Vejamos na seguinte tabela como se comportam os valores x(n) quando n aumenta. n

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1 QUESTÕES-AULA Considere a sequência de termo geral x : N R; x(n) = x n = 2n n π Considerando valores cada vez maiores para a variável independente n, pode-se observar que os valores x(n) ficam cada vez mais próximos de um número fixo. Você pode dizer que número é esse? Vejamos na seguinte tabela como se comportam os valores x(n) quando n aumenta. n x n (π)1, 5 (π)1, 75 (π)1, 875 (π)1, (π)1, (π)1, Observamos na tabela que quando n aumenta os valores x n vão ficando cada vez mais próximos do número 2π. Vejamos no seguinte gráfico os pontos (n, x n ) para n = 1, 2, 3, 5, 10, 12. Lembremos que a distância entre x n e 2π é dada por d(x n, 2π) = xn 2π = 2 n n π 2π = 2 n+1 π 2 n π 2 n 2π 1

2 Simplificando, obtemos d(x n, 2π) = xn 2π = 2π π 2 n 2π = π 2 n = π 2 n Observamos que esta distancia vai diminuindo quando n aumenta e assim d(x n, 2π) fica cada vez mais próxima de zero. 2. Determine o domínio máximo e a imagem para f(x) = 2 + x x 2. Esboce o gráfico. Para determinar o domínio máximo, devemos resolver a inequação 2 + x x 2 0, dado que podemos considerar raiz quadrada apenas de quantidades 0. Completando quadrados, resulta, 2 + x x 2 0 x 2 x 2 0 (x 1 2 ) x 2 Assim Dom(f) = [ 1, 2]. Para determinar o a imagem da função observemos que 1 x x (x 1 2 ) x 2 x x2 x x 2 + x Assim x x 2 3 e dai Im(f) = [0, 3/2]. 2 O gráfico da função dada ocorre no retângulo Dom(f) Im(f) = {(x, y) : x Dom(f) e y Im(f)} ou seja, o gráfico de f, denotado G f satisfaz, G f [ 1, 2] [0, 3/2] Tal retângulo é ilustrado na figura, 2

3 Para fazer um esboço do gráfico consideramos a seguinte tabela elaborada com 13 números do domínio de f. x -1-0,85-0,7-0,4-0,1 0,2 0,5 0,8 1,1 1,4 1,7 1,85 2 f(x) 0 0,65 0,9 1,2 1,37 1,47 1,5 1,47 1,37 1,2 0,9 0,65 0 Ligando esses pontos (x, f(x)) com segmentos retilíneos temos a seguinte representação da função f; 3

4 Observemos que denotando f(x) por y teremos y 0 e y = 2 + x x 2 y 2 = 2+x x 2 x 2 +y 2 x 2 = 0 (x 1 2 )2 +y 2 = ( 3 2 )2 Ou seja o gráfico de f é a metade superior da circunferência centrada em C = ( 1 2, 0) e de raio R = Determine a imagem da função f(x) = x 2 4x + 7, x [ 2, 3] Esboce o gráfico da função. Completamos quadrados na expressão dada: f(x) = x 2 4x + 7 = x 2 4x = (x 2) A partir do domínio da função Dom(f), determinamos a imagem Im(f). Temos que, 2 x 3 2 x (x 2) (x 2) Assim, 3 f(x) 19 ou seja Im(f) = [3, 19] Para fazer um esboço do gráfico consideramos a seguinte tabela elaborada com 11 números do domínio de f. x -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 f(x) 19 15, ,25 7 5,25 4 3,25 3 3,25 4 Ligando esses pontos (x, f(x)) com segmentos retilíneos temos a seguinte representação da função f; 4

5 4. Determine o domínio, imagem e gráfico para a função, Tem-se que para n 0 inteiro, f(x) = x x = n x 0 e n x < n + 1 n 2 x < (n + 1) 2, n 0, n Z Atribuindo valores para n nesta última desigualdade, representamos a função na forma, 0, x [0, 1) para n = 0 1, x [1, 4) para n = 1 f(x) = 2, x [4, 9) para n = 2...,... Assim, o domínio e a imagem da função são dados por, Dom(f) = [0, 1) [1, 4) [4, 9)... = [0, ) 5

6 Im(f) = {0, 1, 2, 3, } Graficando as funções constantes nos intervalos correspondentes teremos a seguinte representação para f: 5. Determinar o dominio, a imagem e graficar a função f(x) = x 2 + x + 2 Reescrevemos a função eliminando o módulo. Para isto, dividimos a reta R nos intervalos I 1 =], 2[, I 2 = [ 2, 2], I 3 =]2, + [ Se x I 1 então x 2 < 0 e x + 2 < 0. Segue que x 2 = x + 2 e x + 2 = x 2. Assim, f(x) = x + 2 x 2 = 2x isto é, f(x) = 2x se x I 1 Se x I 2 então x 2 0 e x Segue que x 2 = x + 2 e x + 2 = x + 2. Assim, f(x) = x x + 2 = 4 isto é, f(x) = 4 se x I 2 6

7 Se x I 3 então x 2 > 0 e x + 2 > 0. Segue que x 2 = x 2 e x + 2 = x + 2. Assim, f(x) = x 2 + x + 2 = 2x isto é, f(x) = 2x se x I 3 Concluimos que a função f pode ser reescrita na forma, 2x, se x I 1 =], 2[ f(x) = 4, se x I 2 = [ 2, 2] 2x, se x I 3 =]2, + [ Segue dai que Dom(f) = R. Para determinar a imagem observamos que se x I 1 então f(x) = 2x > 4. Se x I 2 então f(x) = 4. Se x I 3 então f(x) = 2x > 4. Portanto, Im(f) = [4, + [. Representando a função nos intervalos I 1, I 2 e I 3 obtemos o seguinte gráfico para f: 7

8 6. Desenhe o gráfico da função G : [2, 30] R que, a cada x [2, 30], faz corresponder o maior número primo menor ou igual a x. Determine a imagem de G. Na seguinte tabela dividimos o intervalo [2, 30] em 10 intervalos cujos extremos são números primos. Para cada x nesses intervalos calculamos G(x). x [2,3[ [3,5[ [5,7[ [7,11[ [11,13[ [13,17[ [17,19[ [19,23[ [23,29[ [29,30] G(x) O gráfico desta função é o seguinte, 8

9 7. Use o critério da reta vertical para determinar se as seguintes curvas representam funções: 8. Seja a função f definida no conjunto dos números naturais por, (a) Calcular f(5). f(n + 1) = f(n) 3 ; f(0) = 2 (b) Determinar o menor valor de n tal que f(n) < Determinar o domínio e a imagem para, (a) f(x) = x 2 1. (b) f(x) = 2x 2 + 5x 6. (c) f(x) = 4x2 1 2x x (d) f(x) = x Determine o domínio, imagem e gráfico para (a) f(x) = x 2 9. (b) f(x) = x. (c) f(x) = 2x. (d) f(x) = x x. 9

10 (e) f(x) = x. (f) f(x) = x x. 3 (g) f(x) =. x Seja y = f(x) a função que expressa a área de um retângulo de base x e de perímetro 2a, a > 0. determine o domínio e a imagem de f. 12. Determinar f(x) sabendo que f(x 5) = x 2 2x Se f(x + 4) = x 2 + 3x, determinar f(a + 1). 14. Se 4f(x 3) = x 2 +4 determinar os valores de k tais que Im(g) =] 3, 3[, sendo f(2x 3) kx g(x) = f(2x 3) + x, x R 15. Determinar Im(f) se, f(x) = x + 1 3, x [ 2, 4[. 1 + x Sendo f uma função definida por f(x 1) = 2f(x) + f(x + 1), tal que f(0) = 2 e f(1) = 1, calcular f(3). 17. Seja f(x) = ax 2 +bx+c tal que f(2x 3) = 4x 2 +5, x R. Determinar o valor de c. 18. Considere a função f(x) = 5x x x 2 Determinar o maior inteiro pertencente ao domínio de f. 19. Seja f a função que associa a cada número real x, o menor dos números x + 3 e x + 5. Determinar o valor máximo para f(x). 20. Considere a função f definida sobre R tal que f(1) = 1, f(x + 5) f(x) + 5 e f(x + 1) f(x) + 1. Se g(x) = f(x) x + 1, determinar g(2017). 10