Fig.6.1: Representação de um ângulo α.
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- Elias Cavalheiro Sanches
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1 6. Trigonometria 6.1. Conceitos Iniciais A palavra trigonometria vem do grego [trigōnon = "triângulo", metron "medida"], ou seja, está relacionada com as medidas de um triângulo, sendo estas medidas de ângulo e comprimento. A partir da definição dos conceitos básicos de trigonometria, arcos e ângulos, podemos utilizar as propriedades do triângulo retângulo e diversas relações úteis para a resolução de problemas matemáticos poderão ser encontradas. Além disso, a partir dos conceitos compreendidos no triângulo retângulos, a trigonometria pode abordar conhecimentos para outras figuras e áreas da matemática, como no estudo da circunferência, da elipse e das funções periódicas Ângulos e Arcos Em trigonometria, é de fundamental importância a definição de ângulos e arcos. Um ângulo α é a abertura entre duas retas R 1 e R que possuem um ponto P em comum (vértice do ângulo). Pode ser entendido também como a inclinação entre duas retas. Esta ideia está ilustrada na Fig Fig.6.1: Representação de um ângulo α. Adicionalmente, pode-se observar a magnitude de um ângulo α como sendo a quantidade de rotação que separa R 1 da R. Para se descrever a magnitude de um ângulo, deve-se primeiramente estabelecer uma unidade de medida, sendo as mais comuns o grau e o radiano. Mais adiante serão explicadas as diferenças entre estes modelos de medição. Um ângulo α determina um arco (L) de uma circunferência, como se observa na Fig.6.. Esse comprimento de arco está relacionado, juntamente com o ângulo (α), ao Raio (R); o que é explicitado na Eq.6.1: = L R Eq. (6.1)
2 Fig.6.: Circunferência de raio R e comprimento de arco L Unidades de Ângulos Grau Ao dividir uma circunferência em 360 arcos iguais o que é representado na Fig.6.3 ; sendo C o comprimento da circunferência, e L comprimento do arco formado, o ângulo que determina um destes arcos corresponde a 1. Fig.6.3: Representação do ângulo que mede 1. Onde, L = C 360 Existe ainda uma unidade de medida de ângulos chamada de grado (ou gradiano) onde a circunferência é dividida em 400 arcos iguais, ao invés de 360. No entanto esta unidade não é comumente usada no Brasil. Radiano O radiano é o ângulo que determina um arco com comprimento igual ao raio da circunferência, tal qual é explicitado na Fig.6.4. Fig.6.4: Representação do ângulo que mede 1 rad. Onde L = R 3
3 Tipos de Ângulos Alguns tipos de ângulos são muito usados, entre eles, o ângulo reto (90 ), ângulo raso ou de meia-volta (180 ), ângulo agudo (maior que 0 e menor que 90 ), ângulo obtuso (maior que 90 e menor que 180 ) e ângulo de uma volta (360 ). Os quais estão representados na Fig.6.5: Fig.6.5: Ângulos de comum uso: (a) ângulo reto, (b) ângulo raso, (c) ângulo agudo, (d) ângulo obtuso e (e) ângulo de uma volta. (a) (b) (c) (d) (e) Duas retas que formam um ângulo reto entre si são chamadas de perpendiculares ou ortogonais. Por exemplo, o plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares, como mostra a fig
4 Fig.6.6: Representação de um Plano Cartesiano Triângulo Retângulo Um triângulo que possui um ângulo reto (90 ) chama-se triângulo retângulo. O maior lado a de um triângulo retângulo é chamado de hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); e os outros dois lados b e c são chamados de catetos (Ver Fig.6.7). Fig.6.7: Triângulo Retângulo. Teorema de Pitágoras Para todo triângulo retângulo tem-se que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, o que pode ser explicitado pela Eq.6.: a = b + c (Eq. 6.) Observe no exemplo o triângulo pitagórico, onde a soma da quantidade de quadrados formados pelos catetos é igual ao número de quadrados formados pela hipotenusa. Relações Trigonométricas Pode-se obter relações trigonométricas (da Eq.6.3 à Eq.6.8) em um triângulo retângulo ABC: 5
5 sen θ = CO HI = a h cos θ = CA HI = b h tan θ = CO CA = a b cotg θ = 1 tgθ = b a cossec θ = 1 senθ = h a sec θ = 1 cosθ = a b Onde, em relação ao ângulo θ: CO = Cateto oposto; CA = Cateto adjacente; HI = Hipotenusa (6.1) (6.) (6.3) (6.4) (6.5) (6.6) Lei dos Cossenos Para um triângulo qualquer podemos escrever a Lei dos Cossenos como na Eq.6.9. a = b + c. b. c. cos(α) (6.7) Fig.6.8: Exemplos de Triângulos onde pode ser aplicada a Lei dos Cossenos. Lei dos Senos Considerando o triângulo ABC, CH será a altura relativa ao lado AB, como mostrado na Fig.5.9: Fig.6.9: Distância entre CH em um Triângulo ABC. Relações obtidas no triângulo ABC: sen A = h b h = b sen A (6.8) 6
6 sen B = h a h = a sen B (6.9) b sen A = a sen B (6.10) a sen A = b cos B Assim, pode-se concluir que: (6.11) a sen A = b sen B = c sen C A Eq.6.14 é conhecida como Lei dos Senos ou Teorema dos Senos. 6.. Círculo Trigonométrico 6..1 Definição (6.1) O círculo trigonométrico (ou ciclo trigonométrico) é a circunferência que possui raio unitário e cujo centro coincide com a origem do plano cartesiano. Ele é dividido em quatro quadrantes, os quais são limitados por um intervalo de ângulos de 90º, ou π rad. Além disso, ele também pode ser representado em graus ou radiano, assim como mostra a Fig I Quadrante [0, π ] ; II Quadrante [ π, π]; III Quadrante [π, 3 π ] ; IV Quadrante [ 3π, π]. Fig.6.10: Círculo trigonométrico: (a) em radianos e (b) em graus. (a) 7
7 (b) Nota-se que o Sentido Positivo do Círculo Trigonométrico, ou seja, o sentido em que o ângulo aumenta a partir de 0, é dado a partir do Sentido Anti-horário, enquanto que o Sentido Negativo é dado a partir do Sentido Horário. Além disso, é possível calcular o Comprimento da Circunferência C a partir da seguinte equação Eq C =. π. R (6.13) 6.. Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico Conhecidas as razões trigonométricas básicas no triângulo retângulo, será possível expandir esse conhecimento para o círculo trigonométrico, a fim de se determinar o seno, o cosseno e a tangente de outros arcos importantes. Para todo ângulo α contido no primeiro quadrante, tem-se um ângulo correspondente nos demais quadrantes, de forma que os valores de seno, cosseno e tangente de α são iguais em módulo nos seus correspondentes, podendo alterar o sinal, positivo ou negativo, dependendo do quadrante. No II Quadrante: 180º α; No III Quadrante: 180º + α; No IV Quadrante: 360º α. Fig.6.11: Ângulos correspondentes de α em outros quadrantes: (a) em graus e (b) em radianos. (a) 8
8 (b) 6..3 Seno e Cosseno Para a determinação dos valores de seno e cosseno de um ângulo α, usam-se os mesmos princípios citados no triângulo retângulo. Como é possível observar na Fig.6.1, raio do círculo trigonométrico é unitário (Hipotenusa). Portanto, o seno de α será igual ao próprio cateto oposto (C.O.) à α; e o cosseno de α será igual ao próprio cateto adjacente (C.A.) à α. As Eq.6.17, Eq.6.18 e Eq.6.19 exemplificam tais relações. sen α = y A (6.14) cos α = x A (6.15) tan α = sen α cos α Fig.6.1: Determinando o Seno e o Cosseno de α (6.16) Com isso, obtém-se a relação fundamental da trigonometria: sin²(α) + cos²(α) = 1 (6.17) Como o raio do círculo trigonométrico é unitário, o maior valor de seno e cosseno é igual a 1; e o menor valor será 1. Ou seja, as funções seno e cosseno estão limitadas ao intervalo [ 1; 1]. A partir da Fig.6.13 é possível notar que: o seno do ângulo correspondente de α no II quadrante é igual ao seno de α; o seno dos ângulos correspondentes de α no III e no IV quadrantes são iguais ao oposto do seno de α; o cosseno dos ângulos 9
9 correspondentes de α no II e no III quadrantes são iguais ao oposto do cosseno de α; e o cosseno do ângulo correspondente de α no IV quadrante é igual ao cosseno de α. Fig Representação gráfica das funções seno e cosseno dos ângulos correspondentes de nos demais quadrantes: (a) sen (α) e sen (α); (b) cos (α) e cos (α). (a) (b) Observa-se que a função sen(α) é uma função ímpar, pois tem-se que sen(α) = sen( α). E a função cos (α) é uma função par, pois cos(α) = cos( α), tal como é ilustrado na Fig Fig.6.14: Classificação das funções (a) sin(α) e (b) cos(α) como ímpar e par, respectivamente. (a) 10
10 (b) Tab.6.1: Tabela dos valores de seno e cosseno dos ângulos notáveis. Ângulo sen(α) cos (α) α =0 0 1 α = 30 α = 45 α = α = α = α = α = Exemplos: 1) Determine sen ( π 3 ) O ângulo π rad está no IV quadrante e está relacionado ao ângulo π rad, portanto: 3 3 sen ( π 3 ) = sen (π ), logo: sen ( π 3 3 ) = 3 11
11 ) Determine cos ( π 3 ) cos ( π 3 ) = cos (π π ), logo: cos ( 3 3 ) = 1 3) Determine sen ( 5π 4 ) O ângulo 5π 4 rad está no III quadrante e está relacionado ao ângulo π rad, portanto: 4 sen ( 5π 4 ) = sen (π 4 ), logo: sen (5π 4 ) = 4) Determine cos ( 5π 4 ) 5) sen ( 5π 6 ) cos ( 5π 4 ) = cos (π 4 ), logo: cos (5π 4 ) =. E o ângulo 5π 6 portanto: rad está no II quadrante e, portanto, está relacionado ao ângulo π 6 rad, 5. π sen ( 6 ) = sen (π π ), logo: sen ( ) = 1 6) Determine cos ( 5π 6 ) 6..4 Tangente cos ( 5π 6 ) = cos (π 6 ), logo: cos (5π 6 ) = 3. Para a representação do valor da tangente de um ângulo α no círculo trigonométrico, acrescenta-se uma reta tangente t ao círculo trigonométrico, assim como é indicado na figura Fig A tangente de α será dada pelo comprimento do segmento AB. Observe que não existe tan(α) se α é igual a π/ ou 3π/, pois as reta r 3 e t não se interceptam para os ângulos α = π/ e α = 3π/. Fig.6.15: Definição gráfica da função tan(α). 1
12 Eixo dos senos t π/ α A r3 tg α O B Eixo dos cossenos 3π/ Ao analisar a Fig.6.16, conclui-se que a tangente do ângulo correspondente de α no III Quadrante é igual à tangente de α; e a tangente dos ângulos correspondentes de α no II e no IV quadrantes são iguais ao oposto da tangente de α. Fig.6.16:Representação gráfica da função tangente dos ângulos correspondentes de α nos demais quadrantes. Exemplos: 1) Determine tan ( 7π 6 ) O ângulo 7π 6 rad está no III quadrante e está relacionado ao ângulo π rad, portanto: 6 ) Determine tan ( 3π 4 ) tan ( 7π 6 ) = tan (π 6 ), logo: tan (7π 6 ) = 3 3 O ângulo 3π 4 rad está no II quadrante e está relacionado ao ângulo π rad, portanto: 4 tan ( 3π 4 ) = tan (π 4 ), logo: tan (3π 4 ) = 1. 13
13 3) Determine tan ( 5π 3 ) O ângulo 5π 3 rad está no IV quadrante e está relacionado ao ângulo π rad, portanto: 3 4) Determine tan ( 5.π ) tan ( 5π 3 ) = tan (5π 3 ), logo: tan (5π 3 ) = 3. O ângulo 5π rad é côngruo de π rad (o ângulo 5π rad está na mesma posição de π rad após uma volta completa no círculo trigonométrico). Portanto, a função tan ( 5π ) não existe tal qual função tan ( π ) Relações Trigonométricas Inversas Definem-se as seguintes razões inversas: a secante de um ângulo α (sec(α)) é dada pelo inverso do cosseno deste ângulo ; a cossecante de um ângulo α (cossec(α)) é dada pelo inverso do seno de α ; e a cotangente de um ângulo α (cotg(α)) é dada pelo inverso da tangente deste ângulo. Assim, têm-se as Eq.6.1, Eq.6. e Eq.6.3: sec(α) = cossec (α) = cotg (α) = 1 cos(α) 1 sen (α) cos (α) sen (α) = 1 tg(α) (6.18) (6.19) (6.0) Exemplos: 1) Se sen(α) = 1, com 0 < α < π. Determine o valor de sec(α). sen (α) + cos (α) = 1, portanto: ( 1 ) + cos (α) = cos (α) = 1 cos (α) = 1 1 4, então: cos (α) = 3 4 cos (α) = ± ( 3 3 ) cos (α) = ± 4, 14
14 e como 0 < α < π, tem se que α está no I quadrante, logo: Portanto: cos (α) = 3. sec(α) = 1 cos(α) sec(α) = 3 sec(α) = , logo: ) Se sen(α) = 3, com 3.π sec(α) =. 3 3 < α < π. Determine o valor de cotg(α). sen (α) + cos²(α) = 1, portanto: ( 3 ) + cos (α) = cos (α) = 1 cos (α) = 1 4 9, então:. cos (α) = 5 9 cos (α) = ± ( 5 9 ) cos (α) = ± 5 3, e como 3π < α <. π, tem se que α está no IV quadrante, logo: Portanto: cos (α) = 5 3. cotg (α) = cos (α) cotg (α) = sen (α) ( 5 3 ) ( 3 ), logo: cotg (α) = ( 5 3 ) ( 3 ) = ( 5 3 ). ( 3 ) = 5 cotg (α) = 5. 15
15 6.4. Identidades Trigonométricas Algumas identidades trigonométricas facilitam a resolução de alguns problemas., tal como as Eq.6.4, Eq.6.5 e Eq.6.6. sen (α) + cos (α) = 1 (6.1) 1 + tg (x) = sec (x) (6.) 1 + cotg (x) = cossec (x) (6.3) Dados dois ângulos a e b; os valores de seno, cosseno e tangente dos arcos obtidos pela soma ou pela subtração de a e b serão as equações de Eq.6.7 à Eq.6.34: sen(a + b) = sen(a). cos(b) + sen(b). cos(a) (6.4) sen(a b) = sen(a). cos(b) sen(b). cos(a) (6.5) cos(a + b) = cos(a). cos(b) sen(a). sen(b) (6.6) cos(a b) = cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b) (6.7) sen(x) =. sen(x). cos(x) (6.8) cos(x) = cos²(x) sen²(x) (6.9) sen ( x (x) ) = 1 cos cos ( x (x) ) = 1+cos (6.30) (6.31) Dados dois ângulos p e q, os valores da soma e da subtração dos senos e dos cossenos destes ângulos serão obtidos a partir das seguintes relações de Eq.6.35 à Eq.6.38: sen(p) + sen(q) =. sen( p+q ). cos(p q ) (6.3) sen(p) sen(q) =. sen ( p q ). cos (p+q ) (6.33) cos(p) + cos(q) =. cos ( p+q ). cos(p q ) (6.34) cos(p) cos(q) =. sen ( p+q ). sen (p q ) (6.35) Exemplos: 1) Determine o valor de sen(105 ) e cos(15 ). Como 105º é igual a 60º + 45º, tem-se que: sen(105 ) = sen( ) sen(105 ) = sen(60 ). cos(45 ) + sen(45 ). cos(60 ) sen(105 ) = =
16 sen(105 ) = E como 15º é igual a 60º 45º, tem-se que: 6.5. Funções Trigonométricas Função Seno: cos(15 ) = cos(60 45 ) cos(15 ) = cos(60 ). cos(45 ) + sen(60 ). sen(45 ) cos (15 ) = = , cos (15º) = Admitindo y como uma variável independente, é possível representar a função seno da Eq.6.39: y = f(x) = sin(x) (6.36) A partir dessa representação, devem-se constatar as seguintes definições: O domínio da função (D(f)) está compreendido sob todo o conjunto dos números reais, ou seja, a variável x pode assumir qualquer valor real. Para cada valor de x existe um valor correspondente de y que varia de -1 a 1, isto é, a imagem da função (Im(f)) compreende o intervalo[ 1, 1]. A cada volta que se completa no círculo trigonométrico, os valores de y repetemse oscilando, o que significa dizer que a função apresenta caráter oscilatório e periódico, de período igual a π. Fig.6.17: Gráfico da senoide. Se a função se apresentar na forma da Eq.6.40: O período T da função será igual a Eq f(x) = sen(k. x) (6.37) T = π k (6.38) Se k > 1, ocorre uma compressão horizontal no gráfico de ordem a (Ver Fig.6.18). 17
17 Fig.6.18: Gráfico da Função f(x) = sen(x). Podem haver casos nos quais a função é apresentada sob a forma y = A. sen x, o que provocará um alongamento (A > 1) ou um encurtamento vertical (A < 1). Fig.6.19: Gráfico da Função f(x) = 0.5 sen(x). Percebe-se também a existência de deslocamentos verticais ou horizontais sob as respectivas formas: y = B + sen(x) para os deslocamentos verticais e y = sen(x + C) para os deslocamentos horizontais. Sendo assim, é possível chegar a uma nova fórmula genérica (Eq.6.4) para a função seno levando-se em consideração os deslocamentos supracitados. f(x) = A + B. sen(kx + C) (6.39) Em que A, B, C e k são constantes reais. Fig.6.0:Gráfico da Função f(x) = sen(x + π) 18
18 6.5. Função Cosseno: Assumindo y como uma variável independente, é possível também representar a função cosseno na Eq.6.43: y = f(x) = cos x (6.40) A partir dessa representação, deve-se atentar às seguintes definições: O Domínio da função (D(f)) está compreendido sob todo o conjunto dos números reais, ou seja, a variável x pode assumir qualquer valor real. Para cada valor de x existe um valor correspondente de y que varia de -1 a 1, isto é, a imagem da função (Im(f)) compreende o intervalo [ 1, 1]. A cada volta que se completa no Círculo Trigonométrico, os valores de y se repetem oscilando, o que significa dizer que a função apresenta caráter oscilatório e periódico, de período igual a π. O gráfico contido na Fig.6.1 representa a curva conhecida como cossenóide. Caso a função seja apresentada sob a forma f(x) = cos(kx),analogamente à função seno, o período T da função será igual a Eq.6.44 T = π k (6.41) Neste caso também ocorre uma compressão horizontal no gráfico de ordem a. A função cosseno também pode ser y = A cos(x),o que provocará um alongamento (A > 1) ou encurtamento (A < 1) vertical (variação da amplitude). Percebe-se igualmente a existência de deslocamentos verticais ou horizontais sob as respectivas formas: y = A + cos(x) para os deslocamentos verticais e y = cos(x + C) para os deslocamentos horizontais. Sendo assim, é possível obter a uma formulação genérica (Eq.6.45) para a função cosseno levando em consideração os deslocamentos mencionados: f(x) = A + B cos(kx + C) (6.4) Em que A, B, C e k são constantes reais Função Tangente: Tal qual as funções seno e cosseno, a função Tangente também pode ser presentada, de acordo com a Eq.6.46; tendo, igualmente, y como uma variável independente: 19
19 y = f(x) = tan x (6.43) Com isso, constatam-se as seguintes definições: A variável x, ao contrário do que ocorre nas funções seno e cosseno, não pode assumir os valores π e 3π (e seus respectivos correspondentes em N voltas no círculo trigonométrico). Desta forma, o domínio (D(f)) corresponde ao intervalo [0; π [ U ] π ; 3π [ U ] 3π ; π] + N. π. Para cada valor de x pertencente ao domínio, existe um valor de y que, ao se aproximar dos valores de indefinição da função, apresentarão assíntotas, as quais podem ser visto no gráfico da Fig.6. na forma de linhas verticais tracejadas. Assim como nas funções seno e cosseno, a função tangente também apresenta caráter periódico, porém a descontinuidade dos valores, devido às assíntotas, torna a função não oscilatória. Fig.6.1: Gráfico da Função f(x) = tan(x). Assim como nas funções anteriormente comentadas, na função tangente também podem ocorrer deslocamentos no gráfico. Sendo estes generalizados pela Eq.5.47: f(x) = A + B tan(kx + C) (6.44) Sendo que o novo período T será dado ela Eq.6.48: T = π k (6.45) Função Arco-Seno O arco-seno (arcsen(x))é um ângulo definido pela variável a dependente de um valor x tal que para arcsen(x) = α isto é, sen(α) = x. Exemplo 6: Para um triângulo retângulo de hipotenusa cm e cujo ângulo α é oposto a um cateto de 1cm, determine o valor de a: 0
20 sen(α) = 1, logo: α = arcsen ( 1 ). Ou seja, sen(α) = 1 ; Como sen ( π 6 ) = 1, então: α = π rad = Função Arco-Cosseno O arco-cosseno (arccos(x)) é um ângulo a cujo valor de seu cosseno vale x, isto é, a depende de x tal que arccos(x) = α cos(α) = x. Pode-se dizer, portanto, que a função arco-cosseno é a função inversa da função cosseno. Exemplos: 1) Sabe-se que um triângulo retângulo possui um ângulo a tal que o cateto adjacente a este ângulo vale cm e a hipotenusa do respectivo triângulo possui valor de 4 cm. Determine o ângulo a. cos(α) = 4 = 1, logo: Como: α = arccos( 1 ), ou seja, cos(α) = 1 cos ( π 3 ) = 1 : α = π rad = Função Arco-Tangente O arco-tangente (arctan(x)) de um valor x, é o ângulo α cuja a tangente é igual ao valor x. Ou seja, se tan(α) = x, tem-se que α = arctan(x). Exemplos: 1) Um triângulo retângulo possui um ângulo a o qual tem como cateto oposto b =., e o cateto adjacente c =.. Determine o ângulo a tan(α) = = 1, logo: α = arctan(1), ou seja, tg(α) = 1 1
21 Como: tan ( π ) = 1, então: Sistema de Coordenadas Polares α = π rad = 45 4 O sistema de coordenadas polares no plano tem como referenciais um ponto fixo O denominado polo e uma semirreta orientada fixa com origem em O denominada eixo polar; e um raio r, como é representado na Fig.6.3. O Eixo polar Fig.6.3: Representação de um eixo polar Considere P um ponto genérico no plano e seja o raio r a distância entre o polo O e o ponto P, assim r = OP. Se P O, então P pertence a uma única semirreta determinada com a origem em O. Tais descrições são representadas na Fig.6.3 Fig.6.4: Semirreta formando um ângulo θ com o Eixo Polar. Seja θ o ângulo formado entre o eixo polar e esta semirreta, medido a partir do eixo polar. Como o ângulo θ tem vértice no pólo O e o seu lado inicial é o eixo polar, ele é dito estar na posição padrão ou fundamental. Assim, a semirreta constitui o lado terminal do ângulo θ na posição fundamental. Os ângulos são geralmente medidos em radiano e são considerados positivos quando medidos no sentido anti-horário. A cada ponto P do plano, pode-se associar um par de números reais r e θ denominados coordenadas polares de P. Denota-se P(r, θ), onde r é a coordenada radial (raio) de P, que é a distância de P em relação ao pólo, e θ é a coordenada angular ou ângulo polar de P. As coordenadas polares (r, θ) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semirretas partindo de O. O valor de r localiza P num círculo de raio r, o valor de θ localiza P numa semirreta que é o lado terminal do ângulo na posição fundamental, e P é determinado pela interseção do círculo com a semirreta, como é mostrado na Fig.6.5.
22 P (3, π 6 ) ; Q (, π 3 ) ; R (1, 7π 6 ) Fig.6.5: Grade formada por círculos concêntricos e semirretas partindo de Conversão de Coordenadas Para converter coordenadas polares (r, θ) em cartesianas (x, y), ou vice-versa, é usual considerar que o polo do sistema polar coincidente com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar do sistema polar coincidente com o eixo x, tais como as Eq.6.49 e Eq Assim, o eixo positivo y é a semirreta θ = π/. x = r cosθ { y = r sen θ ou (6.46) r = ± x { + y tan θ = y x para x 0 (6.47) Se θ está na posição fundamental então r = + x + y Se θ = arctan(y x)então tan(θ + n π) = y x para x 0 e n I (r, θ ) polar P { (x, y) cartesiano Fig.6.5. Representação Gráfica do Eixo Polar P coincidindo com o eixo x do Sistema Cartesiano. Exemplos: 3
23 Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas: 1) (r, θ) = (, 3π ) (r, θ) (x, y) = (r cosθ, r sen θ) x = cos ( 3π ) =.0 = 0 y = sen ( 3π ) =. ( 1) (x, y) = (0, ) ) (r, θ) = ( 4, π 3 ) x = ( 4 ). cos ( π 3 ) = ( 4). (1 ) = y = ( 4). sen ( π ) = ( 4). ( 3 3 ) = 3 (x, y) = (, 3) 3) (r, θ) = (1, π 3 ) x = (1). cos ( π 3 ) = (1). ( 1 ) = 1 y = (1). sen ( π 3 ). ( 3 ) = 3 (x, y) = ( 1, 3 ) Converta as coordenadas cartesianas dadas para coordenadas polares. r = ± x + y (x, y) (r, θ) { tan θ = y para x 0 x 4) (x, y) = (4, 4) r = = 5 = 4 π tan θ = 4 4 = 1 θ = arc tan(1) { 4 5π 4 4
24 Como o ponto está no primeiro quadrante 0 θ π, logo θ = π 4 5) (x, y) = ( 1, 3) (r, θ) = (4, π 4 ) r = + ( 1) + ( 3) = 4 = tan θ = 3 1 = 3 π 3 θ = arc tan( 3) = 4π { 3 Como o ponto está no terceiro quadrante π θ 3π, logo θ = 4π 3 6) (x, y) = (3 3, 3) (r, θ) = (, 4π 3 ) r = + (3 3) + ( 3) = 36 = 6 tan θ = = 1 3 θ = arc tan ( 1 3 ) = { π 6 = 11π 6 Como o ponto está no quarto quadrante π π θ 0, logo θ = 6 (r, θ) = (6, π 6 ) 7) (x, y) = (0, 4) 5π 6 r = + (0) + ( 4) = 4 π tan θ = 4 0 = θ = 3π { Como y < 0 o ponto pertence ao eixo negativo y logo θ = 3π = π (r, θ) = (4, π ) 5
25 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Na figura, AB = 5dm, AD = 5 7 dm, DBC = 60º e DCA = 90º. Determine a medida de CD em decímetros. ) Calcule o comprimento L do arco cm, por um ângulo central de 60. AB definido numa circunferência de raio r=10 3) Calcule m de modo a obter sen(x) = m + 1 e cos(x) = 4m + 1 4) Dado quesin(x). cos(x) = m, calcule o valor de y = sen 4 (x) + cos 4 (x) e z = sen 6 (x) + cos 6 (x) 5) Dois lados de um triângulo que medem 8m e 1m e formam entre si um ângulo de 10.Calcule o terceiro lado. 6) Um triângulo tem lados a = 10m, b = 13m e c= 15m.Calcule o ângulo o menor, do triângulo. 7) Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções abaixo: a) f : dada por f(x) = sen x. b) f : dada por f(x) = sen x c) f : dada por f(x) = sen(x + π ) 3 d) f : dada por f(x) = 3. cos x e) f : dada por f(x) = cos(x π ) 4 8) Simplifique: A, 1. 1 sec x 1 cos x 1 cos x 9) Calcule o valor da expressão sen105 - cos 75 10) Sabendo que sen a = 3 5 e cos a = 4, calcule sen(a) + cos(a) 5 6
26 11) Calcule o valor numérico da expressão: y = sen ( 13π 1 ). cos(11π 1 ) 1)Transforme em produto: a) y = 1 + sen(x) b) y = 1 + cos(x) c) y = sen(5x) + sen(3x) d) y = cos(3x) + cos(x) 13) Ache os valores de cos (x) + 5 sen(x) ) Demarcar os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares e encontrar suas coordenadas cartesianas: a) P1= (3, π 3 ) c) P4= ( 3, π 3 ) b) P= (3, π 3 ) d) P3= ( 3, π 3 ) 15) Encontrar as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas polares. a) (, π 3 ) d) ( 10, π ) c) (4, 5π ) e) ( 10, 3π ) 8 d) (3, 13π 4 ) 16) Encontrar um par de coordenadas polares dos seguintes pontos: a) (1, 1) b) (-1, 1) c) (-1, -1) d) (1, -1) 17) Identificar e transformar as seguintes equações para coordenadas polares. a) x + y = 4 b) x = 4 c) y = d) x + y + x = 0 e) x + y 6y = 0 7
27 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) DC = 5 3 ) L = 10π/3cm 3) m 1 = 1/10ou m = 1/ 4) y = 1 m e z = 1 3m² 5) lado 3 x = ) A = arccos ) a) Im f = {y R 1 y 1}; P = π b) Im f = {y R 0 y 1}; P = π c) Im f = {y R 1 y 1}; P = π d) Im f = {y R 3 y 3}; P = π e) Im f = {y R 1 y 1}; P = π 8) cotgx 9) / 10)31/5 11)Y = 1/4 1) a) y = sen (x + π 4 ) cos (π 4 x) b) y = cos ( x ) c) y = sen4x. cosx d) y = cosxcosx 13) 1 senx 1 14) a) ( 3, 3 3 ) b)( 3, 3 3 ) c)( 3, 3 3 ) d) ( 3, 3 3 ) 15) a) (1, - 3) b) (-1.507, ) c) ( 3, 3 ) d) (0, -10) e) (0, 10) 16 a) (, π/4) 8
28 b) (, 3π/4) c) (, 5π/4) d) (, 7π/4) 17) a) r = ± b) r cos θ = 4 c) r sin θ = d) r = cos θ e) r = 6 sin θ 9
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