Manual de Matemática. Trigonometria na Circunferência. A área de um triângulo qualquer pode ser definida por:

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1 A área de um triângulo qualquer pode ser definida por: a b sen C a c sen B b c sen A A = ou A = ou A = Eemplo: Determine a área do triângulo ABC. B c = cm 60º A a = 6 cm C a csenb A = 6 A = A = 6 cm Trigonometria na Circunferência Arcos de Circunferência Define-se arco de circunferência AB como cada parte em que a circunferência fica dividida. Indicação: AB B ( A A B A e B são etremidades e determinam dois arcos. Ângulo Central A e B coincidem, determinando um arco nulo e outro de uma volta. É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência, e os lados são raios dessa circunferência. 8

2 r B 0 r A Observe que a medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente: m( AB ) = m(a O B) ( Unidade de Medida de Arcos Grau ( º ) Define-se grau como o arco unitário que corresponde a da circunfe- 60 rência. O comprimento de uma circunferência em graus é 60º. Submúltiplos do grau são: o minuto ( ) e o segundo ( ), onde há a seguinte correspondência. º = 60 = 60 º = 600 Radiano (rad) Radiano é um arco unitário, que corresponde à medida do raio da circunferência. A medida em radianos de uma circunferência completa equivale a rad. Grado (gr) Cada arco unitário que corresponde a 00 como grado. Relação entre as unidades. da circunferência definimos 8

3 Conversão de Unidades A conversão de unidades pode ser por meio de uma regra de três simples. 60º rad ou 80º rad Eemplos: a) Epresse 0º em radianos. Usando a relação: 80º rad 0º 80 = 0 0 = 80 = rad b) Converta rad em graus. 80º rad rad = 80º 80º = = 5º Podemos converter radianos em graus usando uma regra prática. Assim: 80º rad = = 5º 8

4 Comprimento de um Arco Considere a circunferência da figura. Definimos comprimento de um arco a seguinte relação: A O r α l α= l ou l = α. r r α é medido em radianos. B Por eemplo, se o ângulo central A O B, determine numa circunferência de r = cm um arco AB de medida l = 6 cm, então a medida de A O B será 6 α= α=,5 rad. ( Qual a medida do raio de uma circunferência cujo arco mede rad e o seu comprimento,,5 cm? l = α. r Lembrete: rad =,,5 =, r, r =,5,5 r =, r =, cm Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca:

5 Relacionando: minutos graus α 60 0 = 5 α 0 5 α= α= 7,5 α= 7º 0' 60 θ =0º α θ = 0º 7º 0 θ= º 0 Ciclo Trigonométrico Considerando um plano cartesiano, representamos nele um círculo com centro na origem dos eios e raios. Dividimos o ciclo trigonométrico em quatro arcos, obtendo quatro quadrantes. y + º quadrante º quadrante º quadrante º quadrante r = A (, 0) 85

6 Dessa forma, obtemos as relações: Em graus: 90º Em radianos: 80º 0 = 60º 0 = 70º Epressão Geral dos Arcos 86 Quando medidos em graus, a epressão é obtida por: α = α º. k, sendo que k α 0 é denominada ª determinação positiva (0 α 0 60º) k é o número de voltas. Quando medidos em radianos, a epressão geral dos arcos é obtida por: α = α 0 + k k Eemplos: Determine a ª determinação positiva e dê a epressão geral dos arcos: a) 60º 60º 60º 90º 60º = 90º + 60º numeros número de de voltas completas 90º é a primeira determinação positiva.

7 b) 60º 60º 60º 00º 6 Para obter a ª determinação positiva, devemos fazer 60º 00º = 60º A primeira determinação positiva é 60º e a epressão geral é α = 60º + k. 60º c) rad Devemos dividir rad por = = + = = + = é a primeira determinação positiva e a epressão geral é 5 α= + k. Arcos Côngruos São aqueles que possuem a mesma origem e a mesma etremidade, em que a diferença entre eles é um múltiplo de 60º (ou rad). Eemplos: a) 80º e 0º são côngruos, pois 80º 0º = 800º = 5. 60º b) são côngruos, pois rad e rad rad rad = rad = rad = rad

8 Eercício Resolvido Determine em quais quadrantes estão os seguintes arcos: a) 6º Para verificarmos em que quadrante os arcos se encontram, devemos determinar a ª determinação positiva. 6º está no primeiro quadrante, pois 0º < 6º < 90º. b) 60º 60º 90º 90º está no º quadrante, pois 80º < 90º < 70º. c) 0º 0º está na primeira volta negativa, então 0º + 60º = 0º 0º está no º quadrante, pois 90º < 0º < 80º. d) rad Devemos converter rad em graus.. 80º = 0º 0º está no º quadrante, pois 80º < 0º < 70º. Razões Trigonométricas na Circunferência Função Seno Marcamos um ponto B, no qual determinamos um arco AB, cuja medida é um número real a. O seno desse arco é definido como o valor da ordenada do ponto B. ( N sen 0 eio dos senos B a A sen =ON 88

9 Variação de sinal da função seno + + O seno será positivo no º e º quadrantes e negativo no º e º quadrantes. Domínio da função seno O domínio da função seno é o conjunto dos números reais. D = Imagem Im = [, ] ou sen Período O valor do seno se repete a cada volta, sendo uma função periódica. Seu período é rad ou P = Valores importantes: 89

10 Gráfico y 0 O gráfico da função seno é chamado de senóide. O MEIO AMBIENTE AGRADECE!!! O cálculo é fundamental em todos os aspectos da Matemática, como, por eemplo, para que as funções trigonométricas sejam realizadas. Também é necessário o uso do cálculo para que haja uma relação equilibrada entre o meio ambiente e o homem. A vida pode ser melhorada se calcularmos precisamente as mudanças causadas na natureza. É necessário pensar na sustentabilidade das atividades humanas, para alcançarmos a melhoria da qualidade de vida para as atuais e futuras gerações. Calcular a preservação do meio ambiente é uma forma de eercer a cidadania. Qualquer ato incalculado dos seres humanos contra a natureza terá refleo na própria vida das pessoas. Eemplos: Construa o gráfico das seguintes funções, dando o domínio, a imagem e o período. 90

11 a) y = sen Construindo a tabela, temos: y 0 Em que: D = Im = [, ] P = b) y = sen 9

12 y 0 Em que: D = Im = [, ] P = c) y= sen + y Em que: D = Im = [0, ] P =

13 De uma maneira prática, o período é determinado por coeficiente de. P =, em que k é k Eemplos: Para y = sen, k =, portanto P= = Para y = sen, k =, portanto P = = Determine o domínio da função: y= sen Para que a função eista, temos: sen Na reta real: D= / 9

14 Determine m para que eista sen = m. sen m m m S = {m / m } Função Cosseno É a abscissa da etremidade do ponto B no ciclo trigonométrico. Variação de sinal da função cosseno y + + O cosseno é positivo no º e º quadrantes e negativo no º e º quadrantes. 9

15 Domínio da função cosseno O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais. Imagem Im = [,] ou cos. Período Como na função seno, o período da função cosseno é P =. k Valores Notáveis Gráfico y 0 95

16 O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide. Representação dos valores notáveis no círculo trigonométrico: y Eemplos: ) y = cos = y Em que: D = Im = [, ] P = 0 96

17 ) Determine K para que satisfaça a igualdade cos = k k 0 k 0 k S= k /0 k Função Tangente O eio das tangentes é a reta t, paralela ao eio y, traçada pelo ponto M. y t P T tg M tg =MT sen Relacionando: tg =. cos Domínio da função tangente D= / + k,k Imagem Im = ], + [ ou Im = Período O período da função tangente é P = 97

18 Variação do sinal da função tangente y + + A tangente é positiva no º e º quadrantes e negativa no º e º quadrantes. Valores Notáveis Gráfico 98

19 O gráfico da função tangente é chamado tangentóide. Representação dos valores notáveis no ciclo trigonométrico: y Eemplos: ) Determine os domínios das funções: a) y = tg A condição que devemos impor para obter o domínio é + k k + k Logo: D = / + + k, então: 99

20 b) y= tg k + k + k 6 k + 8 K Logo: D= / + 8 ) Determine o período da função y = tg. As funções da forma y = tg k têm período P Assim temos: k= P= Cotangente de um Ângulo Podemos relacionar cateto adjacente cotg = cateto oposto =. k No ciclo trigonométrico, o eio das cotangentes é o eio paralelo ao eio das abscissas e perpendicular ao eio das ordenadas pelo ponto A. y A T 00

21 Variação do sinal da função cotangente No º e º quadrantes, a cotg tem sinal positivo. No º e º quadrantes, a cotg tem sinal negativo. y + + Valores notáveis Podemos definir cotangente sendo o inverso da tangente, cos ou cotg = sendo sen 0. sen D={ / +k} Im = P = Eemplo: Dê o valor de: cos 5º a) cotg 5º = = = sen 5º b) cotg cos 0 0 = = sen 0 = = c) cotg 0º = não é definida cotg = tg 0

22 Função Secante Definimos secante de como a abscissa OA do ponto A. y 0 A eio dos cossenos Variação do sinal da função secante A variação de sinal é a mesma da função cosseno. No º e º quadrantes, a secante tem sinal positivo. No º e º quadrantes, a secante tem sinal negativo. y + + Valores notáveis sec A função secante é o inverso do cosseno: sec = e + k, cos com k. Im = {y / y ou y } P= 0

23 Eemplo: Determine: a) sec 60º = = = cos 60º b) sec 90º = = a função não se define para = 90º ou = 70º cos 90º 0 Função Cossecante Definimos cossecante de como a ordenada OB do ponto B. eio dos senos B O B Variação do sinal da função cossecante A variação do sinal é a mesma da função seno. No º e º quadrantes, a cossecante tem sinal positivo. No º e º quadrantes, a cossecante tem sinal negativo. y + + 0

24 Valores notáveis A função cossecante é o inverso da função seno: cossen que k, com k. Im = {y / y ou y } P= =, em sen Eemplo: Determine cossec 60º. cossec 60º = = = = sen 60º Relações Trigonométricas Relação Fundamental Considerando o ciclo trigonométrico, temos: eio do seno sen cos eio do cosseno 0

25 Aplicando o teorema de Pitágoras: Então: cos sen sen + cos = sen + cos = Outras Relações Fundamentais sen tg = cos cos cotg = ou cotg = sen tg sec = cos cossec = sen Relações Trigonométricas Derivadas sec = + tg + cotg = cossec ou cossec = + cotg Eemplos: ) Determine o valor da epressão: sec cos cotg 6 05

26 06 Temos: sec = = = = 6 cos 6 cos= cotg = = = tg Substituindo na epressão: 6 ( ) = = 9 ) Sabendo que trigonométricas. Aplicando a relação fundamental: sen + cos = + cos = cos = cos = cos =± sen = e que 0< <, calcule as demais funções Como cos ao º quadrante, ele será positivo. sen tg = = = = = cos

27 cos cotg = = = = sen sec = = = cossec = = ) Para que valores de y temos, simultaneamente, sen = y e cos = y +? Substituindo os valores na relação fundamental: sen + cos = y + (y+) = y + y + y + = y + y = 0 y (y + ) = 0 y = 0 ou y + = 0 y = y = Portanto, y = 0 ou y = ) Calcule sen e cos sabendo que: sen + cos =. Montando o sistema, temos: sen + cos = sen + cos = Isolando cos : cos = sen 07

28 08 Substituindo na relação fundamental: sen + ( sen ) = sen sen + 9 sen = 0 sen + 6 sen = 0 sen (0 sen + 6) = 0 sen = 0 ou 0 sen + 6 =0 sen= 6 sen= 0 5 Como cos = sen : cos = 5 ou cos =. 9 cos = + 5 cos = cos = 5 Identidades Trigonométricas Por meio das funções trigonométricas, podemos demonstrar as identidades trigonométricas tornando-as verdadeiras. Para provar que uma identidade trigonométrica é verdadeira, procuramos trabalhar com um membro até chegarmos ao outro membro. Eemplos: Prove a eistência das identidades trigonométricas: a) ( sen ). ( + cotg ) = cotg Substituindo ( sen ) por cos e + cotg por cossec, temos: cos (cossec ) = cotg cos = cotg sen cos = sen cotg

29 b) tg + cotg = sec. cossec sen cos + = cos sen cos sen sen + cos = sen cos sen cos Como sen + cos = = sen cos sen cos Portanto, a igualdade é verdadeira. c) tg. sen + cos = sec sen sen + cos = sec cos sen + cos = sec cos sen + cos = sec cos = sec cos Redução do º Quadrante ao º Quadrante Se dois ângulos a + b =, eles são chamados ângulos suplementares. Nesse caso faremos a redução do º quadrante para o º quadrante, pois são arcos suplementares. Então: sen ( ) = sen cos ( ) = cos tg ( ) = tg cotg = cotg ( ) sec = sec ( ) cossec = cossec ( ) 09

30 Redução do º Quadrante para o º Quadrante sen ( + ) = sen cos ( + ) = cos tg ( + ) = tg cotg = cotg ( ) sec = sec ( ) cossec = cossec ( ) Redução do º Quadrante para o º Quadrante Arcos Complementares sen ( ) = sen cos ( ) = cos tg ( ) = tg cotg = cotg ( ) sec = sec ( ) cossec = cossec ( ) Se a+ b=, são chamados arcos complementares em que e são complementares. Temos: sen = cos cos = sen tg = cotg Eemplos: ) Calcule o valor da epressão, reduzindo ao º quadrante: sen 50º = sen(80º 50º) = sen 0º = 0

31 ) Reduza do º quadrante para o º quadrante sec ( ) sec ( ) = sec cos ( ) = cos = ) Reduza 0º para um arco do º quadrante. Fazemos 60º 0º = 0º. Assim, temos: sen 0º = sen 0º cotg 0º = cotg 0º cos 0º = cos 0º sec 0º = sec 0º tg 0º = tg 0º cossec 0º = cossec 0º ) Simplifique a epressão: y = cos cotg sen( ) cos = sen cotg = tg sen = sen ( ) Substituindo na epressão, temos: y = sen. tg. ( sen ) y = sen. tg Transformações Trigonométricas Adição e Subtração de Arcos Dados dois arcos a e b, aplique as seguintes identidades: sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b

32 cos (a b) = cos a. cos b + sen a. sen b tg a + tg b tg(a + b) = tga tgb tg a tg b tg(a b) = + tga tgb cotg a cotg b cotg(a + b) = cotg a + cotg b cotg a cotg b + cotg(a b) = cotg b cotg a Eemplos: ) Calcule: a) sen 75º sen (0º + 5º) = sen 0º. cos 5º + sen 5º. cos 0º sen (0º + 5º) = + 6 sen (0º + 5º) = sen (0º + 5º) = b) cos 5º cos (5º 0º) = cos 5º. cos 0º + sen 5º. sen 0º cos (5º 0º) = + 6 cos (5º 0º) = + 6+ cos (5º 0º) =

33 c) tg + tg + tg tg + = tg tg + tg + = ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + + tg + = = + = ) Sabendo que sen =, 0 < <, calcule cos + 5. Aplicando a relação fundamental: sen + cos = + cos = 5 6 = cos 5 9 = 5 cos = 5 cos cos + = cos cos sen sen

34 cos + = 5 5 cos + = 0 0 cos + = 0 Arco Duplo As fórmulas do arco duplo decorrem das fórmulas de adição de arcos. Eemplos: sen a =. sen a cos a cos a = cos a sen a ou cos a = cos a ou cos a = sen a tga tg a = tg a ) Determine sen a, cos a e tg a, sabendo que sen a + cos a = sen a + = = 9 sen a 6 cos a = e 0< a<. 7 sen a = 6 7 sen a = 7 7 cos a = sen a = sen a = = 6 8

35 9 7 cos a = sen a = = tg a = tg a = = tg a = tg a = = tg a = 7 9 = 7 ) Simplifique a epressão: y = sen a + cos a y = sen a + (cos a sen a) y = sen a + cos a sen a y = cos a Arco Metade A partir das funções trigonométricas do arco que mede a, podemos calcular sen a, cos a e tg a. a cos a sen =± a + cos a cos =± tg a cos a =± + cos a 5

36 Eemplos: ) Dado cos a =, 0 < a <, calcule sen a, cos a e tg a. a a + sen = cos = a a sen = cos = a a sen = = cos = = a tg = + a tg = a tg = = ) Dado cos 5º =, calcule sen º0. 5º cos 5º sen = sen º0' = 6

37 sen º0' = sen º0' = = Transformação em Produto Sendo p e q, podemos obter: Eemplos: p+ q p q sen p + sen q = sen cos p q p+ q sen p sen q = sen cos p+ q p q cos p + cos q = cos cos p+ q p q cos p cos q = sen sen ) Transforme em produto cos 70º + cos 0º. 70º + 0º 70º 0º cos 70º + cos 0º = cos cos 90º 50º cos 70º + cos 0º = cos cos cos 70º + cos 0º = cos5º cos5º cos70º + cos0º = cos5º cos70º + cos0º = cos5º 7

38 ) Fatore a epressão: sen sen + sen sen = sen cos 6 sen sen = sen cos sen sen = sen. cos sen + sen ) (FGV) A epressão cos cos equivale a: a) cotg c) cotg e) n.d.a. b) tg d) tg + sen + sen = sen cos 6 sen + sen = sen cos sen + sen = sen cos + cos cos = sen sen 6 cos cos = sen sen cos cos = sen sen Substituindo, temos: sen + sen cos cos = sen cos sen sen cos = = cotg sen Resposta: c 8

39 Equações Trigonométricas Toda equação que apresenta uma função trigonométrica com arco desconhecido é chamada de equação trigonométrica. Eemplos: a) cos = c) tg = b) sen = sen 5º º Tipo sen = a ou cos = a ou tg = a Eemplos: a) sen = sen = sen 5º = 5º Como f() = sen é positivo no primeiro e segundo quadrantes, temos: y 5º Logo, a equação tem solução igual a: /= + k ou = + k Epressão geral: sen = sen a S = { = a + k ou = ( a) + k} 9

40 b) cos = y cos = cos 60º = 60º S= /=± + k 60º 60º Epressão geral: cos = cos a S = { = ± a + k} c) tg = tg = tg = 5 tg = tg 5 = ou A tangente é negativa no º e º quadrantes. = = tg = 5 = = Representando no ciclo trigonométrico, as duas soluções podem ser epressas: 0º ou y = + k 60º 60º 00º ou 5 0

41 Logo: S= / =, k Epressão geral: tg = tg a S = { = a + k} Equações Redutíveis ao º Grau Eemplo: Resolva a equação sen + cos = 0 Partindo da relação fundamental: sen + cos = ou sen = cos Substituindo na equação dada: sen + cos = 0 ( cos ) + cos = 0 cos + cos = 0 cos cos = 0 cos (cos ) = 0 cos = 0 ou cos = 0 cos = cos = 0 + k ou cos = = k Solução S= /= + k ou = k Equações Redutíveis a um Sistema de Equações Dada a equação sen + cos =. Sabemos que sen + cos =. Podemos formar o seguinte sistema: sen + cos = (equação dada) sen + cos = (relação fundamental)

42 Isolando sen = cos na ª equação e substituindo na ª equação: sen + cos = ( cos ) + cos = cos + cos + cos = cos cos = 0 cos ( cos ) = 0 cos = 0 ou cos = 0 cos = cos = Então, para: cos = 0 sen = cos = sen = 0 S= /= + k ou = k Equação Transformada em Produto Para resolvermos esse tipo de equação nos baseamos na transformação de uma adição ou subtração de funções trigonométricas em um produto. Eemplo: Resolva a equação: cos + cos 7 cos 5 = 0 Transformando cos + cos 7 em produto, temos: cos + cos7 = cos cos cos 7 + cos = cos 5. cos Substituindo na equação: cos 5. cos cos 5 = 0 Colocando cos 5 em evidência: cos 5( cos ) = 0 cos 5 = 0 ou cos = 0 5 = k cos = k = cos= 5

43 5 cos = cos ou cos = cos 5 = = 5 = = 6 6 k 5 S= / = ou = + k ou = + k Inequações Trigonométricas Inequações trigonométricas relacionam funções trigonométricas por meio de uma desigualdade. Eemplos: Resolva as inequações: a) sen y = ou sen = = b) S= / < < cos > = cos = 5 = ou 5 S= /0 < ou <, k y 5

44 c) cos > 5 = 6 cos = 7 = 6 ou 5 7 S= /0 < ou < y d) tg = tg = 5 = ou 5 S= / ou EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Calcule sen, cos e tg em cada um dos triângulos abaio: 5 y t a) c) b) 5 9

45 ) Um avião está a 00 m de altura quando vê a cabeceira da pista sob um ângulo com declive de 0º. A que distância o avião está da cabeceira da pista? ) A que altura de uma parede uma escada de m se apóia, se a escada e a parede formam um ângulo de 0º? ) Calcule Â, dados os lados de um triângulo qualquer a = 8, b = 8 e c= 8. 5) Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a = cm, b = cm e C = 5º. 6) (FGV-SP) A área do triângulo da figura é: a) 8 b) 9 6 c) 0 d) 6 0º e) 0 7) Em um triângulo ABC, AB =, BC = 5 e B = 60º. Determine o lado AC. 8) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 6 e 8 mede 0º. Calcule a maior diagonal. 9) (FAAP-SP) A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com piso horizontal. Qual deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 5 m da tela, com os olhos, m acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, T, a 0º da horizontal? T Dados : =, e =,7 0º B, m A 5 m 5

46 0) Considerando o triângulo da figura, calcule AB. A 5º B ) Calcule nos triângulos retângulos a seguir: a) b) C 0º 60º 5 0º ) (UNICAMP-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caia d água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caia d água e o ângulo formado pelas direções caia d água bomba e caia d água casa é 60º. Se a idéia é bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários? ) Converta em radianos: a) 90º c) 00º e) 0º b) 0º d) 0º f) º ) Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio: a) h 5min b) 6h 0min 5) Converta em graus: a) rad 0 b) 7 rad c) rad d) 5 rad e) 5 rad 6 f) rad 8 6

47 6) Determine em radianos a medida de um arco de circunferência cujo comprimento mede 0 m e o diâmetro dessa circunferência, 0 m. 7) (FUVEST) Um arco de circunferência mede 00º e seu comprimento é km. Qual o número inteiro mais próimo da medida do raio, em metros? a) 57 c) 8 e) 76 b) 8 d) 68 8) Considerando a figura, preencha a tabela abaio com valores de r e l (dados em cm) e α (em graus ou radianos). l 0 α l r 9) As rodas de um automóvel tem 80 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 6,8 km. Adote =, 0) Numa circunferência de raio 5 cm, um arco mede 0º. Qual é o comprimento desse arco? ) Determine o quadrante onde estão situadas as etremidades dos seguintes arcos: a) 50º b) rad c) 00º d) rad 5 ) Identifique em cada caso se os arcos são côngruos: a) 60º e 90º c) 5 rad e 9 rad 6 6 b) 6 rad e rad 7

48 ) Calcule a ª determinação positiva e escreva a epressão geral dos arcos: a).90º b) c) ) Determine k para que eista o arco que satisfaz as seguintes igualdades: k + a) sen = k c) sen = b) cos = k + k + 5) Determine a imagem e o período que representa cada uma das funções: a) y= cos b) y = + cos c) y = sen 6) Determine o domínio das funções: a) y= tg b) f() = sen 7) Indique o valor de: a) 5 sen c) tg e) sec 5º b) tg d) cossec 60º f) sec 6 8) Simplifique as epressões: a) b) y= sen + cos c) cos sen y = cos0 tg + cos y = sen 8

49 9) Calcule: a) cos, sabendo que < < e tg = b) sec, sabendo que sen = e < < c) cotg, sabendo que cossec = e < < 5 d) sen, sabendo que cotg = e < < 0) Calcule y: cos y = +, sendo = sec + cos ) Simplifique as seguintes epressões: sen sen( + ) a) sen cos ( ) ( ) cos + sen b) ( ) c) ( ) ( + ) ( ) sen tg cos cos tg( ) ) (MACK-SP) Se =, então: a) b) 0 c) sen + cotg cos tg cossec + sec é igual a: d) e) ) Sabendo que cos =, com < <, calcule as demais funções trigonométricas. 9

50 ) Dado sec = e 0< <, calcule: a) cos b) sen c) tg d) cotg e) cossec 5) Sendo sen = m + e cos = m +, determine o valor de m. 6) Calcule o valor de que verifica, simultaneamente, as igualdades sen a = + e cos a = +. 7) Aplicando as fórmulas de adição e subtração de arcos, calcule o valor de: a) sen 05º b) sen 5º c) tg 5º d) tg 75º e) cos + 8) Sendo cos α=, sen β= e α e β do º quadrante, calcule: 5 a) sen (α + β) b) cos (α β) 9) Sabendo que tg (a + b). tg a = e sen b = com < b <, calcule 5 0) Sabendo que sen = e º quadrante, calcule: 5 a) cos b) sen ) (FEI-SP) Se sen cos =, calcule sen. 5 ) Se sen = e < <, calcule: a) sen b) cos c) cotg ) Se cos a) a =, calcule: a sen b) a cos c) a tg 0

51 ) (FUVEST) Calcular y = (sen º0 + cos º0 ) 5) (UC-PR) Sabendo que a) cos 6º =, então cos 7º vale: c) 5 e) 5 b) 5 d) 5 6) Transforme em produto: a) sen 80º sen 0º c) cos. cos b) sen 0º + sen 70º sen 0º + sen 50º d) cos 0º + cos 50º 7) (MACK) Fatore sen 68º + cos 8º. 8) Resolva as equações: a) sen = e) tg = 0 b) cos = f) sen + cos = c) cos = 0 d) sen = 9) Resolva as inequações trigonométricas: g) cos 5 cos + 6 = 0 h) sen 5 sen + = 0 a) sen d) sen b) cos e) sen + sen > 0 c) tg > f) tg tg > 0

52 Respostas ) a) sen = 6 b) sen = 5 c) cos = cos = 5 tg = tg = sen = cos = tg = ) 600 m ) 0,8 m ) 0º 5) cm 6) a 7) 9 8) 7 9) 9,86 m 0) 0 ) a) 6 b) = 0 ) a) rad b) rad ) 70 m c) d) 5 rad 7 rad 6 e) rad 6 f) rad 90 ) a) 8º 0 b) 00º 5) a) 8º c) 0º e) 50º b) 5º d) 5º f) º 0 6) rad 7) 8 (c) 8) r l α,0 0º 9, 7 8 8º 66, 8

53 9) ) 6,8 cm ) a) º quadrante c) º quadrante b) º quadrante d) º quadrante ) a) sim b) sim c) não ) a) 50º e = 50º + k. 60º b) e = + k c) 5 e = 5 + k 5 ) a) S= k / k c) b) S = {k / k 0} 5) a) Im(y) = [, ] P = b) Im(y) = [, ] P = c) Im(y) = [, ] P = k 6) a) D= / +, k b) D = { / k +k, k } 7 S= k / k 7) a) c) não é definida e) b) 0 d) 8) a) b) 5 9) a) cos = b) 0) 8 8 c) 5 f) c) d) ) a) b) cos c) cos

54 ) d 6 ) sen =,tg=,cotg =,sec=, 6 cossec = ) a) c) e) b) d) 5) 6) = 7) a) 6+ b) d) + e) 8) a) ) 7 6 b) ) a) 7 5 c) b) 5 ) 5 ) a) b) 0 c) 0 ) a) ± b) ± c) ± ( ) + ) 5) b 6) a) sen 0º. cos 60º c) b) sen 55º cos 5º d) cos 5 + cos

55 7) cos 8º 8) a) b) c) d) e) S= = + k, ou = + k, k 8 8 S= =± + k, k k S= = S= /= + k, com k 8 k S= = +, com k 6 f) S= = k ou = + k, com k g) S = 5 h) S= = + k ou = + k 6 6 9) a) S = { / 0 } b) S= / + k + k c) S= / + k< < + k 7 d) S= /0 < ou e) S= / < < f) S= / < < ou < < 5