CÁLCULO I. Lista Semanal 01 - Gabarito

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1 CÁLCULO I Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga Questão 1. Esboce as seguintes regiões no plano xy: (a) 0 < x 6. A região representa todas os pontos onde x assume valores entre 0 e 6, sendo aberto em 0 e fechado em 6. (b) x 2 + y 2 < 4. A região representa todos os pontos cuja distância até a origem é menor que 2, formando um disco. 1

2 (c) x 2 + y 2 = 0. A região representa o conjunto de pontos cuja distância até a origem é 0, ou seja, o próprio ponto (0, 0). (d) x 0, y 0, tal que x y. A região representa todo o primeiro quadrante, com exceção dos pontos pertencentes à reta x = y. Questão 2. Nos itens abaixo, diga se o problema pode ser resolvido com seus conhecimentos de ensino médio (vamos chamar de pré-cálculo) ou se são necessários conhecimentos de cálculo. Se o problema pode ser resolvido com pré-cálculo, resolva-o. Se lhe parece que o problema requer o cálculo, explique seu raciocínio e use uma abordagem numérica e/ou gráca para fazer uma boa estimativa da solução. Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga 2

3 (a) Calcular a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 4, y = x 1 e pelo eixo x. As retas nos dão duas regiões, como ilustrado na gura abaixo: Assim, temos dois triângulos retângulos, cuja área pode ser facilmente calculada. Logo, para 1 : analogamente, para 2 : S 1 = b h 2 = = 1 2 u.a. Somando as duas áreas: S 2 = = 9 2 u.a. S 1 + S 2 = = 5 u.a. Logo, é possível resolver este apenas com conhecimentos de pré-cálculo. (b) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da reta y = x, em torno do eixo x, quando 0 x 3. Rotacionando a reta y = x em torno do eixo x obtemos a seguinte imagem: A gura formada é um cone, cujo volume pode ser facilmente calculado com nosso conhecimento de geometria espacial, ou seja, com nossos conhecimentos de pré-cálculo. V cone = π r2 h 3 Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga 3

4 Para o nosso cone: r = 3 e h = 3, logo: V cone = π = 9π u.v. (c) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da curva y = x 3, em torno do eixo x, quando 0 x 3. Rotacionando y = x 3 em torno de x temos: Esta região não lembra nenhuma cujo volume possa ser calculado com fórmulas conhecidas da geometria, então os conhecimentos adiquiridos em pré-cálculo não são sucientes para resolução deste problema, portanto precisaremos de cálculo para encontrar seu volume. Uma ideia que pode nos levar a uma boa aproximação deste volume é dividir a região em vários discos, todos com centro no eixo X, e calcular o volume de cada um desses discos. Somando o volume de todos os discos teremos uma boa aproximação do volume do sólido. (d) Durante os 40 segundos iniciais de vôo, um foguete é disparado diretamente para cima, de forma que a altura atingida em t segundos é de s = 40 segundos? t3 10 m. Qual a velocidade instantânea ao m dos A velocidade instantânea de um corpo não pode ser calculada usando apenas o conhecimento de pré-cálculo. Uma alternativa para encontrarmos uma velocidade próxima da instantânea é calcular a velocidade média para um interavalo bem pequeno. Se tomarmos, por exemplo, t = 39, 9 e t = 40 teremos: Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga 4

5 V = s 403 t = 10 39, , 9 = 478, , 1 = 4788, m/s Este valor já é uma boa aproximação da Velocidade Instantânea. Para encontrarmos o valor exato precisaríamos diminuir cada vez mais o intervalo t, deixando-o cada vez mais próximo de zero. Questão 3. Suponha que, quando o preço de um certo produto é p reais por unidade, x centenas de unidades são compradas pelos consumidores, onde p = 0, 05x O custo para produzir x centenas de unidades é C(x) = 0, 02x 2 + 3x + 574, 77 centenas de reais. (a) Expresse o lucro P obtido com a venda de x centenas de unidades em função de x. Desenhe o gráco da função lucro. A função lucro pode ser escrita como: P (x) = x [p(x)] C(x) P (x) = 0, 05x x (0, 02x 2 + 3x + 574, 77) P (x) = 0, 07x x 574, 77 Temos então o gráco abaixo: (b) Qual o nível de produção x que resulta no maior lucro possível? Que preço unitário p corresponde o este lucro? Podemos calcular este valor usando a fórmula do x do vértice: x v = b 2a = O preço por unidade é dado por 35 = 250 centenas de unidades 0, 07.2 p = 0, 05x Para x = 250 temos p = 0, p = 25, 5 reais. Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga 5

6 Questão 4. Diga se a armação é verdadeira ou falsa. Em cada item, justique a sua resposta. (a) Se h é uma função e h(a) = h(b), então a = b. Falsa. Um contra exemplo simples seria escolher h(x) = x 2. Neste caso teríamos h(2) = h( 2) = 4, porém claramente 2 2. (b) Seja f : R R uma função real e g(x) = f(x 2 +2x 1), então g = f o h, onde h(x) = x 2 +2x 1. Verdadeira. Sendo f o h = f(h(x)) temos f o h = f(x 2 + 2x 1), logo: g(x) = f(x 2 + 2x 1) = f o h (c) Se f é inversível e x = p é solução da equação f(p) = 0, então f 1 (p) = 2. Falsa. Um contra exemplo simples para essa armação é tomando p=0, pois assim: f(0) = 0 f 1 (0) = 0 O que já entra em conito com a armação de que f 1 (p) = f 1 (0) = 2 (d) O gráco da função y = g(3x) é o gráco de y = g(x) comprimido verticalmente por um fator de 3. Falsa. Multiplicar o argumento por um número maior que 1 causa uma compressão horizontal do gráco da função. (e) Um ponto de interseção dos grácos de h(x) e h 1 (x) deve estar sobre a reta y = x. Falso. Tome a função h(x) = 1 x, tem-se que h 1 (x) = 1, ou seja, os grácos de h(x) x e h 1 (x) coincidem em todo os pontos. Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga 6

7 Questão 5. A gura a seguir mostra o gráco de y = x 2 transladado para quatro novas posições. Escreva uma equação para cada novo gráco (a) para cima: O gráco (a) é o gráco de f(x) deslocado em 1 unidade para a direita e 4 unidades g(x) = f(x 1) + 4 = (x 1) Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga 7

8 (b) O gráco (b) é o gráco de f(x) deslocado em 2 unidades para a esquerda e 3 unidades para cima: h(x) = f(x + 2) + 3 = (x + 2) (c) O gráco (c) é o gráco de f(x) deslocado em 4 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo: p(x) = f(x + 4) 1 = (x + 4) 2 1 Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga 8

9 (d) O gráco (d) é o gráco de f(x) deslocado em 2 unidades para a direita: q(x) = f(x 2) = (x 2) 2 Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga 9