Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 13 de Março de 2014

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1 Funções - Aula 07 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 13 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Funções Inversas Definição Uma função f : A B será dita invertível, se existir g : B A (denotada por f 1 ) tal que g f = I A e f g = I B. Proposição Uma função f : A B será invertível se, e somente se, f for bijetora. Neste caso, a função inversa está definida por f 1 (y) = x f(x) = y, y B.

3 Exemplo A função f(x) = x 3 é injetora e a sua inversa de f sobre sua imagem é a função que denotamos por f 1 (x) = x 1/3. Mais tarde mostraremos que a sua imagem é R. Alerta: Não confunda f 1 (x) com 1 f(x) = [f(x)] 1. Para achar a função inversa: 1. Escreva y = f(x). 2. Resolva essa equação para x em termos de y. 3. Troque x por y para expressar f 1 como função de x.

4 Exemplo Calcule f 1 para a função f(x) = 1+3x (A = B = R). Escrevemos y = 1+3x. Resolvemos para encontrar x como função de y, ou seja, x = y 1. E substituindo y por x, obtemos 3 f 1 (x) = x 1. 3 Exercício: Determine, quando possível, a função inversa de: (a) f(x) = x 2 ; (b) f(x) = x 3 +2.

5 Observação: Note que G(f 1 ) = { (y,f 1 (y)) : y B } = {(f(x),x) : x A}. Com isto, fica fácil verificar que G(f 1 ) é a reflexão de G(f) em torno da reta y = x. Exercício: Esboce os gráficos de f(x) = x 1 e de sua função inversa.

6 Definição Diremos que f é limitada se, e somente se, o conjunto Im(f) for limitado. Caso contrário, a função f será dita ilimitada. Se A 1 A, então f será limitada em A 1 se, e somente se, a restrição f A1 for limitada. Observação: Segue da Definição 2 que se existir L > 0 tal que f(x) L, para todo x D f, ou, equivalentemente, se existirem L, l R tais que então f será limitada. l f(x) L, para todo x D f,

7 Exemplo (a) f(x) = x x é limitada; (b) f(x) = x4 x 4 +1 é limitada; (c) f(x) = 1 x é ilimitada. (d) f(x) = x 3 é ilimitada.

8 Definição Definimos sup(f) = sup{f(x) : x D f }. inf(f) = inf{f(x) : x D f }. Se sup(f) = f(x 0 ) para algum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o máximo de f ou o valor máximo de f. O ponto x 0 será chamado ponto de máximo de f. Se inf(f) = f(x 0 ) para algum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o mínimo de f ou o valor mínimo de f. O ponto x 0 será chamado ponto de mínimo de f.

9 Definição Definimos Se valer a implicação x < y = f(x) < f(y), então f será estritamente crescente. Se valer a implicação x < y = f(x) f(y), então f será crescente. Se valer a implicação x < y = f(x) > f(y), então f será estritamente decrescente. Se valer a implicação x < y = f(x) f(y), então f será decrescente.

10 Definição Se f : A B satisfizer uma das condições da Definição 4, diremos que f é uma função monótona ou monotônica. Exemplo f(x) = x 2 é estritamente crescente para x > 0 e estritamente decrescente para x < 0. Exemplo f(x) = x +1 é estritamente decrescente em (, 0) ou em x (0, ) mas não é monótona em (,0) (0, ). Observe que se x e y têm o mesmo sinal e x < y então f(x) = 1+ 1 x > 1+ 1 y = f(y).

11 Sabemos que em um triângulo retângulo de hipotenusa a e ângulos agudos B e Ĉ opostos, respectivamente, aos catetos b e c, temos a Ĉ B c b cos B = c a, cosĉ = b a, sen B = b a, senĉ = c a. Estas relações definem o seno e cosseno de um ângulo agudo. Note que sen B e cos B dependem apenas do ângulo B e não do tamanho do triângulo.

12 Segue do Teorema de Pitágoras que Logo a 2 = b 2 +c 2 = a 2 sen 2 B +a 2 cos 2 B = a 2 (sen 2 B +cos 2 B). 1 = sen 2 B +cos 2 B. (1) É claro que o seno e o cosseno de um ângulo agudo são números compreendidos entre 0 e 1. A relação (1) sugere que para todo ângulo α, os números cosα e senα são as coordenadas de um ponto da circunferência de raio 1 e centro na origem de R 2. Usaremos isto para estender as funções cosseno e seno para ângulos fora do intervalo (0, π/2).

13 Observação: Sempre que falarmos das funções seno e cosseno os ângulos serão sempre medidos em radianos (πradianos = 180 o ). Se considerarmos a circunferência unitária centrada na origem do R 2 e marcarmos, a partir do eixo x, um ângulo t, então poderemos definir sent e cost de forma que as coordenadas do ponto P sejam (cost,sent). P = (cost,sent) Q = (cosα,senα) t α 1 1 Assim, sen t e cos t coincidem com a definição original se 0 < t < π/2 e podem ser estendidas para qualquer t R, se marcarmos ângulos positivos no sentido anti-horário e ângulos negativos no sentido horário.

14 Proposição (Propriedades) (a) O seno é positivo no primeiro e segundo quadrantes e negativo no terceiro e quarto quadrantes. (b) O cosseno é positivo no primeiro e quarto quadrantes e negativo no segundo e terceiro quadrantes. (c) O seno e cosseno são funções 2π-periódicas com imagem no intervalo [ 1, 1]. (d) O cosseno é uma função par e o seno é uma função ímpar. ( π ) ( π ) (e) sent = cos 2 t e cost = sen 2 t. ( π ) ( π ) (f) sent = cos 2 +t e cost = sen 2 +t. (g) sent = sen(π t) e cost = cos(π t). (h) sent = sen(π +t) e cost = cos(π +t). ( π ( π (i) sen(0) = cos = 0 e cos(0) = sen = 1. 2) 2)

15 Proposição (Fórmulas de Adição) (a) cos(α + β) = cos(α) cos(β) sen(α)sen(β). (b) sen(α+β) = sen(α)cos(β)+sen(β)cos(α). Trocando β por β e utilizando a paridade das funções temos (c) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β). (d) sen(α β) = sen(α)cos(β) sen(β)cos(α). A partir das fórmulas de adição deduzimos Proposição (Arco Duplo) (a) cos(2α) = cos 2 (α) sen 2 (α). (b) sen(2α) = 2 sen(α) cos(α).

16 A partir das fórmulas do arco duplo e da identidade cos 2 α+sen 2 α = 1 deduzimos Proposição (Arco Metade) 1+cos(2α) (a) cos(α) = ±. 2 1 cos(2α) (b) sen(α) = ±. 2

17 A partir das fórmulas de adição obtemos Proposição (Transformação de Produto em Soma) (a) cos(α)cos(β) = 1 2 cos(α+β)+ 1 cos(α β), [somando (a) e 2 (c) da Proposição 3]. (b) sen(α)sen(β) = 1 2 cos(α+β) 1 cos(α β), [subtraindo (a) 2 e (c) da Proposição 3]. (c) sen(α)cos(β) = 1 2 sen(α+β) 1 sen(α β) [subtraindo (b) 2 e (d) da Proposição 3].

18 Proposição (Transformação de Soma em Produto) ( α+β ) ( α β ) (a) sen(α)+sen(β) = 2sen cos. 2 2 ( α+β ) ( α β ) (b) cos(α)+cos(β) = 2cos cos. 2 2

19 Prova: (a) Escreva α = α+β + α β e β = α+β α β utilize (b) e (d) da Proposição 3. (b) Escreva α e β como na parte (a) e utilize (a) e (c) da Proposição 3. e

20 De maneira análoga temos Proposição (Transformação de Subtração em Produto) ( α β ) ( α+β ) (a) sen(α) sen(β) = 2sen cos. 2 2 ( α+β ) ( α β ) (b) cos(α) cos(β) = 2sen sen. 2 2

21 Definição Definimos tg(α) = sen(α), D(tg) = {α : cosα 0} cos(α) cotg(α) = cos(α), D(cotg) = {α : senα 0} sen(α) cosec(α) = 1, D(cosec) = {α : senα 0} sen(α) sec(α) = 1, D(sec) = {α : cosα 0} cos(α)

22 Exercício: Dê um significado geométrico para tg(α), cotg(α), sec(α) e cosec(α). Exercício: Esboce os gráficos das funções tg, cotg, sec e cosec. Exercício: Classifique as funções trigonométricas em par, ímpar, periódica, limitada.