ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº 4 1 Resolva o exercício 11 da página 80 do seu manual Considere a equação na variável x: k 1 senx =,k 6 a Mostre que a equação é impossível se k = 4 b Determine os valores de k para os quais a equação é possível Determine o valor máximo e o valor mínimo que podem tomar as expressões seguintes, onde α representa uma amplitude de ângulo a senα d cos α b senα c 1+ cosα 4 Determine para que valores de, k IR se tem: a b k 1 senα = cosα = k + 1 senα = k A α = 1+ cosα + sen α Considere a expressão ( ) ( ) a Mostre que ( α ) A = + cosα e c cos α + 1 k 1 π π tg α = α, b Calcule o valor de ( ) π A α, sabendo que tgα = e α,π 6 Indique, justificando, o quadrante a que pertence o ângulo x, sabendo que π tg( x) > 0 cos x < 0 7 A figura representa um paralelepípedo Sabe-se que AB= 4cm, BC = cm e α é o ângulo de AG com AC E H F G a Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por V ( α ) = 60tgα π b Sabendo que cos + α =, calcule o valor exacto A D α B C do volume do paralelepípedo PROFESSORA: Rosa Canelas 1 Ano lectivo 007/008

2 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº 4 proposta de resolução 1 Exercício 11 da página 80 do manual π Consideremos um ângulo θ, do intervalo, π, tal que sen θ = 0, a A representação geométrica do ângulo θ, no círculo trigonométrico está na figura ao lado 0, θ b Utilizando a calculadora, vamos determinar um valor, aproximado às milésimas, da amplitude θ 1 Ao utilizar sen ( 0,) obtemos o ângulo do primeiro quadrante com seno igual a 0,, mas como queremos o ângulo do segundo quadrante podemos tirar da observação da figura feita em a que o ânguloθ é suplementar do que a calculadora nos dá O valor da amplitude de θ é, com aproximação às milésimas, 16,4º c Ainda com a calculadora vamos calcular cosθ e tgθ, sem arredondarmos o valor do ângulo, isto é utilizando o resultado da alínea anterior PROFESSORA: Rosa Canelas Ano lectivo 007/008

3 Com aproximação às milésimas, cosθ 0,94 e tgθ 0,14 d Sabendo senθ podemos calcular cosθ, usando a fórmula fundamental e sabendo que θ é um ângulo do º quadrante ( ) sen θ + cos θ = 1 senθ = 0, 0, + cos θ = 1 cos θ = 1 0,09 cosθ = ± 0,91 Como cosθ =± 0,91 e θ º quadrante podemos concluir que cosθ = 0,91 cosθ = cosθ = Sabendo agora senθ e cosθ podemos calcular tgθ através da relação senθ tgθ = cosθ tgθ = = = Finalmente verifiquemos que os valores obtidos são os valores exactos dos valores aproximados que obtivemos na alínea anterior Consideremos a equação na variável x: k 1 senx =,k 6 a Mostremos que a equação é impossível se k = De facto senx = senx = é uma equação impossível porque > e 1 senx 1 b Determinemos os valores de k para os quais a equação é possível k 1 Os valores de k que façam com que 1 1 tornam a equação possível 6 k k 1 6 k 7 k Então k, 6 Determine o valor máximo e o valor mínimo que podem tomar as expressões seguintes, onde α representa uma amplitude de ângulo a senα Sabemos que 1 senα 1 então senα - é o valor mínimo e o valor máximo de senα PROFESSORA: Rosa Canelas Ano lectivo 007/008

4 b senα Sabemos que 1 senα 1 então senα 1 senα 1 e se multiplicarmos cada termo de cada inequação por -1 teremos de inverter o sentido das desigualdades para obtermos inequações equivalentes (monotonia parcial da multiplicação) senα 1 senα 1 senα 1 senα 1 senα senα 1 1 senα o valor mínimo será 1 e o máximo Notemos que: 1 senx 1 senx 1 senx 1 senx 1 senx 1 1 senx 1 c 1+ cosα Sabemos que 1 cosα 1 cosα 1 1+ cosα O valor mínimo de 1+ cosα é -1 e o valor máximo é d e cos α Sabemos que mínimo é 0 cos α+ 1 Sabemos que 1 cosα 1 0 cos α 1 O máximo de cos α é 1 e o 1 cos α 1 0 cos α 1 0 cos α 1 cos α O máximo da expressão cos α + 1 é 4 e o mínimo é 1 k 1 a Sabendo que senα = cosα = k + 1 podemos aplicar a fórmula fundamental da trigonometria k 1 k k ( k + 1) = 1 + k + k + 1 = 1 4 6± 6 0 k k k + 8k = 0 k + 6k + 1= 0 k = 10 6± 4 1 k = k = k = 1 k = k = Então k pode tomar dois valores 1e b Sabendo apenas que senα = k podemos concluir que qualquer ângulo toma valores apenas no intervalo [ 1,1] Estamos perante uma dupla inequação do º grau 1 k 1 k 1 0 k 1 0 Precisamos de calcular os zeros dos polinómios k 1= 0 k = 1 k = 1 k = 1 k 1 e 1 k 1 pois o seno de k 1 k 1= 0 k = 1 que é uma condição impossível por não haver nenhum número real com quadrado negativo PROFESSORA: Rosa Canelas 4 Ano lectivo 007/008

5 Para resolver a inequação k 1 0 vamos fazer um gráfico que sabemos ser uma parábola e atendendo a que o polinómio tem dois zeros (-1 e 1) e a parábola tem a concavidade voltada para cima ( porque o coeficiente de k é positivo) Do gráfico concluímos que k 1 é não positivo em [-1,1] Para resolver a inequação k 1 0 vamos fazer um gráfico que sabemos ser uma parábola e atendendo a que o polinómio não tem zeros e a parábola tem a concavidade voltada para baixo (porque o coeficiente de k é negativo) Do gráfico concluímos que k 1 é não positivo em IR Finalmente concluímos que [ ] [ ] 1 k 1 k 1 0 k 1 0 k 1,1 k IR k 1,1 Então k pode tomar valores em [-1,1] k 1 π π c Sabendo que tg α = α,, podemos construir um círculo trigonométrico para lá analisarmos a situação e verificar que o lado extremidade de qualquer ângulo no π π intervalo, corta a linha da tangente acima do ponto onde o lado extremidade do ângulo de π π o faz Como tg = podemos então α k 1 1+ concluir que tgα k 1 k 1+ k 1+ Então k pode tomar valores em, + A α = 1+ cosα + sen α É dada a expressão ( ) ( ) a Para mostrar que ( α ) A = + cosα vamos desenvolver o quadrado da soma e aplicar a fórmula fundamental da Trigonometria ( ) ( ) A α = 1+ cosα + sen α = 1+ cosα + cos α + sen α = 1+ cosα + 1 PROFESSORA: Rosa Canelas Ano lectivo 007/008

6 porque sen α + cos α = 1 e portanto ( α ) A = + cosα como queríamos provar π α = e que α,π O ângulo α podia estar nos º, º ou 4º quadrantes mas como a tangente é e a b Queremos o valor de A ( α ) e sabemos que tg tangente nestes quadrantes só é positiva no º concluímos que α pertence ao terceiro quadrante Sabemos a tangente e para calcular A ( α ) precisamos do co-seno, vamos por isso aplicar a fórmula que se deduz da fórmula fundamental e que relaciona estas duas 1 razões trigonométricas: 1+ tg α = cos α = α ºQ cos α = α ºQ cosα = cos α A α = + cosα e temos: Agora já só falta substituir em ( ) 10 A( α ) = + = = 6 Sabendo que ( ) π tg x > 0 cos x < 0, sabemos que tgx > 0 senx < 0 tg( -x)= - tgx cos ( ) = - senx π -x x tg x x sen x - x tg(-x) pi/ - x cos(pi/-x) e, pela monotonia parcial da multiplicação, sabemos também que tgx < 0 senx > 0 e porque a tangente é negativa nos segundo e quarto quadrantes e o seno é positivo nos primeiro e segundo quadrante, o ângulo x só pode estar no segundo quadrante PROFESSORA: Rosa Canelas 6 Ano lectivo 007/008

7 7 A figura representa um paralelepípedo Sabe-se que AB = 4cm, BC = cm e α é o ângulo de AG com AC H G c O volume do paralelepípedo é dado por V = AB BC CG E F Precisamos de calcular CG Mas CG é perpendicular à base [ABCD] e por isso perpendicular à diagonal [AC] [CG] é um cateto do triângulo [ACG] rectângulo em C A α D 4 cm B cm C Para calcularmos CG em função de α precisamos de uma das medidas dos lados do triângulo [AC] é a hipotenusa do triângulo rectângulo [ABC] e pelo Teorema de Pitágoras mede cm ( AC 4 AC 9 16 AC cm) = + = + = Então de GC = tgα resulta que GC = tgα GC = tgα e finalmente, como AC queríamos provar ( ) V α = 4 tgα = 60tgα π π d Como cos + α = e cos α senα + =, concluímos que calcularmos o valor exacto do volume do paralelepípedo Precisamos de calcular tgα Pela fórmula fundamental da trigonometria podemos calcular cosα 4 + α = α = cos 1 cos 1 9 cos senα = Para ( ) = - sen α π +α cos(pi/+a) pi/ + a a sen a cosα = por α ser um ângulo do 9 primeiro quadrante Concluímos que senα = e cosα = pelo que tg α = = = α = = Substituindo agora na fórmula do volume vem: V( ) 60 4 cm PROFESSORA: Rosa Canelas 7 Ano lectivo 007/008