QUESTÕES-AULA 37. (a) O período da função F (x) é T = 3 0 = 3. Dividimos a reta em intervalos da forma:

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1 QUESTÕES-AULA Considere a função f(x) = 4 x, 0 x < 3. 3 (a) Construa uma função periódica F (x) definida em todo o R, tal que F (x) = f(x) para todo x [0, 3). (b) Determine o período, a frequência e a amplitude de F. (c) Desenhe o gráfico de F. (d) Calcule os valores: F (1), F ( ), F (3/3). (a) O período da função F (x) é T = 3 0 = 3. Dividimos a reta em intervalos da forma: [a+nt, a+(n+1)t ) = [0+3n, 0+3(n+1)) = [3n, 3(n+1)) = [3n, 3n+3); n Z Então definimos a função periódica F por F (x) = 4 (x 3n); x [3n, 3(n + 1)); n Z 3 Tomando n = 0 resulta F = f dado que, F (x) = 4 3 (x 3(0)); x [3(0), 3((0)+1)) isto é F (x) = 4 x; x [0, 3) 3 (b) O período da função F é T = 3 0 = 3(n + 1) 3n = 3 A frequência da função F é dada por 1 T = 1 3 A amplitude da função F é pois a imagem pois a imagem da função F é I F = [0, 4). (c) O gráfico das funções F e f é o seguinte, 1

2 (d) Para calcular F (1) observamos que 1 [0, 3) e neste intervalo F = f. Então F (1) = f(1) = 4 3 (1) = 4 3. Para calcular F ( ) determinamos n Z tal que [3n, 3n + 3) Resulta que 3n < 3n + 3 n 3 < n + 1 n = 1 Assim, F ( ) = f( 3( 1)) = f(1) = 4 3. Para calcular F (3/3) determinamos n Z tal que 3/3 [3n, 3n+3) Resulta que 3n 3 3 < 3n + 3 n 3 9 < n + 1 n = Assim, F (3/3) = f( 3 3 3()) = f(5 3 ) = = Dada a função g(x) = 4 cos(4π x+π), determine o seu período, amplitude, frequência, um ângulo de fase e desenhe o seu gráfico. Reescrevemos a função g na forma padrão g(x) = a cos(b(x c)). Temos que g(x) = 4 cos(4π(x )) = 4 cos(4π(x ( 1 4 ))) O período da função g é dado por T = π b = π 4π = 1 A amplitude da função g é dada por a = 4 = 4. A frequência da função g é dada por ω = 1 T = 1 1 Um ângulo de fase é 1 4. O gráfico da função é, =.

3 3. Determine os zeros de sen x e os zeros de cos x. Essas funções têm zeros em comum? Na figura 116, gráfico da função sen x, observamos que, Ou seja sen x = 0 x = 3π, π, π, 0, π, π, 3π sen x = 0 x = mπ; m Z Na figura 117, gráfico da função cos x, observamos que, cos x = 0 x = 5π, 3π, π, π, 3π, 5π Ou seja cos x = 0 x = (m + 1) π ; m Z A partir dos gráficos das funções sen x e cos x observamos que não possuim zeros em comum. Analiticamente, deveriamos determinar os valores dos inteiros m e n tais que sen x = cos x Equivalentemente deveremos ter que, mπ = (n + 1) π Simplificando π resulta que m = n+1. Esta igualdade nunca se cumpre dado que o lado esquerdo é sempre par e o lado direito é sempre impar. Assim, as funções sen x e cos x não possuim zeros em comum. 3

4 4. Determine os zeros de f(x) = sen x + cos x + 1, x [0, π] Verifique sua resposta. Temos que determinar os valores x [0, π] tais que f(x) = 0. Equivalentemente, determinamos os números x [0, π] tais que Temos que, sen x + cos x + 1 = 0 sen x + cos x + 1 = 0 sen x + cos x = 1 (sen x + cos x) = ( 1) Desenvolvendo o quadrado encontramos que, (sen x) + (cos x) + sen x cos x = 1 Dai, pela identidade fundamental resulta, 1 + sen x cos x = 1 sen x cos x = 0 sen x cos x = 0 Segue que cos x = 0 ou sen x = 0. Pelo exercício acima, x = (n + 1) π ou x = mπ; n, m Z Como procuramos soluções apenas no intervalo [0, π] consideramos n = 0, 1 e m = 0, 1,. Temos como possíveis soluções: 0, π, π, 3π, π. Tais possíveis soluções devem ser testadas já que ao elevar ao quadrado podem ser introduzidas soluções estranhas. Vejamos, Se x = 0, Logo x = 0 não é solução. Se x = π/, f(0) = sen (0) + cos(0) + 1 = = 0 f(π/) = sen (π/) + cos(π/) + 1 = = 0 Logo x = π/ não é solução. Se x = π, f(π) = sen (π) + cos(π) + 1 = = 0 Logo x = π é solução. Se x = 3π/, f(3π/) = sen (3π/) + cos(3π/) + 1 = = 0 Logo x = 3π/ é solução. 4

5 Se x = π, f(π) = sen (π) + cos(π) + 1 = = 0 Logo x = π não é solução. Concluimos então que π, 3π são os zeros da função dada no intervalo [0, π]. O gráfico da função f no intervalo [0, π] aparece na seguinte figura. 5. Determine um intervalo de comprimento máximo onde a função seno seja injetoras. No gráfico da função f(x) = sen x x R, usando o critério da reta horizontal, vemos que f(x) não é injetora: 5

6 Entretanto, um intervalo de comprimento máximo onde ela é injetora é I = [ π, π ] Assim a função, sen : [ π, π ] [ 1, 1] é bijetora e (estritamente) crescente. O gráfico desta função é, 6. Determine todos os valores x tais que (a) sen x = 1. (b) sen x > 1. (a) Consideramos os gráficos das funções f(x) = sen x e g(x) = 1 : 6

7 No intervalo [0, π] observamos que sen π 6 = sen5π 6 = 1. No intervalo [π, 3π] obtemos que sen 13π 6 = sen17π 6 = 1. (Estes valores são obtidos somando π a π 6 e 5π 6 ) No intervalo [ π, π] obtemos que sen 11π 6 = sen 7π = 1 6. (Estes valores são obtidos somando π a π 6 e 5π 6 ) Prosseguindo desta forma concluimos que o conjunto de pontos para os quais sen x = 1 é {x : x = π 6 + mπ, x = 5π 6 + mπ; m Z} (b) Do item (a) e do gráfico vem que o conjunto no qual é a união de intervalos ( 11π 6 ou equivalentemente f(x) = sen x > g(x) = 1, 7π ) (π 6 6, 5π ) (13π 6 6, 17π ) 6 f(x) = sen x > g(x) = 1 se x m Z (π 6 + mπ, 5π 6 + mπ) 7. Determine o valor máximo e mínimo para a função f(x) = Sabe-se que Então, 1 cos x 1, para todo x R 1 + cos x. 1 = 1 +cos x +1 = 3 1 +cos x cos x 1 Assim 1 3 f(x) 1 Concluimos que o valor mínimo para f é 1 e ocorre quando cos x = 1 e 3 o valor máximo para f é 1 e ocorre quando cos x = 1. O gráfico desta função é o seguinte, 7

8 8. Determine a imagem da função f(x) = sen x Sabe-se que 1 sen x 3 1 Multiplicando esta desigualdade por 3 e somando 1 obtemos, Assim sen x 3 1 senx f(x) 3 Concluimos que a imagem da função é o intervalo [ 1, 3]. 9. Esboce o gráfico da função f(x) = sen x. Lembremos que se x R temos que { x, se x 0 x = x, se x < 0 Então Ou seja sen x = sen x = { sen x, se x 0 sen ( x), se x < 0 { sen x, se x 0 sen x, se x < 0 Assim, para x 0 o gráfico de f(x) = sen x é o mesmo que o de sen x e para x < 0 o gráfico de f(x) = sen x é a reflexão do gráfico de sen x em relação ao eixo x. Assim temos a seguinte representação, 8

9 10. Determine todos os valores x para os quais (a) sen x = 1, (b) sen x = 1, (c) cos x = 1, (d) cos x = Determine os zeros das funções (a) f(x) = sen x 1. (b) g(x) = senx cos x cos x. (c) h(x) = sen x + cos x 1, x [0, π]. (d) f(x) = sen x + cos x + 1, x [0, π] 1. Determine todos os valores x tais que (a) cos x = 1. (b) cos x < Determine o valor máximo e mínimo para a função f(x) = 14. Determine o valor máximo e mínimo para a função g(x) = 3sen x + 7 cos x 15. O seno da soma de dois angulos x e y é dado por sen (x + y) = sen x cos y + seny cos x sen 3x. Use está fórmula para determinar o valor máximo e mínimo para a função onde a e b são constantes. f(x) = asen x + b cos x 9

10 16. Sabendo que sen x + cos x = 17. Determine a imagem das funções determinar sen x cos x. (a) f(x) = 5 cos x + 3. (b) g(x) = sen x Determine se as seguintes funções são pares ou impares (a) f(x) = sen 5x + sen 3x + 5sen x cos x (b) g(x) = cos 4x + x 3 sen x + 5x 19. É periódica a função h(x) = sen x? 0. Esboce o gráfico das funções (a) f(x) = sen x. (b) f(x) = sen x sen x. 10