6 ângulo π rad, portanto: 6 Página 25

27 26 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 tan ( 7π 6 ) = tan (π 6 ), logo: tan (7π 6 ) = 3 3 2) Determine tan ( 3π 4 ) Solução: O ângulo 3π rad está no II quadrante e está relacionado ao 4 ângulo π rad, portanto: 4 tan ( 3π 4 ) = tan (π 4 ), logo: tan (3π 4 ) = 1. 3) Determine tan ( 5π 3 ) Solução: O ângulo 5π rad está no IV quadrante e está relacionado ao 3 ângulo π rad, portanto: 3 tan ( 5π 3 ) = tan (5π 3 ), logo: tan (5π 3 ) = 3. 4) Determine tan ( 5.π 2 ) Solução: O ângulo 5π rad é côngruo de π rad (o ângulo 5π rad está na mesma posição de π rad após uma volta completa no círculo 2 Página 26

28 27 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 trigonométrico). Portanto, a função tan ( 5π ) não existe tal 2 qual função tan ( π 2 ) Relações Trigonométricas Inversas Definem-se as seguintes razões inversas: a secante de um ângulo α (sec(α)) é dada pelo inverso do cosseno deste ângulo ; a cossecante de um ângulo α (cossec(α)) é dada pelo inverso do seno de α ; e a cotangente de um ângulo α (cotg(α)) é dada pelo inverso da tangente deste ângulo. Assim, têm-se as Eq.6.21, Eq.6.22 e Eq.6.23: sec(α) = cossec (α) = cotg (α) = 1 cos(α) 1 sen (α) cos (α) sen (α) = 1 tg(α) (6.18) (6.19) (6.20) Exemplos: 1) Se sen(α) = 1 2, com 0 < α < π 2 sec(α).. Determine o valor de Página 27

29 28 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Solução: sen 2 (α) + cos 2 (α) = 1, portanto: ( 1 2 ) 2 + cos 2 (α) = cos2 (α) = 1 cos 2 (α) = 1 1 4, então: cos 2 (α) = 3 4 cos (α) = ± ( 3 3 ) cos (α) = ± 4 2, e como 0 < α < π 2, tem se que α está no I quadrante, logo: Portanto: sec(α) = cos (α) = cos(α) sec(α) = 2 3 sec(α) = , logo: 2) Se sen(α) = 2 3 cotg(α). sec(α) =, com 3.π < α < 2π. Determine o valor de Página 28

30 29 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Solução: sen 2 (α) + cos²(α) = 1, portanto: ( 2 3 ) 2 + cos 2 (α) = cos2 (α) = 1 cos 2 (α) = 1 4 9, então: cos 2 (α) = 5 9 cos (α) = ± ( 5 9 ) cos (α) = ± 5 3, e como 3π 2 < α < 2. π, tem se que α está no IV quadrante, logo: Portanto: cotg (α) = cos (α) = 5 3. cos (α) cotg (α) = sen (α) ( 5 3 ) ( 2 3 ), logo: cotg (α) = ( 5 3 ) ( 2 3 ) = ( 5 3 ). ( 3 2 ) = 5 2 cotg (α) = 5 2. Página 29

31 30 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO Identidades Trigonométricas Algumas identidades trigonométricas facilitam a resolução de alguns problemas., tal como as Eq.6.24, Eq.6.25 e Eq sen 2 (α) + cos 2 (α) = 1 (6.21) 1 + tg 2 (x) = sec 2 (x) (6.22) 1 + cotg 2 (x) = cossec 2 (x) (6.23) Dados dois ângulos a e b; os valores de seno, cosseno e tangente dos arcos obtidos pela soma ou pela subtração de a e b serão as equações de Eq.6.27 à Eq.6.34: sen(a + b) = sen(a). cos(b) + sen(b). cos(a) (6.24) sen(a b) = sen(a). cos(b) sen(b). cos(a) (6.25) cos(a + b) = cos(a). cos(b) sen(a). sen(b) (6.26) cos(a b) = cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b) (6.27) sen(2x) = 2. sen(x). cos(x) (6.28) cos(2x) = cos²(x) sen²(x) (6.29) sen ( x (x) ) = 1 cos 2 2 cos ( x (x) ) = 1+cos 2 2 (6.30) (6.31) Página 30

32 31 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Dados dois ângulos p e q, os valores da soma e da subtração dos senos e dos cossenos destes ângulos serão obtidos a partir das seguintes relações de Eq.6.35 à Eq.6.38: sen(p) + sen(q) = 2. sen( p+q 2 ). cos(p q 2 ) (6.32) sen(p) sen(q) = 2. sen ( p q ). cos (p+q ) (6.33) 2 2 cos(p) + cos(q) = 2. cos ( p+q 2 ). cos(p q 2 ) (6.34) cos(p) cos(q) = 2. sen ( p+q ). sen (p q ) (6.35) 2 2 Exemplos: 1) Determine o valor de sen(105 ) e cos(15 ). Solução: Como 105º é igual a 60º + 45º, tem-se que: sen(105 ) = sen( ) sen(105 ) = sen(60 ). cos(45 ) + sen(45 ). cos(60 ) sen(105 ) = = sen(105 ) = E como 15º é igual a 60º 45º, tem-se que: cos(15 ) = cos(60 45 ). Página 31

33 32 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 cos(15 ) = cos(60 ). cos(45 ) + sen(60 ). sen(45 ) cos (15 ) = = , cos (15º) = Funções Trigonométricas Função Seno: Admitindo y como uma variável independente, é possível representar a função seno da Eq.6.39: y = f(x) = sin(x) (6.36) A partir dessa representação, devem-se constatar as seguintes definições: O domínio da função (D(f)) está compreendido sob todo o conjunto dos números reais, ou seja, a variável x pode assumir qualquer valor real. Para cada valor de x existe um valor correspondente de y que varia de -1 a 1, isto é, a imagem da função (Im(f)) compreende o intervalo[ 1, 1]. A cada volta que se completa no círculo trigonométrico, os valores de y repetem-se oscilando, o que significa dizer que a função apresenta caráter oscilatório e periódico, de período igual a 2π. Página 32

34 33 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.17: Gráfico da senoide. Se a função se apresentar na forma da Eq.6.40: f(x) = sen(k. x) (6.37) O período T da função será igual a Eq T = 2π k (6.38) Se k > 1, ocorre uma compressão horizontal no gráfico de ordem a (Ver Fig.6.18). Fig.6.18: Gráfico da Função f(x) = sen(2x). Página 33

35 34 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Podem haver casos nos quais a função é apresentada sob a forma y = A. sen x, o que provocará um alongamento (A > 1) ou um encurtamento vertical (A < 1). Fig.6.19: Gráfico da Função f(x) = 0.5 sen(x). Percebe-se também a existência de deslocamentos verticais ou horizontais sob as respectivas formas: y = B + sen(x) para os deslocamentos verticais e y = sen(x + C) para os deslocamentos horizontais. Sendo assim, é possível chegar a uma nova fórmula genérica (Eq.6.42) para a função seno levando-se em consideração os deslocamentos supracitados. f(x) = A + B. sen(kx + C) (6.39) Em que A, B, C e k são constantes reais. Página 34

36 35 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.20:Gráfico da Função f(x) = sen(2x + π) Função Cosseno: Assumindo y como uma variável independente, é possível também representar a função cosseno na Eq.6.43: y = f(x) = cos x (6.40) A partir dessa representação, deve-se atentar às seguintes definições: O Domínio da função (D(f)) está compreendido sob todo o conjunto dos números reais, ou seja, a variável x pode assumir qualquer valor real. Para cada valor de x existe um valor correspondente de y que varia de -1 a 1, isto é, a imagem da função (Im(f)) compreende o intervalo [ 1, 1]. Página 35

37 36 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 A cada volta que se completa no Círculo Trigonométrico, os valores de y se repetem oscilando, o que significa dizer que a função apresenta caráter oscilatório e periódico, de período igual a 2π. Fig.6.21: Curva conhecida como cossenóide. Caso a função seja apresentada sob a forma f(x) = cos(kx),analogamente à função seno, o período T da função será igual a Eq.6.44 T = 2π k (6.41) Neste caso também ocorre uma compressão horizontal no gráfico de ordem a. A função cosseno também pode ser y = A cos(x),o que provocará um alongamento (A > 1) ou encurtamento (A < 1) vertical (variação da amplitude). Percebe-se igualmente a existência de deslocamentos verticais ou horizontais sob as respectivas formas: y = A + cos(x) para os deslocamentos verticais e y = cos(x + C) para os deslocamentos horizontais. Página 36

38 37 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Sendo assim, é possível obter a uma formulação genérica (Eq.6.45) para a função cosseno levando em consideração os deslocamentos mencionados: f(x) = A + B cos(kx + C) (6.42) Em que A, B, C e k são constantes reais Função Tangente: Tal qual as funções seno e cosseno, a função Tangente também pode ser presentada, de acordo com a Eq.6.46; tendo, igualmente, y como uma variável independente: y = f(x) = tan x (6.43) Com isso, constatam-se as seguintes definições: A variável x, ao contrário do que ocorre nas funções seno e cosseno, não pode assumir os valores π e 3π (e seus 2 2 respectivos correspondentes em N voltas no círculo trigonométrico). Desta forma, o domínio (D(f)) corresponde ao intervalo [0; π 2 [ U ] π 2 ; 3π 2 [ U ] 3π 2 ; 2π] + N. 2π. Para cada valor de x pertencente ao domínio, existe um valor de y que, ao se aproximar dos valores de indefinição da função, apresentarão assíntotas, as quais podem ser vistas no gráfico da Fig.6.22 na forma de linhas verticais tracejadas. Página 37

39 38 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Assim como nas funções seno e cosseno, a função tangente também apresenta caráter periódico, porém a descontinuidade dos valores, devido às assíntotas, torna a função não oscilatória. Fig.6.22: Gráfico da Função f(x) = tan(x). Assim como nas funções anteriormente comentadas, na função tangente também podem ocorrer deslocamentos no gráfico. Sendo estes generalizados pela Eq.5.47: f(x) = A + B tan(kx + C) (6.44) Sendo que o novo período T será dado ela Eq.6.48: T = π k (6.45) Função Arco-Seno O arco-seno (arcsen(x))é um ângulo definido pela variável a dependente de um valor x tal que para arcsen(x) = α isto é, sen(α) = x. Página 38

40 39 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Exemplo 6: Para um triângulo retângulo de hipotenusa 2 cm e cujo ângulo α é oposto a um cateto de 1cm, determine o valor de a: Solução: sen(α) = 1 2, logo: α = arcsen ( 1 2 ). Ou seja, sen(α) = 1 2 ; Como sen ( π 6 ) = 1 2, então: α = π rad = Função Arco-Cosseno O arco-cosseno (arccos(x)) é um ângulo a cujo valor de seu cosseno vale x, isto é, a depende de x tal que arccos(x) = α cos(α) = x. Pode-se dizer, portanto, que a função arco-cosseno é a função inversa da função cosseno. Exemplos: 1) Sabe-se que um triângulo retângulo possui um ângulo a tal que o cateto adjacente a este ângulo vale 2 cm e a hipotenusa do respectivo triângulo possui valor de 4 cm. Determine o ângulo a. Página 39

41 40 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Solução: cos(α) = 2 4 = 1 2, logo: Como: α = arccos( 1 2 ), ou seja, cos(α) = 1 2 cos ( π 3 ) = 1 2 : α = π rad = Função Arco-Tangente O arco-tangente (arctan(x)) de um valor x, é o ângulo α cuja a tangente é igual ao valor x. Ou seja, se tan(α) = x, tem-se que α = arctan(x). Exemplos: 1) Um triângulo retângulo possui um ângulo a o qual tem como cateto oposto b = 2. 2, e o cateto adjacente c =2. 2. Determine o ângulo a Solução: tan(α) = 2 2 = 1, logo: 2 2 α = arctan(1), ou seja, tg(α) = 1 Página 40

42 41 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Como: tan ( π ) = 1, então: 4 α = π rad = Sistema de Coordenadas Polares O sistema de coordenadas polares no plano tem como referenciais um ponto fixo O, denominado polo e uma semirreta orientada fixa com origem em O denominada eixo polar; e um raio r, como é representado na Fig Fig.6.23: Representação de um eixo polar O Eixo polar Considere P um ponto genérico no plano e seja o raio r a distância entre o polo O e o ponto P, assim r = OP. Se P O, então P pertence a uma única semirreta determinada com a origem em O. Tais descrições são representadas na Fig.6.23 Página 41

43 42 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 Fig.6.24: Semirreta formando um ângulo θ com o Eixo Polar. Seja θ o ângulo formado entre o eixo polar e esta semirreta, medido a partir do eixo polar. Como o ângulo θ tem vértice no pólo O e o seu lado inicial é o eixo polar, ele é dito estar na posição padrão ou fundamental. Assim, a semirreta constitui o lado terminal do ângulo θ na posição fundamental. Os ângulos são geralmente medidos em radiano e são considerados positivos quando medidos no sentido anti-horário. A cada ponto P do plano, pode-se associar um par de números reais r e θ denominados coordenadas polares de P. Denota-se P(r, θ), onde r é a coordenada radial (raio) de P, que é a distância de P em relação ao pólo, e θ é a coordenada angular ou ângulo polar de P. As coordenadas polares (r, θ) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semirretas partindo de O. O valor de r localiza P num círculo de raio r, o valor de θ localiza P numa semirreta que é o lado terminal do ângulo na posição fundamental, e P é determinado pela interseção do círculo com a semirreta, como é mostrado na Fig Página 42

44 43 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 P (3, π 6 ) ; Q (2, 2π 3 ) ; R (1, 7π 6 ) Fig.6.25: Grade formada por círculos concêntricos e semirretas partindo de Conversão de Coordenadas Para converter coordenadas polares (r, θ) em cartesianas (x, y), ou vice-versa, é usual considerar que o polo do sistema polar coincidente com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar do sistema polar coincidente com o eixo x, tais como as Eq.6.49 e Eq Assim, o eixo positivo y é a semirreta θ = π/2. x = r cosθ { y = r sen θ (6.46) Página 43

45 44 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 ou r = ± x { 2 + y 2 tan θ = y x para x 0 (6.47) Se θ está na posição fundamental então r = + x 2 + y 2 Se θ = arctan(y x)então tan(θ + n π) = y x para x 0 e n I (r, θ ) polar P { (x, y) cartesiano Fig Representação Gráfica do Eixo Polar P coincidindo com o eixo x do Sistema Cartesiano. Exemplos: Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas: Página 44

46 45 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 (r, θ) (x, y) = (r cosθ, r sen θ) 1) (r, θ) = (2, 3π 2 ) Solução: x = 2 cos ( 3π 2 ) = 2.0 = 0 y = 2 sen ( 3π ) = 2. ( 1) 2 (x, y) = (0, 2) 2) (r, θ) = ( 4, π 3 ) Solução: x = ( 4 ). cos ( π 3 ) = ( 4). (1 2 ) = 2 y = ( 4). sen ( π ) = ( 4). ( ) = 2 3 (x, y) = ( 2, 2 3) 3) (r, θ) = (1, 2π 3 ) Solução: x = (1). cos ( 2π 3 ) = (1). ( 1 2 ) = 1 2 Página 45

47 46 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 y = (1). sen ( 2π 3 ). ( 3 2 ) = 3 2 (x, y) = ( 1 2, 3 2 ) Converta as coordenadas cartesianas dadas para coordenadas polares. r = ± x 2 + y 2 (x, y) (r, θ) { tan θ = y para x 0 x 4) (x, y) = (4, 4) Solução: r = = 2 5 = 4 2 π tan θ = 4 4 = 1 θ = arc tan(1) { 4 5π 4 Como o ponto está no primeiro quadrante 0 θ π 2, logo θ = π 4 5) (x, y) = ( 1, 3) Solução: (r, θ) = (4 2, π 4 ) r = + ( 1) 2 + ( 3) 2 = 4 = 2 Página 46

48 47 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 tan θ = 3 1 = 3 π 3 θ = arc tan( 3) = 4π { 3 Como o ponto está no terceiro quadrante π θ 3π 2, logo θ = 4π 3 6) (x, y) = (3 3, 3) Solução: (r, θ) = (2, 4π 3 ) r = + (3 3) 2 + ( 3) 2 = 36 = 6 tan θ = = 1 3 θ = arc tan ( 1 3 ) = { π 6 = 11π 6 5π 6 Como o ponto está no quarto quadrante π 2 logo θ = π 6 (r, θ) = (6, π 6 ) θ 0, Página 47

49 48 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 7) (x, y) = (0, 4) Solução: r = + (0) 2 + ( 4) 2 = 4 π tan θ = = θ = 3π { 2 Como y < 0 o ponto pertence ao eixo negativo y logo θ = 3π 2 = π 2 (r, θ) = (4, π 2 ) Página 48

50 49 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Aqui estão questões relacionadas ao capítulo estudado. É importante o esforço para resolver todas as questões. Em caso de dúvidas os monitores do programa estão prontos para lhe ajudar. Bons estudos! 1) Na figura, AB = 5dm, AD = 5 7 dm, DBC = 60º e DCA = 90º. Determine a medida de CD em decímetros. 2) Calcule o comprimento L do arco AB definido numa circunferência de raio r=10 cm, por um ângulo central de 60. 3) Calcule m de modo a obter sen(x) = 2m + 1 e cos(x) = 4m + 1 Página 49

51 50 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 4) Dado quesin(x). cos(x) = m, calcule o valor de y = sen 4 (x) + cos 4 (x) e z = sen 6 (x) + cos 6 (x) 5) Dois lados de um triângulo que medem 8m e 12m e formam entre si um ângulo de 120.Calcule o terceiro lado. 6) Um triângulo tem lados a = 10m, b = 13m e c= 15m.Calcule o ângulo o menor, A, do triângulo. 7) Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções abaixo: a) f : dada por f(x) = sen x. b) f : dada por f(x) = sen x c) f : dada por f(x) = sen(x + π ) 3 d) f : dada por f(x) = 3. cos x e) f : dada por f(x) = cos(x π ) 4 8) Simplifique: 1. 1 sec x 1 cosx 1 cosx 9) Calcule o valor da expressão sen105 - cos 75 10) Sabendo que sen a = 3 e cos a = 4, calcule sen(2a) cos(2a) Página 50

52 51 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 11) Calcule o valor numérico da expressão: y = sen ( 13π ). 12 cos(11π) 12 12) Transforme em produto: a) y = 1 + sen(2x) b) y = 1 + cos(x) c) y = sen(5x) + sen(3x) d) y = cos(3x) + cos(x) 13) Ache os valores de 2 cos 2 (x) + 5 sen(x) ) Demarcar os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares e encontrar suas coordenadas cartesianas: a) P1= (3, π 3 ) c) P4= ( 3, π 3 ) b) P2= (3, π 3 ) d) P3= ( 3, π 3 ) 15) Encontrar as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas polares. a) ( 2, 2π 3 ) d) ( 10, π 2 ) c) (4, 5π ) e) ( 10, 3π ) 8 2 d) (3, 13π 4 ) Página 51

53 52 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 16) Encontrar um par de coordenadas polares dos seguintes pontos: a) (1, 1) b) (-1, 1) c) (-1, -1) d) (1, -1) 17) Identificar e transformar as seguintes equações para coordenadas polares. a) x 2 + y 2 = 4 b) x = 4 c) y = 2 d) x 2 + y 2 + 2x = 0 e) x 2 + y 2 6y = 0 Página 52

54 53 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 1) DC = 5 3 2) L = 10π/3cm 3) m 1 = 1/10ou m 2 = 1/2 4) y = 1 2m 2 e z = 1 3m² 5) lado 3 x = ) A = arccos ) GABARITO a) Im f = {y R 1 y 1}; P = 2π b) Im f = {y R 0 y 1}; P = π c) Im f = {y R 1 y 1}; P = 2π d) Im f = {y R 3 y 3}; P = 2π e) Im f = {y R 1 y 1}; P = 2π 8) cotgx 9) 2/2 10)31/25 11)Y = 1/4 12) a) y = 2sen (x + π 4 ) cos (π 4 x) b) y = 2cos 2 ( x 2 ) Página 53

55 54 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 c) y = 2sen4x. cosx d) y = 2cos2xcosx 13) 1 2 senx 1 14) a) ( 3, 3 3 ) 2 2 b)( 3, 3 3 ) 2 2 c)( 3, 3 3 ) 2 2 d) ( 3, 3 3 ) ) a) (1, - 3) b) (-1.507, ) c) ( 3 2, 3 2 ) 2 2 d) (0, -10) e) (0, 10) 16 a) ( 2, π/4) b) ( 2, 3π/4) c) ( 2, 5π/4) d) ( 2, 7π/4) 17) a) r = ±2 b) r cos θ = 4 c) r sin θ = 2 d) r = 2 cos θ e) r = 6 sin θ Página 54