Funções polinomiais, racionais e trigonométricas

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1 Aula 04 FUNÇÕES (continuação) UFPA, 5 de março de 05 Funções polinomiais, racionais e trigonométricas No inal desta aula, você seja capaz de: Dizer o domínio das unções polinomiais, racionais e trigonométricas; Fazer o esboço de gráico da unção atribuindo alguns valores para x. Reconhecer, através do gráico, a unção que ele representa. Obter novas unções a partir das unções conhecidas: deslocamento vertical e horizontal, relexões e expansões horizontais e verticais além das operações para obter a soma (dierença), o produto, o quociente e a composição. Caro aluno, Esta aula é a continuação das Aulas e 3 para completar o estudo das unções consideradas básicas (elementares, essenciais e transcendentais). Nesta Aula 4 estudaremos as unções polinomiais, as racionais e trigonométricas com respectivos domínio e imagem. A partir dessas unções podemos obter outras unções combinando-as, deslocando-as, somando-as, multiplicando-as ou compondo-as. Qualquer nova unção que apareça, lembre dessas cinco unções básicas: potências, exponenciais, logarítmicas, seno e cosseno que vão lhe auxiliar para entender o comportamento das mesmas. Não esqueça de consultar também, outro livro de Cálculo I. Encontrando erros, avor me comunique. Bons estudos. 44

2 NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE CONHECIDAS (pág. 34 do livro texto) Transormações de unções: Deslocamentos verticais e horizontais. Dada uma unção Para obter o gráico de y y y y x c, desloque o gráico de x x c, desloque o gráico de x x c, desloque o gráico de x x c, desloque o gráico de x y em c unidades para cima; y em c unidades para baixo; y em c unidades para a esquerda; y em c unidades para a direita. x y e seja c 0. Graicamente a partir de gráico de uma unção x y : Figura 8. Gráicos do deslocamento vertical e horizontal do gráico de e c>0. 45

3 Relexões e expansões horizontais e verticais. (pág. 35 do livro texto) Dada uma unção, seja c, para obter o gráico de y c x, expanda o gráico de x y c x, comprima o gráico de x y cx, comprima o gráico de x y verticalmente por um ator de c; x y, expanda horizontalmente de um ator de c; c y y x, relita o gráico de x x, relita o gráico de x y verticalmente por um ator de c; y horizontalmente de um ator de c; y em torno do eixo dos x; y em torno do eixo dos y. Graicamente: Figura 9. Exemplos de expansões e relexões do gráico de. 46

4 Funções polinomiais (pág. 6 do livro texto) Uma unção obtida por meio da combinação linear de unções potências é chamada polinômio se: n n n n x a x a x a x a x a x a, a 0 p (36) o n n n o onde n é um inteiro não negativo chamando grau do polinômio e os números são as constantes reais chamadas coeicientes do polinômio. Combinação linear. Conhecidas duas ou mais unções dizemos que uma dada unção é combinação linear das unções conhecidas, se existirem constantes a, o, a, a, an não todas nulas tais que esta unção e a soma do produto das unções conhecidas por essas constantes. É ácil de observar que (36) é uma combinação linear das unções potências. Para seu conhecimento: Teorema Fundamental da Álgebra. Todo polinômio de grau n de coeicientes complexas possui n-soluções não necessariamente distintas. Em outras palavras, um polinômio de grau n de coeicientes reais, a equação de grau n tem n-raízes não necessariamente distintos (isto é: todas n raízes podem ser iguais reais ou iguais complexas, se não orem iguais, algumas raízes são reais e distintos e outras são raízes complexas). P 5 5 é mostrado a igura 0. Exemplo. O gráico do polinômio x x x x Figura 0. Gráico do polinômio P x x x x 9 47

5 Este polinômio é a combinação linear de duas unções potências 5 x e x, da unção identidade x, com coeicientes a o 0, a 0, a 0, a, a, a 9 de modo que domínio deste polinômio é D p imagem é também todos os reais portanto 5 R E p. Como expoente n 5 é ímpar, o conjunto 5 R (notas de Aula pág.3). Apesar do polinômio de grau 5 existe apenas um zero, ou seja o polinômio corta o eixo dos x apenas uma vez. Pelo teorema acima como é polinômio de grau 5, existem 5 raízes. Neste exemplo apenas uma raiz é real (onde imagem nesse ponto é nula) e outras 4 raízes são raízes imaginárias. O estudo detalhado para traçar o gráico veremos depois da derivada e achar os zeros não az parte o conteúdo de Cálculo I. Exemplo. Polinômio de grau P x mx b é a unção linear mais conhecida por unção aim (Aula pág. 9) que é soma de unção identidade expandida por um ator constante m com e unção constante b, cujo gráico é uma reta, apresentada na página 8 da Aula. Exemplo 3. Polinômio de grau ou unção quadrática. O gráico é já conhecida parábola: x ax bx c, a 0 P. É soma de unção potência n com a unção identidade expandida verticalmente por ator m mais a unção constante c. Conorme visto na Aula temos imagem dependendo dos valores D p R e sua a, b e de c. Se a 0 o gráico está com concavidade para cima. Se a 0 o gráico está com concavidade para baixo. Além disso se c 0 a curva toca o eixo dos x. Veja os gráicos a igura dos polinômios de segundo grau p x x x e x 3x 9x 3 P. Figura. Gráicos dos polinômios p x x x e x 3x 9x 3 p. 48

6 O gráico de x x x 6 x e p na cor azul, corta o eixo dos x em dois pontos 6 x que são os zeros do polinômio ou, raízes da equação x x 0. O segundo polinômio não tem zero por que a equação 3x 9x 3 0 têm raízes imaginárias. Caso de polinômio de º grau para encontrar os zeros do polinômio basta resolver a equação do segundo grau usando a órmula de Bhaskara. Para o grau n você pode encontrar os zeros usando método algébrico ou método numérico. Independentemente se saber ou não os zeros da unção, para azer o esboço do gráico, com o estudo da derivada que estudaremos na Aula 9, você terá uma ideia da localização dos zeros. Funções Racionais (pág. 9) Uma unção é dita unção racional, quando a unção quociente é ormada pelas unções polinomiais x p x e gx q x palavras, a unção racional é razão de pois polinômios. Quando n x x x onde m e n são inteiros positivos. Em outras m pn, qmx 0 (37) q m n m temos unção constante. Se n m então a unção é dita unção racional imprópria, caso contrário a unção racional é dita unção racional própria. 4 x x é unção racional imprópria. O x D xr/ x,,,. As retas verticais x são Exemplo 3. A unção x, x domínio é chamadas assíntotas. A imagem é o conjunto E y R / y ou 3 y, 3,. 49

7 Figura. Gráico da unção racional do exemplo 3. 4 x x Exemplo 4. A unção x é unção racional imprópria. Como o x denominador x 0, x R R,. A imagem é o conjunto E 0,4643,. D o domínio é Figura 3 Gráico da unção racional do exemplo 4. A única dierença existente entre as unções nos exemplos 3 e 4 é a expressão do denominador que oi apenas a troca de sinal, porém as duas unções tem comportamento totalmente dierente. 50

8 x é unção racional própria. O domínio é x x D x R / x,,. A reta vertical x é a assíntota. A imagem é o Exemplo 5. A unção x, x E y R / y 0,0 0, R. conjunto * Exemplo 6. A unção x 0, x R Figura 4. Gráico da unção racional do exemplo 5. x é unção racional própria. Como o denominador é x o domínio é D R,. A imagem é o conjunto 0, E. Não se preocupe se você não consegue encontrar conjunto imagem. Quando estudarmos as derivadas você terá condições para isso. Figura 5. Gráico da unção racional do exemplo 6. 5

9 Funções trigonométricas Para entender as unções trigonométricas, aremos uma revisão da trigonométrica. Círculo trigonométrico de raio r 0. Uma circunerência centrada na origem do sistema cartesiano de raio r 0 é mostrada P x, y da circunerência satisazem a equação: na igura 6. Os pontos x y r (38) Figura 6. Círculo trigonométrico centrado na origem de raio r 0. O ponto x y P, da circunerência percorre no sentido anti-horário (sentido trigonométrico). A circunerência é o contorno (ronteira) de um círculo. A equação do círculo é dada por: x y r (39) Existem autores que usa o nome círculo para indicar uma circunerência. Aqui a circunerência é medida em comprimento e o círculo em área. Origem do número irracional (lê pi ) Dado um comprimento r (chamado raio), ixando uma das extremidades e se você pegar a outra extremidade e percorrer até azendo uma volta, é possível medir quanto você deslocou (perímetro da circunerência). A distância deslocada é o comprimento da circunerência denotado por C. A relação (razão) entre o comprimento C e o dobro do r chamado diâmetro ( d r), descobriu-se que a razão entre o comprimento e o diâmetro correspondente é a mesma para qualquer raio, isto é vale: 5

10 C r 3 4 n 3,45965, C r C r 3 C r 4 C r n n N O raio r da circunerência ou do círculo (aqui não az conusão pois tanto círculo como circunerência tem raio que deine o seu tamanho) orma um ângulo com o eixo dos x y r cos e sobre o eixo dos y é x. A projeção do ponto P, sobre o eixo dos x é igual a rsen. E escrevemos: x r cos y rsen O ângulo medido em radianos, quando o ponto da circunerência x y * (40) P, estiver no eixo dos x do lado direito (ou sentido positivo) o ângulo mede 0 rad. Se, o ponto P x, y estiver no eixo dos y acima, orma ângulo de 90º e, em radianos é rad. Quando o ponto x y P, estiver no eixo dos x do lado esquerdo (ou sentido negativo) o ângulo mede 80º ou em radianos vale rad. Finalmente, se o ponto P x, y estiver no 3 eixo dos y inerior, o ângulo mede 70º que em radianos é rad. ponto x y O sentido positivo do ângulo é anti-horário (conhecido por sentido trigonométrico). O P, pode percorrer sobe a circunerência em qualquer sentido (trigonométrico ou horário) quantas voltas izer necessário, de modo que o ângulo assume valores entre mantendo o mesmo raio r 0. OBSERVAÇÃO. Para o ponto x y P, da circunerência está sempre associado o seno e o cosseno simultaneamente, independentemente da posição (ângulo) do ponto sobre a circunerência. Estudaremos a seguir as unções trigonométricas, baseado no círculo trigonométrico de raio r, onde o ângulo será a variável independente x e sua imagem cada uma das unções deinidas abaixo: Função seno Função cosseno x x sen (4) x x cos (4) 53

11 Tanto a unção seno como unção cosseno tem mesmo domínio e mesma imagem. Como o ponto P x, y onde x y pode azer quantas voltas or necessário no sentido trigonométrico (anti-horário) ou no sentido horário (anti-trigonométrico) o x, y portanto: x R e D D R, (43) seno cosseno e y R/ y, E seno Ecosseno. (44) Na igura 7 na cor azul a unção seno e na cor vermelha a unção cosseno. Observe são ondas que sobe e desce eternamente de a. São também conhecidas por unções harmônicas. Figura 7 Gráico da unção seno e de cosseno. As unções seno e cosseno são inseparáveis, além de terem mesmo domínio e imagem, no gráico, a dierença entra elas no eixo dos x é somente de dierença de ase. Uma volta eita pelo ponto x y rad. Esta dierença é dita P, quando trabalhamos com a variável espacial x chamamos de comprimento de onda e quando a variável or tempo t é conhecido com o nome de período das unções seno e cosseno. Como uma volta corresponde a o período ou comprimento de onda é rad. rad, 54

12 Propriedades das unções seno e cosseno: Para qualquer x R e qualquer inteiro n, vale : sen x n senx; cosx n cosx cos x sen x ou cos x sen x ; é a dierença dease entre duas ondas sen n 0; cosn n sen n n ; cos n 0 sen x senx unção ímpar; cos x cosx unção par IDENTIDADE TRIGONOMÉTRICA sen x cos x A partir das unções seno e cossenos temos as seguintes unções: Função secante x secx (45) cos Sendo unção secante inversa da unção cosseno. No domínio da unção secante devemos excluir os valores de x onde cos 0 x x portanto, o domínio e a imagem da unção secante é: e D sec x R / x n, n Z R n, n Z (46),, E R, (47) sec Função cossecante. De maneira análoga, para unção seno a sua inversa é chamada unção cossecante dada por: x cosec x (48) sen x 55

13 Temos para essa unção: e D cosec x R / x n, nz R n nz, (49),, E R, (50) cosec Veja os gráicos das unções secante e cossecante na igura Figura 8 Gráico da unção secante e de cossecante. Retas verticais pontilhadas são as assíntotas das unções secante e cossecante. Temos ainda: Função tangente deinida por: x x x sen tgx. (5) cos D tg x R / x n, nz R n, nz e Função cotangente deinida por: x x x Etg R (5) cos cotg x (53) sen 56

14 D cotg x R/ x n, nz R n nz, e Ecot g R (54) Veja na igura 9 o gráico das unções tangente e cotangente. Figura 9 Gráico da unção tangente e de cotangente. As retas pontilhadas são as assíntotas verticais das unções tangente e cotangente. x Veja os gráicos das unções expandidas da unção sen, senx e senx mostradas na igura 30. sen x: são gráicos de x sen, Figura 30. Função seno com os expansões horizontais e verticais. 57