As funções Trigonométricas

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1 Funções Periódicas Uma função diz-se periódica se se repete ao longo da variável independente com um determinado período constante. Quando se observam fenômenos que se repetem periodicamente, como temperatura média diária ao longo de um mês, ordenação das folhas em uma planta etc., estes podem ser modelados pro funções trigonométricas.

2 As funções Trigonométricas Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Ângulo É a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, dividindo este plano em duas partes. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante deste e é medida, no SI, em radianos. Radiano O ângulo definido no centro de um círculo por um arco de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do círculo é 1 radiano. O radiano é útil para distinguir entre quantidades de diferentes naturezas, mas com a mesma dimensão.

3 Radiano Por exemplo, velocidade angular pode ser medida em radianos por segundo (rad/s). Fixando a palavra radiano enfatiza-se o fato de a velocidade angular ser igual a 2 vezes a frequência rotacional. Radiano Ângulos medidos em radianos são frequentemente apresentados sem qualquer unidade explícita. Quando, porém, uma unidade é apresentada, usualmente se usa o símbolo rad.

4 Radiano Existem 2 (aproximadamente ) radianos num círculo completo, portanto: 2 rad = 360º 1rad = 360º 2 = 180º = 57, º Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais. Circulo trigonométrico Circulo Trigonométrico Fundamental: Raio=1 Ângulos em Radianos / 2 1 Eixo dos senos -1 1 Eixo dos cossenos 0 rad / 2

5 Seno O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a, define-se sen como sendo a proporção entre o cateto oposto a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja: sen = cateto oposto hipotenusa Seno

6 coseno O co-seno (usam-se ainda as formas coseno e cosseno) é uma função trigonométrica.dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a, define-se cos( ) como sendo a proporção entre o cateto adjacente a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja: cos = cateto adjacente hipotenusa Coseno

7 Seno x Coseno Elementos de funções Seno x Coseno Amplitude: é a metade da distância entre os valores de máximo e mínimo. Período: é o tempo necessário para a oscilação evoluir um ciclo completo.

8 Seno x coseno De acordo com os gráficos, tanto as funções seno quanto coseno tem amplitude 1, pois -> 1-(-1)/2 = 1 O período de ambas as funções é 2 que é o tempo necessário em radianos para a função completar um ciclo Seno x coseno Note ainda que as duas tem fases deslocadas (uma em relação a outra)de /2... ou seja: cos x = sen(x + 2 ) sen x= - cos(x+ 2 )

9 exercício A partir das duas funções a seguir, encontre a amplitude, o período e esboce o gráfico: a) 3 sen 2t b) -5 cos x 2 Resolução a) como no maximo o valor que um seno pode assumir é 1 a amplitude vai ser dada pelo valor que está multiplicando o seno, neste caso a amplitude da função é 3 O periodo é calculado se fazendo a substituição pelo periodo normal de um seno que é 2, assim: 2t=2 t= 2 2 =

10 Resolução Resolução b)usando o mesmo raciocinio a amplitude nesse caso é 5, o sinal negativo só indica que a onda inicia com valor negativo( começa em -5) o periodo: x = 2..x = 2*2 = 4 2

11 Resolução Exercício 2 Com base nos gráficos ache as funções originais...

12 Exercício 2 Com base nos gráficos ache as funções originais... Tangente Em trigonometria, é uma função trigonométrica. Define-se tan( ), como sendo a proporção entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a em um triângulo retângulo

13 Tangente tg x= Cateto oposto Cateto adjacente = senx cos x Os valores de tangentes mais usados na resolução de problemas são as tangentes dos ângulos: tg 30º= 3 3 tg 45º= 1 tg 60º = 3 Tangente O período de uma tangente sempre é igual a, pois o gráfico sempre se repete após unidades. Quanto a amplitude, no caso da tangente não faz sentido se trabalhar com a amplitude uma vez que ela se torna infinitamente grande quando se aproxima da assíntota vertical.

14 Tangente Funções Trigonométrica A partir das 3 funções trigonométricas já introduzidas, podemos definir três outras funções trigonométricas : a secante, a co-secante e a co-tangente, dadas respectivamente por: sec x = 1 cos x 1 cosec x = senx 1 cotg x= tg x

15 Funções Inversas Em matemática, as funções trigonométricas inversas são as inversas das funções trigonométricas. Algumas vezes são chamadas de função de arco, pois retornam o arco correspondente a certa função trigonométrica exemplo de funções inversas Sabendo-se que sen = 1 2 e que sen =0.4695, encontre os valores de e. calculadora!!!

16 Identidades trigonométrica cateto oposto sen(- )= - hipotenusa = sen cateto adjacente cos(- )= = cos hipotenusa Identidades trigonométrica Através do teorema de pitagoras podemos chegar a: sen( )= sen 1.cos 2 + cos 1.sen 2 cos( ) = cos 1. cos 2 sen 1. sen 2 sen( 1-2 )= sen 1.cos 2 cos 1.sen 2 cos( 1 2 ) = cos 1. cos 2 + sen 1. sen 2 Chamamos esse conjuntos de identidades de lei dos senos.

17 exercício Dado que sen ( /12)=0.258 e que cos( /5)=0.809, calcule sem usar a calculadora os seguintes valores: a) sen(11 /12) b) cos(- /5) c) sen(13 /12) a)sen( ) sen( Exercício ) = sen( - 12 ) sen( - )=sen.cos - cos. sen sen( - )= 0.cos sen( ) = sen( 12 ) = sen, logo... 12

18 Exercício b)cos( 5 ) cos( 5 ) = cos( 5 ) = c)sen( ) = sen( + 12 ) sen( + )=sen.cos + cos. sen sen( + )= 0.cos + 1. sen, logo sen( ) = sen( 12 ) = Exercício Defina a amplitude e o período de cada uma das funções, em seguida esboce os gráficos. a)ƒ(t)=2 sen t b) g(x)= -5 sen 2x c) h(x) = 3 cos x 5 d) f (x) = 1 2 cos x 3 e)h(x) = 3cosx f )g(t) = 5 sen2t g) f (x) = 1 + 3cos2t h)h(y) = 3cos2y

19 Exercício-Resolução 2 exercícios resolvidos e comentados, o resto fica para o aluno resolver. b) g(x)= -5 sen 2x Amplitude : o valor maximo que qualquer seno pode valer é 1, se substituir-mos 1 na equação ficamos com g(x)= -5 sen 2x=-5*1=-5, como a amplitude deve ser obtida como modulo retiramos o sinal ficando com... [1]amplitude = 5 Exercício-Resolução No caso do período da função analizamos somente o seno... sen 2x, se fosse um seno de x o periodo seria 2, para calcular o periodo de seno de 2x igualamos o 2x com x e depois substituimos x por 2, isso vale pra qualquer variavel ( x, y, t etc..) logo: 2x=x... 2x=2...x= x = logo o periodo da função sen2x é igual a [2]Período =

20 Exercício-Resolução Com esses valores é só desenha um seno normal, porém como a equação é g(x)= -5 sen 2x devemos observar que o sinal negativo no -5 faz com que o seno comun seja invertido. Quanto ao periodo, no final do seno ao invés de colocar 2 colocamos o novo perido calculado igual a, confira o grafico, foram plotados duas funçoes 5 sen2x (verde) e -5sex2x( vermelha) para que o aluno entenda as implicações do sinal negativo na função Exercício-Resolução g) f (x) = 1 + 3cos2t Amplitude : o valor maximo que qualquer cosseno pode valer é 1, se substituir-mos 1 na equação ficamos com g(x)= 1+3 cos 2t =1+3*1= 4 [1]amplitude = 4

21 Exercício-Resolução No caso do período da função analizamos somente o cosseno... cos 2t, se fosse um cosseno de t o periodo seria 2, para calcular o periodo do cosseno de 2t igualamos o 2t com t e depois substituimos t por 2, isso vale pra qualquer variavel ( x, y, t etc..) logo: 2t=t... 2t=2...t= t = logo o periodo da função cos2t é igual a [2]Período = Exercício-Resolução Grafico: Para fazer o grafico temos que analisar a equação inteira g(t)=1+3cos2t primeiramente desenhamos o grafico de 3.cos 2t, e depois fazemos os ajustes o periodo deve valer e a amplitude deve valer inicialmente 3, o grafico ficaria da seguinte maneira.

22 Exercício-Resolução Grafico: Como o grafico da função é g(t)=1+3cos2t o que vai acontecer com o grafico inicial é deslocar o grafico inteiro uma unidade pra cima por que para cada valor da curva 3cos2t uma unidade será somada.. o grafico final está em vermelho e o original está em azul, tudo para destacar o que acontece quando se soma um valor a uma função trigonométrica Referencias [1] R. S. Ferreira, Matemática Aplicada às Ciências Agrárias - Análise de Dados e Modelos, 1º ed. Viçosa: Editora UFV, [2] F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo: Editora Saraiva, Esta apresentação está com os direitos reservados segundo a licença : Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 License. Mais detalhes da licença no endereço 44