Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

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1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 08 Trigonometria. 8. Trigonometria Introdução Razões Trigonométricas em um Triângulo Retângulo Seno, Cosseno, Tangente e Cotangente Teorema de Pitágoras... Alguns triângulos retângulos clássicos que podem aparecer em prova: Outras Relações Importantes Relação entre Cosseno e Tangente Relação entre Seno e Tangente Secante e Cossecante Razões Trigonométricas Especiais Relações entre Graus e Radianos Ciclo Trigonométrico Transformações Cosseno da Soma Cosseno da Diferença Seno da Soma Seno da Diferença Tangente da Soma e da Diferença Cotangente da Soma e da Diferença Lei dos Cossenos Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos...4 Bibliografia

2 8. Trigonometria Hoje, chegamos à aula de trigonometria, para muitos, considerada o bichopapão da matemática. Vou procurar, nesta aula, ser o mais objetivo possível e mostrar aquilo que realmente você precisa saber para acertar as questões de trigonometria. Vamos lá! 8.. Introdução Para iniciarmos o estudo da trigonometria precisamos entender o que é ângulo. Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas na mesma reta. Exemplo: A O B Semi-retas: OA e OB Lados do ângulo: OA e OB. Vértice do ângulo: O Ângulo: Ô ou AÔB ou BÔA ou β Unidade de Medida: º (graus) ou radianos (rd) Repare que, normalmente, medimos os ângulos em graus ou radianos, sendo que a relação entre os dois é: 360º (360 graus) = π radianos π radianos º ( grau) = 360 O símbolo π é chamado de PI. β Além disso, temos os conceitos de ângulos consecutivos e ângulos adjacentes. Ângulos consecutivos são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou seja, um ângulo está contido em outro. Por outro lado, os ângulos adjacentes possuem um lado em comum, mas não têm pontos internos comuns, ou seja, um ângulo não está contido em outro. Vejamos: Exemplo: A O B C Os ângulos CÔA e CÔB são consecutivos. Os ângulos CÔA e BÔA são consecutivos. Os ângulos CÔB e BÔA são adjacentes.

3 Memorize para a prova: Ângulo: é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas na mesma reta. Ângulos consecutivos: são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou seja, um ângulo está contido em outro. Ângulos adjacentes: são ângulos que possuem um lado em comum, mas não têm pontos internos comuns, ou seja, um ângulo não está contido em outro. Mais definições importantes de ângulos: ângulos suplementares, ângulos complementares, ângulo reto, ângulo agudo, ângulo obtuso e triângulo. Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 80º (cento e oitenta graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o suplemento do outro. Exemplo: β + θ = 80º A θ O β B β e θ são ângulos suplementares. Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º (noventa graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do outro. Exemplo: β + θ = 90º β θ β e θ são ângulos complementares. 3

4 Ângulo Reto é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou π radianos). Exemplo: β = 90º β β é um ângulo reto. Ângulo Agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º (noventa graus ou π radianos). Exemplo: β < 90º β β é um ângulo agudo. Ângulo Obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º (noventa graus ou π radianos) e menor que 80º (cento e oitenta graus ou π radianos). Exemplo: 90º < β < 80º β β é um ângulo obtuso. Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares. Exemplo: Triângulo ABC δ A C θ β B 4

5 Vértices: A, B e C Lados: AB, BC e CA Ângulos Internos: δ, β e θ δ + β + θ = 80º Esta relação é extremamente importante: as somas dos ângulos internos do triângulo é igual a 80º (cento e oitenta graus ou π radianos). Para encerrar a introdução, vamos ver mais dois conceitos: semelhança de triângulos e triângulo retângulo. Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos internos iguais (ou congruentes) e os lados homólogos proporcionais. Nota: Dois lados são homólogos quando são opostos aos ângulos congruentes. Difícil? Então veja por meio de um exemplo: Exemplo: Triângulos ABC e DEF δ A C θ β B µ D F ω E Os triângulos ABC e DEF serão semelhantes se:. Os ângulos internos são congruentes: C AB F DE (o símbolo significa que os ângulos são congruentes); AC B D F E A B C = D E F 5

6 . Os lados homólogos são proporcionais: AB CB AC = = DE FE DF A representação para triângulos semelhantes é o símbolo: ~. Ou seja, no caso do exemplo: ABC ~ DEF, onde significa triângulo. Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto (= 90º ou π radianos). Além disso, temos o conceito de hipotenusa e catetos (oposto e adjacente). A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, os catetos opostos são os lados opostos aos ângulos que não são retos e os catetos adjacentes correspondem a um dos lados dos ângulos que não são retos (o outro é hipotenusa). Vejamos um exemplo. Exemplo: δ = 90º β c a δ θ b Lado oposto ao ângulo reto δ: a = Hipotenusa Considerando o ângulo β, teríamos: b = Cateto oposto (lado oposto ao ângulo β). c = Cateto adjacente (um dos lados adjacentes ao ângulo β o outro lado adjacente é a hipotenusa) Considerando o ângulo θ, teríamos: b = Cateto adjacente (um dos lados adjacentes ao ângulo θ o outro lado adjacente é a hipotenusa) c = Cateto oposto (lado oposto ao ângulo θ). 6

7 Memorize para a prova: Ângulos Suplementares: a soma de suas medidas é 80º (cento e oitenta graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o suplemento do outro. Ângulos Complementares: a soma de suas medidas é 90º (noventa graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do outro. Ângulo Reto: é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou π radianos). Ângulo Agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º (noventa graus ou π radianos). Ângulo Obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º (noventa graus ou π radianos) e menor que 80º (cento e oitenta graus ou π radianos). Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares. Semelhança de Triângulos: dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos internos iguais (ou congruentes) e os lados homólogos proporcionais. Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto (= 90º ou π radianos). Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, em um triângulo retângulo. Catetos Opostos: são os lados opostos aos ângulos que não são retos, em um triângulo retângulo. Catetos Adjacentes: correspondem a um dos lados dos ângulos que não são retos (o outro é hipotenusa), em um triângulo retângulo. 7

8 8.. Razões Trigonométricas em um Triângulo Retângulo 8... Seno, Cosseno, Tangente e Cotangente Vista a introdução, vamos começar a adentrar pela aventura da trigonometria. Para começar, temos que aprender o que é seno, o que é cosseno, o que é tangente e o que é cotangente. O seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela hipotenusa e será representado por sen(x). O cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela hipotenusa e será representado por cos(x). A tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente e será representada por tg(x). A tangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo cosseno de x. A cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto e será representada por cotg(x). A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x. Portanto, em fórmulas matemáticas, teríamos: β c a δ θ b Considerando o ângulo β, teríamos: CatetoOposto b senβ = = Hipotenusa a CatetoAdjacente c cosβ = = Hipotenusa a 8

9 CatetoOposto b tgβ = = CatetoAdjacente c b senβ b tgβ = = a = cosβ c c a CatetoAdjacente c cot gβ = = CatetoOposto b c cosβ c cot gβ = = a = senβ b b a cotgβ = tgβ = t gβ cot gβ Considerando o ângulo θ, teríamos: CatetoOposto c senθ = = Hipotenusa a CatetoAdjacente b cosθ = = Hipotenusa a CatetoOposto c tgθ = = CatetoAdjacente b c senθ c tgθ = = a = cosθ b b a CatetoAdjacente b cot gθ = = CatetoOposto c b cosθ b cot gθ = = a = senθ c c a cotgθ = tgθ = t gθ co t gθ Repare ainda que, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 80º (cento e oitenta graus), temos que: β + δ + θ = 80º 9

10 Além disso, como δ é um ângulo reto (90º), se substituirmos este valor na relação acima, teríamos: β + δ + θ = 80º β + 90º + θ = 80º β + θ = 80º - 90º β + θ = 90º Portanto, como a soma de β e θ é igual a 90º (noventa graus), eles são ângulos complementares. Repare agora, algumas relações importantes entre ângulos complementares: sen β = cos θ cos β = sen θ tg β = cotg θ cotg β = tg θ tg β x tg θ = cotg β x cotg θ = Beleza até aqui? Ressalto que estas relações de seno, cosseno, tangente e cotangente são a base da trigonometria e devem estar no seu sangue para a prova! Memorize para a prova: O seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela hipotenusa. O cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela hipotenusa. A tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente. A tangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo cosseno de x. A cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto. A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x. Se o ânguloβeoânguloθsão complementares (β + θ = 90º), então: sen β = cos θ cos β = sen θ tg β = cotg θ cotg β = tg θ tg β x tg θ = cotg β x cotg θ = 0

11 Agora, dê uma relaxada e beba uma água, para que possamos continuar com os nossos conceitos. Vamos retomar o estudo com mais conceitos IMPORTANTES para a prova Teorema de Pitágoras O teorema de Pitágoras corresponde a seguinte relação: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. β c a δ θ b a = hipotenusa b = cateto c = cateto Teorema de Pitágoras: a = b + c (I) Se dividirmos todos os termos da equação (I) por a, teremos: a b c = + a a a b c = + a a b c = + a a (II) Já vimos que: b senβ = a c cosβ = a Substituindo o seno e o cosseno de β na equação (II), teríamos: b c = + a a = sen β + cos β

12 Esta é outra relação importantíssima, também conhecida como relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo β qualquer somado ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a (um). sen β + cos β = Memorize para a prova: Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo x qualquer somado ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a (um). sen x + cos x = Alguns triângulos retângulos clássicos que podem aparecer em prova: Lados: 3 (cateto), 4 (cateto) e 5 (hipotenusa) Teorema de Pitágoras: 5 = = = 5 (ok) Lados: 5 (cateto), (cateto) e 3 (hipotenusa) Teorema de Pitágoras: 3 = = = 69 (ok) Outras Relações Importantes Relação entre Cosseno e Tangente Considerando a relação anterior: sen β + cos β = (III) Se dividirmos (III) por cos β, teremos: sen β cos β + = cos β cos β cos β

13 senβ cosβ + = cosβ Já sabemos que: tgβ = senβ cosβ tg β + = cosβ tg β + = cos β cos β = + tg β Relação entre Seno e Tangente Considerando a relação anterior: sen β + cos β = (III) Se dividirmos (III) por sen β, teremos: sen β cos β + = sen β sen β sen β cosβ + senβ = senβ Já sabemos que: senβ tgβ = cos β = cosβ tgβ senβ + = tg β sen β tg β + = tg β sen β tg β sen β = + tg β 3

14 Secante e Cossecante Estas são duas relações pouco prováveis de aparecer em prova. Contudo, como o Sr. Seguro morreu de velho e o Sr. Prevenido está vivo até hoje, vamos conceituá-las. A secante, representada por sec, é o inverso do cosseno e a cossecante, representada por cossec, é o inverso do seno. sec x= cos x cossec x= senx Memorize para a prova: Relação entre Cosseno e Tangente: cos β = + tg β Relação entre Seno e Tangente: tg β sen β = + tg β 8.3. Razões Trigonométricas Especiais Neste item, apresentarei alguns valores importantes para a prova (podem ser necessários os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente desses ângulos para resolver alguma questão): Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 80º 70º 360º Seno Cosseno Tangente Cotangente = infinito 0-0 Ou seja, se na questão aparecer o sen 30º, temos que saber que vale, e assim por diante. 4

15 Uma outra maneira é a questão fornecer o valor e termos que descobrir o ângulo. Nessa situação chamamos de arco. Por exemplo, se a questão deseja saber qual o ângulo cujo seno é igual a, falaríamos da seguinte maneira: Qual o arco seno de? O arco seno de é 30º (trinta graus). Veja a tabela (partindo do valor para achar o ângulo): Ângulo 0 3 Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º Ângulo Arco Tangente 30º 45º 60º Arco Cotangente 60º 45º 30º Exemplos: Arco Seno 0 = 0º Arco Seno ( ) = 30º Arco Cosseno () = 0º De posse dos valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dos diversos ângulos, também conseguimos definir os seus intervalos de valores. Vejamos: - seno x o valor do seno pode variar entre - e. - cosseno x o valor do cosseno pode variar entre - e. - tangente x + o valor da tangente pode variar entre - e +. - cotangente x + o valor da cotangente pode variar entre - e

16 Memorize para a prova: Relações Trigonométricas Especiais: Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 80º 70º 360º Seno Cosseno Tangente Cotangente = infinito Ângulo 0 3 Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º 0-0 Intervalos: - seno x o valor do seno pode variar entre - e. - cosseno x o valor do cosseno pode variar entre - e. - tangente x + o valor da tangente pode variar entre - e +. - cotangente x + o valor da cotangente pode variar entre - e Relações entre Graus e Radianos Vimos, no início da aula, que: 360º (360 graus) = π radianos π radianos º ( grau) = 360 Vamos supor que você deseja saber qual é o valor em radianos correspondente a 30º (trinta graus). Basta fazer uma regra de três: 360º == π radianos 30º == Y radianos Multiplicando em cruz (lembra?): 360º x Y = 30º x π o 30 xπ 60π π Y = = = o

17 Portanto, pode-se deduzir (fazendo os cálculos) que: π = 80º π = 90º π = 60º 3 π = 30º 6 e assim por diante. Memorize para a prova: Relação entre graus e radianos: 360º (360 graus) = π radianos Para calcular dos demais ângulos (fazer uma regra de três): 360º == π radianos Xº == Y radianos Multiplicando em cruz: 360º x Y = Xº x π 8.5. Ciclo Trigonométrico Também é possível utilizar o ciclo trigonométrico para calcular as relações de seno, cosseno, tangente e cotangente. Vejamos. B π/ P P C D π O P A 3π/ OA eixo dos cossenos (sentido positivo O -> A) OB eixo dos senos (sentido positivo O -> B) C eixo das tangentes (sentido positivo o mesmo do eixo dos senos) D eixo das cotangentes (sentido positivo o mesmo do eixo dos cossenos) 7

18 Cosseno P = OP Seno P = OP Se definirmos sen α, cos α, tg α e cotg α no ciclo trigonométrico: α está no intervalo de 0 a π radianos, ou seja, entre 0º e 360º. Ou seja, como o próprio nome sugere, é um ciclo (se repete). Repare: n é um número inteiro. 0 = π (360º) = 4π (70º) = 6π (.080º) = nπ π/ (90º) = π + π/ (450º) = 4π + π/ (80º) = 6π + π/ (.70º) = = nπ + π/ π (80º) = 3π (540º) = 5π (900º) = nπ + π 3π/ (70º) = π + 3π/ (630º) = 4π + 3π/ (990º) = 6π + 3π/ (.350º) = = nπ + 3π/ e assim por diante. Também precisamos ter atenção aos quadrantes do ciclo trigonométrico, pois eles definirão se o seno, cosseno, tangente ou cotangente serão positivos ou negativos. Q Q 3 Q 4 Q Q = Primeiro Quadrante Q = Segundo Quadrante 3Q = Terceiro Quadrante 4Q = Quarto Quadrante Primeiro Quadrante: de 0 a π/ Segundo Quadrante: de π/ a π Terceiro Quadrante: de π a 3π/ Quarto Quadrante: de 3π/ a π Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x positivo positivo positiva positiva positivo negativo negativa negativa 3 negativo negativo positiva positiva 4 negativo positivo negativa negativa 8

19 Novamente, a tabela dos valores de seno e cosseno, agora mais completa. Repare que não é preciso memorizar os valores de tangente e cotangente, pois, nesses casos, você pode utilizar as fórmulas abaixo: senx tgx= cos x cot gx= cos x senx Tabela de valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 π/6 = 30º 5π/6 = 50º 3 π/4 = 45º π/3 = 60º 3 π/ = 90º 0 π/3 = 0º 3 3π/4 = 35º π = 80º 0-7π/6 = 0º 3 5π/4 = 5º 4π/3 = 40º 3 3π/ = 70º - 0 5π/3 = 300º 3 7π/4 = 35º π/6 = 330º 3 π = 360º

20 Exemplos: senα = 0 α = 0, π, π, 3π,... = nπ, n inteiro qualquer senα = α = π/, π + π/,... = nπ + π/, n inteiro qualquer senα = - α = 3π/, π + 3π/,... = nπ + 3π/, n inteiro qualquer cos α = 0 α = π/, 3π/, 5π/,... = nπ + π/, n inteiro qualquer cos α = α = 0, π, 4π, 6π,... = nπ, n inteiro qualquer cos α = - α = π, 3π, 5π,... = nπ + π, n inteiro qualquer Em graus, teríamos: senα = 0 α = 0, 80º, 360º, 540º,... = 80º.n, n inteiro qualquer senα = α = 90º, 360º + 90º,... = 360º.n + 90º, n inteiro qualquer senα = - α = 70º, 360º + 70º,... = 360º.n + 70º, n inteiro qualquer cos α = 0 α = 90º, 70º, 450º,... = 80º.n + 90º, n inteiro qualquer cos α = α = 0, 360º, 70º,.080º,... = 360º.n, n inteiro qualquer cos α = - α = 80º, 540º, 900º,... = 360º.n + 80º, n inteiro qualquer Repare que o importante é conhecer os valores de seno e de cosseno até 360º, pois, como é um ciclo trigonomêtrico, os ângulos se repetem a partir de 360º. Por exemplo, no caso de 0º, temos: cos 0º = cos 360º = cos 70º = cos.080º =... = 0

21 Memorize para a prova: Ciclo Trigonométrico - Quadrantes: Primeiro Quadrante: de 0 a π/ Segundo Quadrante: de π/ a π Terceiro Quadrante: de π a 3π/ Quarto Quadrante: de 3π/ a π Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x positivo Positivo positiva positiva positivo Negativo negativa negativa 3 negativo Negativo positiva positiva 4 negativo Positivo negativa negativa Valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 π/6 = 30º 5π/6 = 50º 3 π/4 = 45º π/3 = 60º 3 π/ = 90º 0 π/3 = 0º 3 3π/4 = 35º π = 80º 0-7π/6 = 0º 3 5π/4 = 5º 4π/3 = 40º 3 3π/ = 70º - 0 5π/3 = 300º 3 7π/4 = 35º π/6 = 330º 3 π = 360º 0 3

22 8.6. Transformações Neste item, veremos as transformações, que são cobradas com muita frequência em provas de concursos Cosseno da Soma Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b Como ficaria o cos a? cos a = cos (a + a) = cos a. cos a sen a. sen a = cos a sen a (I) Como sen a + cos a = sen a = cos a (II) Substituindo (II) em (I): cos a = cos a ( cos a) =. cos a ou Como sen a + cos a = cos a = cos a = sen a (III) Substituindo (III) em (I): cos a = sen a sen a =. sen a Cosseno da Diferença Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a. cos b + sen a. sen b Seno da Soma Seno da soma: sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a Como ficaria o sen a? sen a = sen (a + a) = sen a. cos a + sen a. cos a =. sen a. cos a Seno da Diferença Seno da diferença: sen (a - b) = sen a. cos b - sen b. cos a Curiosidade: A fórmula do seno da soma me faz lembrar um professor meu do antigo segundo grau (é, estou ficando velho), que dizia (para memorizar a fórmula): Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, senoacossenob, seno b cossenoa. E aí, sentiu a sonoridade? Risos.

23 Estes são mais difíceis de aparecer em prova, mas, por via das dúvidas, vamos estudar Tangente da Soma e da Diferença tga+ tgb Tangente da soma: tg (a + b) = tga. tgb Como ficaria a tg a? tga+ tga tg a = tg (a + a) = tga. tga =. tga tg a tga tgb Tangente da diferença: tg (a - b) = + tga. tgb Cotangente da Soma e da Diferença Cotangente da soma: cotg (a + b) = cotga.cot gb cot ga+ cot gb Cotangente da diferença: cotg (a - b) = cotga.cot gb+ cot ga cot gb Memorize para a prova: Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b cos a =. cos a =. sen a Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a. cos b + sen a. sen b Seno da soma: sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen a =. sen a. cos a Seno da diferença: sen (a - b) = sen a. cos b - sen b. cos a tga+ tgb Tangente da soma: tg (a + b) = tga. tgb. tga tg a = tg a tga tgb Tangente da diferença: tg (a - b) = + tga. tgb 3

24 8.7. Lei dos Cossenos De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. Difícil? Vejamos na figura: A c A b a = b + c bc.cos A b = a + c ac.cos B c = a + b ac.cos C B B a C C Memorize para a prova: Lei dos Cossenos: De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. a = b + c bc.cos A b = a + c ac.cos B c = a + b ac.cos C 4

25 8.8. Memorize para a prova Ângulo: é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas na mesma reta. O β B Semi-retas: OA e OB Lados do ângulo: OA e OB. Vértice do ângulo: O Ângulo: Ô ou AÔB ou BÔA ou β Unidade de Medida: º (graus) ou radianos (rd) Ângulos consecutivos: são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou seja, um ângulo está contido em outro. Ângulos adjacentes: são ângulos que possuem um lado em comum, mas não têm pontos internos comuns, ou seja, um ângulo não está contido em outro. A O B C Os ângulos CÔA e CÔB são consecutivos. Os ângulos CÔA e BÔA são consecutivos. Os ângulos CÔB e BÔA são adjacentes. Ângulos Suplementares: a soma de suas medidas é 80º (cento e oitenta graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o suplemento do outro. Ângulos Complementares: a soma de suas medidas é 90º (noventa graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do outro. Ângulo Reto: é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou π radianos). Ângulo Agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º (noventa graus ou π radianos). 5

26 Ângulo Obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º (noventa graus ou π radianos) e menor que 80º (cento e oitenta graus ou π radianos). Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares. Semelhança de Triângulos: dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos internos iguais (ou congruentes) e os lados homólogos proporcionais. Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto (= 90º ou π radianos). Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, em um triângulo retângulo. Catetos Opostos: são os lados opostos aos ângulos que não são retos, em um triângulo retângulo. Catetos Adjacentes: correspondem a um dos lados dos ângulos que não são retos (o outro é hipotenusa), em um triângulo retângulo. Seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela hipotenusa e será representado por sen(x). Cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela hipotenusa e será representado por cos(x). Tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente e será representada por tg(x). A tangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo cosseno de x. Cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto e será representada por cotg(x). A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x. β c a δ θ b 6

27 Considerando o ângulo β, teríamos: CatetoOposto b senβ = = Hipotenusa a CatetoAdjacente c cosβ = = Hipotenusa a CatetoOposto b tgβ = = CatetoAdjacente c b senβ b tgβ= = a = cosβ c c a CatetoAdjacente c cot gβ= = CatetoOposto b c cosβ c cot gβ= = a = senβ b b a cotgβ = tgβ = t gβ cot gβ Considerando o ângulo θ, teríamos: CatetoOposto c senθ = = Hipotenusa a CatetoAdjacente b cosθ = = Hipotenusa a CatetoOposto c tgθ = = CatetoAdjacente b c senθ c tgθ = = a = cosθ b b a CatetoAdjacente b cot gθ = = CatetoOposto c b cosθ b cot gθ = = a = senθ c c a cotgθ = tgθ = t gθ co t gθ 7

28 Relações importantes entre ângulos complementares: sen β = cos θ cos β = sen θ tg β = cotg θ cotg β = tg θ tg β x tg θ = cotg β x cotg θ = Teorema de Pitágoras: a = b + c (I) Relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo x qualquer somado ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a (um). sen x + cos x = Relação entre Cosseno e Tangente: cos β = + tg β Relação entre Seno e Tangente: tg β sen β = + tg β Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 80º 70º 360º Seno Cosseno Tangente Cotangente = infinito Ângulo 0 3 Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º Ângulo Arco Tangente 30º 45º 60º Arco Cotangente 60º 45º 30º

29 Intervalo: - seno x o valor do seno pode variar entre - e. - cosseno x o valor do cosseno pode variar entre - e. - tangente x + o valor da tangente pode variar entre - e +. - cotangente x + o valor da cotangente pode variar entre - e +. Relação entre graus e radianos: 360º (360 graus) = π radianos Para calcular dos demais ângulos (fazer uma regra de três): 360º == π radianos Xº == Y radianos Multiplicando em cruz: 360º x Y = Xº x π Ciclo Trigonométrico B π/ π P P C D O P A 3π/ OA eixo dos cossenos (sentido positivo O -> A) OB eixo dos senos (sentido positivo O -> B) C eixo das tangentes (sentido positivo o mesmo do eixo dos senos) D eixo das cotangentes (sentido positivo o mesmo do eixo dos cossenos) Cosseno P = OP Seno P = OP Q Q 3 Q 4 Q 9

30 Q = Primeiro Quadrante Q = Segundo Quadrante 3Q = Terceiro Quadrante 4Q = Quarto Quadrante Primeiro Quadrante: de 0 a π/ Segundo Quadrante: de π/ a π Terceiro Quadrante: de π a 3π/ Quarto Quadrante: de 3π/ a π Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x positivo positivo positiva positiva positivo negativo negativa negativa 3 negativo negativo positiva positiva 4 negativo positivo negativa negativa Tabela de valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 π/6 = 30º 5π/6 = 50º 3 π/4 = 45º π/3 = 60º 3 π/ = 90º 0 π/3 = 0º 3 3π/4 = 35º π = 80º 0-7π/6 = 0º 3 5π/4 = 5º 4π/3 = 40º 3 3π/ = 70º - 0 5π/3 = 300º 3 7π/4 = 35º

31 π/6 = 330º 3 π = 360º 0 Exemplos: senα = 0 α = 0, π, π, 3π,... = nπ, n inteiro qualquer senα = α = π/, π + π/,... = nπ + π/, n inteiro qualquer senα = - α = 3π/, π + 3π/,... = nπ + 3π/, n inteiro qualquer cos α = 0 α = π/, 3π/, 5π/,... = nπ + π/, n inteiro qualquer cos α = α = 0, π, 4π, 6π,... = nπ, n inteiro qualquer cos α = - α = π, 3π, 5π,... = nπ + π, n inteiro qualquer Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b cos a =. cos a =. sen a Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a. cos b + sen a. sen b Seno da soma: sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen a =. sen a. cos a Seno da diferença: sen (a - b) = sen a. cos b - sen b. cos a tga+ tgb Tangente da soma: tg (a + b) = tga. tgb tga+ tga tg a = tg (a + a) = tga. tga =. tga tg a tga tgb Tangente da diferença: tg (a - b) = + tga. tgb Lei dos Cossenos: De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. a = b + c bc.cos A b = a + c ac.cos B c = a + b ac.cos C 3

32 8.9. Exercícios de Fixação.(AFRFB-009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,65 km c) 0,5 km d),3 km e) km.(atrfb-009-esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento? a) 5 km. b) 4 km. c) 4 km. d) 3 km. e) 5 km. 3.(Analista de Finanças e Controle-CGU-008-Esaf) Sabendo que x= arccos e que igual a: a) 6+ 4 b) 6 4 c) y = arcsen, então o valor da expressão cos(x - y) é d) 3+ e) 3

33 4.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) /7 5.(Analista de Finanças e Controle-STN-005-Esaf) O sistema dado pelas equações x. sena y.cos a= cosa x.cos a+ y. sena= sena possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que a é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) b) c) 4 d) sen π e) cos π 6.(Analista de Finanças e Controle-STN-00-Esaf) A expressão dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é: a) -4 y 8 b) 0 < y 8 c) - y d) 0 y 4 e) 0 y 8 7.(Oficial de Chancelaria-MRE-00-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: a) 6 y - 9 x = 44 b) 6 x - 9 y = 44 c) 6 y + 9 x = 44 d) 6 x + 9 y = 44 e) 9 y - 6 x =

34 8.(Oficial de Chancelaria-MRE-00-Esaf) A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen (x -) e g(x) = x -. Então, (f o g) () é igual a: a) f (-) b) f () c) g (0) d) g () e) f () 9.(Analista de Finanças e Controle-SFC-00-Esaf) A condição necessária e suficiente para a identidade sen α = sen α ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a: a) π/3 b) π/ c) n π sendo n um número inteiro qualquer d) n π/, sendo n um número inteiro qualquer e) n π/3,sendo n um número inteiro qualquer 0.(Analista de Finanças e Controle-STN-000-Esaf) A expressão dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é a) - y 7 b) -7 < y < c) -7 < y - d) y < 7 e) y 7.(AFTN-998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx) + y senx cosx - = 0 representa uma identidade é: a) b) 0 c) - d) - e) 34

35 .(AFTN-998-Esaf) Sejam três retas: a reta R que é a bissetriz do primeiro quadrante; a reta R que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R 3 que é dada pela equação x =. A área, em cm, do triângulo cujos lados coincidem com essas três retas é: a),5 b),5 c) 0,5 d) e) 3.(Analista de Controle Interno-Secretaria de Administração-PE-FGV- 009) Se cos x = /, então cos 6x é igual a: (A) 0. (B). (C) /. (D) 3/ (E). 4.(Inspetor-CVM-008-NCE) Se x é um ângulo do quarto quadrante e seno x = -3/5, então o valor da cotangente de x é: (A) 3/4 (B) -3/4 (C) 4/3 (D) 4/5 (E) -4/3 5.(Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = cos (xπ/6) e V(x) = 3. () /. sen xπ/, 0 x 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é: a) 500 b) 750 c).000 d).000 e)

36 6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-009-FCC) Entre 0 e 70, o ângulo que possui seno igual ao cosseno de 30 é (A) 0 (B) 30 (C) 45 (D) 50 (E) 60 7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo conforme indica a figura. Adotando tg 7 = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada na figura por x, é igual a (A) 8 (B) (C) 3 (D) 6 (E) 9 8.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP- 00-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen 4 x cos 4 x é equivalente a (A) cos x (B) senx (C) cosx (D) cos x + (E) senx 36

37 9.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP- 00-FCC) Tomando como base as informações indicadas nas três figuras abaixo, é correto afirmar que a área sombreada na figura da direita, em cm, é (A) 36(cos α cosα ) (B) 36(cos α cosα ) (C) 36(cos α cosα ) (D) 7(cos α cosα ) (E) 7(cos α cosα ) 0.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-MA-005-FCC) O número de arcos no intervalo π 0, 3 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3 que são soluções para a equação sen x cosx + = 0 é igual a 37

38 .(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-MA-005-FCC) A figura, fora de escala, representa um veículo subindo uma rua inclinada de um ângulo β em relação à horizontal. O comprimento do veículo, em metros, é igual a (A) 3,6 (B) 4,0 (C) 4, (D) 4,5 (E) 5,0.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-MA-005-FCC) O número de vezes que os gráficos das funções y = 3 sen 6 x e y = - 3 cos 3 x se cruzam no intervalo [0, 6π ] é igual a (A) 4 (B) 3 (C) (D) (E)

39 3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-MA-005-FCC) A expressão: onde k é um número inteiro qualquer, é idêntica a: (A) - senx (B) - cosx (C) cosx (D) senx (E) 39

40 8.0. Gabarito. B. A 3. A 4. A 5. A 6. E 7. D 8. E 9. C 0. E. D. E 3. B 4. E 5. C 6. A 7. C 8. D 9. E 0. B. B. D 3. A 40

41 8.. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos.(AFRFB-009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,65 km c) 0,5 km d),3 km e) km Resolução Esta é uma questão de aplicação prática do triângulo retângulo e suas relações. A questão estabelece que a trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta. Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projétil percorreu em 5 segundos: Velocidade Média = 900 km/h, ou seja, o projétil é capaz de percorrer 900 km em hora. Fazendo uma regra de três: 900 km ===== hora = 60 minutos = 60 x 60 = segundos Distância ===== 5 segundos Multiplicando em cruz: Distância x = 900 x 5 Distância = =,5 km Contudo, a trajetória do projétil forma um ângulo de 30º em relação ao plano horizontal. Portanto, temos o triângulo retângulo abaixo, onde a hipotenusa é distância percorrida e a altura do projétil após 5 segundos será um dos catetos:,5 h 30º A questão pede a altura (h) que o projétil estará a 5 segundos do lançamento. 4

42 Das relações trigonométricas, temos: Seno 30º = cateto _ oposto h hipotenusa =,5 (I) Também sabemos, da teoria, que: Seno 30º = (II) h Portanto, temos: =,5 GABARITO: B h =,5 h = 0,65 km.(atrfb-009-esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento? a) 5 km. b) 4 km. c) 4 km. d) 3 km. e) 5 km. Resolução Questão de triângulo retângulo clássico: 3, 4 e 5. 3 km d Teorema de Pitágoras: d = d = = 5 d = 5 km GABARITO: A 3.(Analista de Finanças e Controle-CGU-008-Esaf) Sabendo que x= arccos e que igual a: 4 km y =, então o valor da expressão cos(x - y) é arcsen 4

43 a) 6+ 4 b) 6 4 c) d) 3+ e) Resolução Vamos relembrar algumas relações: Partindo do valor para achar o ângulo (a questão não irá informar estes valores temos que saber para a prova): Partindo do valor para achar o ângulo: Ângulo 0 3 Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º cos x= arc => x= 45 o y= arcsen => y= 30 o cos (x y) = cos (45º - 30º) aqui, temos que utilizar a equação de diferença de ângulos para o cosseno, tendo em vista que não conhecemos o valor de cos 5º, que é 45º - 30º. Relembrando: Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a. cos b + sen a. sen b cos (45º - 30º) = cos 45º. cos 30º + sen 45º. sen 30º => cos(45o 30 o + ) = + = + = GABARITO: A 43

44 4.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) /7 Resolução 3 cos x + sen x = - (I) A questão só fornece uma equação, mas temos que conhecer a equação oriunda do Teorema de Pitágoras (equação fundamental): sen x + cos x = (II) Portanto, temos um sistema: 3 cos x + sen x = - (I) sen x + cos x = (II) De (I), temos: sen x = - 3 cos x (III) Substituindo (III) em (II): (- 3 cos x) + cos x = + 6 cos x + 9 cos x + cos x = 0 cos x + 6 cos x = 0 cos x. (0 cos x + 6) = 0 Nota: Lembra? (a+b) = a + ab + b (- 3 cos x) =(-) +.(-).(-3 cos x) + (-3cos x) = + 6cos x + 9cos x Soluções da equação: cos x. (0 cos x + 6) = 0 cos x = 0 0 cos x + 6 = 0 cos x = - 6/0 = -3/5 Nota: Se A x B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou A e B = 0. Quando cos x = 0 sen x = - 3 cos x = - 3 x 0 =- Quando cos x = -3/5 sen x = - 3. (-3/5) = - + 9/5 = 4/5 Solução : cos x = 0; sen x = - tg x = sen x/cos x = -/0 = - Solução : cos x = -3/5; sen x = 4/5 tg x = sen x/cos x = (4/5)/(-3/5) = -4/3 GABARITO: A 44

45 5.(Analista de Finanças e Controle-STN-005-Esaf) O sistema dado pelas equações x. sena y.cos a= cosa x.cos a+ y. sena= sena possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que a é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) b) c) 4 d) sen π e) cos π Resolução Dica: em questões deste tipo, tente sempre obter os quadrados dos senos e cossenos para tentar substituir pela equação abaixo: sen x + cos x = x.sen a y.cos a = - cos a (I) Elevando (I) ao quadrado: (x.sen a y.cos a) = (- cos a) x. sen a xy sen a.cos a + y.cos a = cos a (I ) x.cos a + y.sen a = sen a Elevando (II) ao quadrado: (x.cos a + y.sen a) = (sen a) x. cos a + xy sen a.cos a + y.sen a = sen a (II ) Somando (I ) com (II ): x. sen a xy sen a.cos a + y.cos a + x. cos a + xy sen a.cos a + + y.sen a = cos a + sen a Repare que xy sen a.cos a vai compensar com + xy sen a.cos a x.(sen a + cos a) + y.(sen a + cos a) = cos a + sen a Lembrando da equação: sen x + cos x = (esta fórmula tem que estar no sangue. Você precisa comer a fórmula com arroz e feijão ), temos: sen a + cos a = cos a + sen a = Logo, a fórmula fica: x + y = (que é a resposta da questão: soma dos quadrados das raízes) GABARITO: A 45

46 6.(Analista de Finanças e Controle-STN-00-Esaf) A expressão dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é: a) -4 y 8 b) 0 < y 8 c) - y d) 0 y 4 e) 0 y 8 Resolução y = 4 (cosseno x) + 4 Sabemos que cosseno x Portanto, calculando y para os limites do intervalo do cosseno, temos: cosseno x = - y = 4 x (-) + 4 = 0 cosseno x = y = 4 x + 4 = 8 Logo, 0 y 8 GABARITO: E 7.(Oficial de Chancelaria-MRE-00-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: a) 6 y - 9 x = 44 b) 6 x - 9 y = 44 c) 6 y + 9 x = 44 d) 6 x + 9 y = 44 e) 9 y - 6 x = 44 Resolução Observe que, nesta questão, novamente, temos que tentar obter: sen x + cos x = x = 3 sen t (I) y = 4 cos t (II) Multiplicando (I) por 4: 4x = sen t (I ) Multiplicando (II) por 3: 3y = cos t (II ) Elevando (I ) ao quadrado: (4x) = ( sen t) 6x = 44 sen t (I ) Elevando (II ) ao quadrado: (3y) = ( cos t) 9y = 44 cos t (II ) 46

47 Somando (I ) com (II ): 6x + 9y = 44 sen t + 44 cos t = 44. (sen t + cos t) Como: sen t + cos t = 6x + 9y = 44 GABARITO: D 8.(Oficial de Chancelaria-MRE-00-Esaf) A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen (x -) e g(x) = x -. Então, (f o g) () é igual a: a) f (-) b) f () c) g (0) d) g () e) f () Resolução Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)] f(x) = sen (x -) g(x) = x Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas pede a função (f o g) (inverteu o f com o g). (f o g) () = f[g()] g() = = f[g()] = sen (g() ) = sen ( ) = sen 0 = 0 Como f[g()] = f(), pois g() =, temos: (f o g) () = f() GABARITO: E 9.(Analista de Finanças e Controle-SFC-00-Esaf) A condição necessária e suficiente para a identidade sen α = sen α ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a: a) π/3 b) π/ c) n π sendo n um número inteiro qualquer d) n π/, sendo n um número inteiro qualquer e) n π/3,sendo n um número inteiro qualquer 47

48 Resolução Relembrando: sen (a + a) = sen a = sen a. cos a + sen a. cos a =. sen a. cos a sen α = sen α sen α.cos α - sen α = 0 senα.(cos α - ) = 0 Logo, temos duas possibilidades: senα = 0 senα = 0 => α = 0, π, π, 3π,... = nπ, n inteiro qualquer ou cos α - = 0 cos α = => α = 0, π, 4π, 6π,... = nπ, n inteiro qualquer Logo, a solução, considerando as duas possibilidades é: nπ sendo n um número inteiro qualquer. GABARITO: C 0.(Analista de Finanças e Controle-STN-000-Esaf) A expressão dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é a) - y 7 b) -7 < y < c) -7 < y - d) y < 7 e) y 7 Resolução y = 3 sen x + 4 Sabemos que seno x Portanto, calculando y para os limites do intervalo do seno, temos: seno x = - y = 3 x (-) + 4 = seno x = y = 3 x + 4 = 7 Logo, y 7 GABARITO: E 48

49 .(AFTN-998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx) + y senx cosx - = 0 representa uma identidade é: a) b) 0 c) - d) - e) Resolução (cos x + sen x) + y sen x cos x - = 0 cos x +.sen x.cos x + sen x + y.sen x.cos x = 0 sen x + cos x +.sen x.cos x + y.sen x.cos x = 0 sen x + cos x + ( + y) sen x.cos x = 0 (I) Sabemos que (temos que saber): sen x + cos x = (II) Substituindo (II) em (I): + ( + y) sen x.cos x = 0 ( + y).sen x.cos x = 0 Para que a identidade seja satisfeita, pelo menos um dos termos deve ser zero (raízes da equação). Logo, temos: I) + y = 0 y = -; II) sen x = 0 x = 0º. Conseqüentemente, cos x = cos 0º = ou III) cos x = 0 x = 90º. Conseqüentemente, sen x = sen 90º = GABARITO: D.(AFTN-998-Esaf) Sejam três retas: a reta R que é a bissetriz do primeiro quadrante; a reta R que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R 3 que é dada pela equação x =. A área, em cm, do triângulo cujos lados coincidem com essas três retas é: a),5 b),5 c) 0,5 d) e) 49

50 Resolução Bissetriz divide o ângulo em dois ângulos iguais. Ciclo Trigonométrico possui raio igual. Exemplo: Cosseno 0º = Y B R divide o primeiro quadrante (90º) em dois ângulos de 45º Q A Q 45º 45º 3 Q 4 Q H X x = (tangente ao ciclo trigonométrico) Q = Primeiro Quadrante Q = Segundo Quadrante 3Q = Terceiro Quadrante 4Q = Quarto Quadrante C R 4 divide o quarto quadrante (90º) em dois ângulos de 45º A questão pede área do triângulo formado pelas retas acima (Triângulo ABC). Repare que a distância AH é igual a (raio do ciclo trigonométrico). Com isso, conseguimos obter os outros lados do triângulo, pois: Lembrando a tabela: Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 80º 70º 360º Seno Cosseno Tangente Cotangente = infinito

51 Considerando o triângulo retângulo ACH (ângulo reto = 90º em H): Tangente 45º = cateto _ oposto CH CH = = = CH = cateto _ adjacente AH Considerando o triângulo retângulo ABH (ângulo reto = 90º em H): Tangente 45º = cateto _ oposto BH BH = = = BH = cateto _ adjacente AH Área do Triângulo ABC = (Base x Altura)/ Podemos considerar como base o lado BC e a altura seria AH: BC = BH + CH = + = AH = (raio do ciclo trigonométrico) Área do Triângulo ABC = x / = cm GABARITO: E Vou colocar mais três questões de outras bancas, que achei interessantes: 3.(Analista de Controle Interno-Secretaria de Administração-PE-FGV- 009) Se cos x = /, então cos 6x é igual a: (A) 0. (B). (C) /. (D) 3/ (E). Resolução Cos x = -/ x = 0º Tabela de valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 π/6 = 30º 3 π/4 = 45º π/3 = 60º 3 π/ = 90º 0 π/3 = 0º 3 5

52 3π/4 = 35º 5π/6 = 50º π = 80º 0-7π/6 = 0º 3 5π/4 = 5º 4π/3 = 40º 3 3π/ = 70º - 0 5π/3 = 300º 3 7π/4 = 35º π/6 = 330º 3 π = 360º x = 6. 0º = 70º. Como o ciclo trigonométrico possui 360º, a partir daí os valores começam a se repetir. Portanto: cos (70º) = cos (.360º) = cos (360º) = GABARITO: B 4.(Inspetor-CVM-008-NCE) Se x é um ângulo do quarto quadrante e seno x = -3/5, então o valor da cotangente de x é: (A) 3/4 (B) -3/4 (C) 4/3 (D) 4/5 (E) -4/3 Resolução x é um ângulo do quarto quadrante no quarto quadrante, seno x é negativo e cosseno x é positivo, lembra? Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x positivo positivo positiva positiva positivo negativo negativa negativa 3 negativo negativo positiva positiva 4 negativo positivo negativa negativa 5

53 sen x = -3/5 Sabemos que: cos x + sen x = cos x = sen x = (-3/5) cos x = 9/5 = 6/5 cos x (positivo) = 4/5 cotangente x = cos x/sen x = (4/5)/(-3/5) = -4/3 GABARITO: E 5.(Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = cos (xπ/6) e V(x) = 3. () /. sen xπ/, 0 x 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é: a) 500 b) 750 c).000 d).000 e) Resolução x = 3 C(3) = = cos (3π/6) = cos (π/) = 0 = (em milhares de reais) V(3) = 3. () /. sen (3π/) = 3. () /. sen (π/4) = 3. () /. () / / V(3) = 3 (em milhares de reais) Lucro (em reais) = [V(3) C(3)]..000 = (3 )..000 =.000 GABARITO: C 6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-009-FCC) Entre 0 e 70, o ângulo que possui seno igual ao cosseno de 30 é (A) 0 (B) 30 (C) 45 (D) 50 (E)

54 Resolução Pela nossa tabela de valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 π/6 = 30º 5π/6 = 50º 3 π/4 = 45º π/3 = 60º 3 π/ = 90º 0 π/3 = 0º 3 3π/4 = 35º π = 80º 0-7π/6 = 0º 3 5π/4 = 5º 4π/3 = 40º 3 3π/ = 70º - 0 5π/3 = 300º 3 7π/4 = 35º π/6 = 330º 3 π = 360º 0 Portanto, o cosseno de 30º é igual ao seno de 0º. GABARITO: A

55 7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo conforme indica a figura. Adotando tg 7 = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada na figura por x, é igual a (A) 8 (B) (C) 3 (D) 6 (E) 9 Resolução Repare que temos os seguintes triângulos retângulos: o menor, que possui o ângulo y, e o maior, que possui o ângulo x + y. 6 x y 6 Repare que, se fôssemos calcular a tangente de y, no triângulo menor, teríamos: tg y = cateto _ oposto 6 cateto _ adjacente = = 0,5 55

56 É dado da questão, por não ser um ângulo conhecido, que tg 7 = 0,5. Portanto, temos que y é igual a 7º. No triângulo maior, temos: tg (x + y) = cateto _ oposto cateto _ adjacente = = = Este ângulo, temos que saber. Da nossa tabela, tg 45º =. Portanto, temos: x + y = 45º x + 7º = 45º x = 45º - 7º x = 3º GABARITO: C 8.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP- 00-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen 4 x cos 4 x é equivalente a (A) cos x (B) senx (C) cosx (D) cos x + (E) senx Resolução Temos que lembrar da nossa aula de equações. Sabemos que: a b = (a + b).(a b) Se consideramos que: a = sen x b = cos x a b = (sen x) (cos x) = sen 4 x cos 4 x Repare que é justamente a equação que queremos calcular. Utilizando a relação aprendida na aula de equações: (sen x) (cos x) = (sen x + cos x).(sen x cos x) Sabemos que: sen x + cos x = (relação fundamental). Portanto: sen 4 x cos 4 x = (sen x) (cos x) =.(sen x cos x) sen 4 x cos 4 x = sen x cos x (I) Ainda não temos resposta nas alternativas, mas, utilizando novamente a equação fundamental: sen x + cos x = sen x = cos x (II) 56

57 Substituindo (II) em (I): sen 4 x cos 4 x = sen x cos x sen 4 x cos 4 x = cos x cos x sen 4 x cos 4 x = cos x = cos x + GABARITO: D 9.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP- 00-FCC) Tomando como base as informações indicadas nas três figuras abaixo, é correto afirmar que a área sombreada na figura da direita, em cm, é (A) 36(cos α cosα ) (B) 36(cos α cosα ) (C) 36(cos α cosα ) (D) 7(cos α cosα ) (E) 7(cos α cosα ) Resolução Lei dos Cossenos: De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. a = b + c bc.cos A b = a + c ac.cos B c = a + b ac.cos C Se aplicarmos a Lei dos Cossenos aos dois triângulos da questão: x = x 6 x 6 x cos α x = cos α x = 7 7 cos α x = 7.( cos α ) y = x 6 x 6 x cos α x = cos α y = 7 7 cos α y = 7.( cos α ) 57

58 A questão pede a área sombreada: Ainda vamos estudar na aula de geometria, mas a área de um quadrado é igual ao seu lado ao quadrado. Portanto, teremos: Área do Quadrado de Lado x = x Área do Quadrado de Lado y = y A área sombreada será justamente a área do quadrado de lado y menos a área do quadrado de lado x. Portanto: Área Sombreada = Área do Quadrado de Lado x - Área do Quadrado de Lado y Área Sombreada = y x Como já conhecemos os valores de x e y: x = 7.( cos α ) y = 7.( cos α ) Área Sombreada = y x = 7.( cos α ) 7.( cos α ) Repare que (-)7 x (-) cos α = + 7. cos α Área Sombreada = 7 7.cos α cos α Área Sombreada = 7.cos α + 7. cos α Área Sombreada = 7.(cos α cos α ) (I) E aí? Ainda não temos resposta. Mas, sabemos da teoria, que: cos x =.cos x Portanto: cos α =.cos α (II) Substituindo (II) em (I): Área Sombreada = 7.(cos α cos α ) Área Sombreada = 7.(.cos α cos α ) Área Sombreada = 7.(.cos α cos α ) GABARITO: E 58