MATRIZES VETORES E GEOMETRIA. Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais

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1 MATRIZES VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais Março 2002

2 Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Copyright c 2002 by Reginaldo de Jesus Santos Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização, por escrito, do autor. Editor, Coordenador de Revisão, Supervisor de Produção, Capa e Ilustrações: ISBN Ficha Catalográfica S237m Santos, Reginaldo J. Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica / - Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, Geometria Anaĺıtica I. Título CDD: 516.3

3 Capítulo 5 Seções Cônicas Neste capítulo estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da interseção de um cone circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hipérbole e a parábola, que são chamadas de cônicas não degeneradas. Vamos defini-las em termos de lugares geométricos. As outras cônicas, que incluem um único ponto, um par de retas, são chamadas cônicas degeneradas. 5.1 Cônicas Não Degeneradas Elipse 289

4 290 Seções Cônicas Definição 5.1. Uma elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos) é constante, ou seja, se dist(f 1, F 2 ) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(p, F 1 ) + dist(p, F 2 ) = 2a, em que a > c. Proposição 5.1. (a) A equação de uma elipse cujos focos são F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) é x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (5.1) em que b = a 2 c 2. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F 1 = (0, c) e F 2 = (0, c) é em que b = a 2 c 2. x 2 b 2 + y2 a 2 = 1, (5.2) Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

5 5.1 Cônicas Não Degeneradas 291 y B 2 A 1 A 2 F 1 F 2 x B 1 A 1 = ( a, 0) B 1 = ( b, 0) F 1 = ( c, 0) A 2 = (a, 0) B 2 = (b, 0) F 2 = (c, 0) Figura 5.1: Elipse com focos nos pontos F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) Março 2002

6 292 Seções Cônicas y A 2 F 2 B 1 B 2 x A 1 = (0, a) B 1 = ( b, 0) F 1 A 2 = (0, a) B 2 = (b, 0) F 1 = (0, c) A 1 F 2 = (0, c) Figura 5.2: Elipse com focos nos pontos F 1 = (0, c) e F 2 = (0, c) Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

7 5.1 Cônicas Não Degeneradas 293 Demonstração. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a demonstração da segunda parte. A elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(p, F 1 ) + dist(p, F 2 ) = 2a, ou seja, que neste caso é P F 1 + P F 1 = 2a, (x + c)2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a ou (x + c)2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2. Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx. Elevando novamente ao quadrado e simplificando, obtemos (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) Como a > c, então a 2 c 2 > 0. Assim, podemos definir b = a 2 c 2 e dividir e equação acima por a 2 b 2 = a 2 (a 2 c 2 ), obtendo (5.1). Nas Figuras 5.1 e 5.2, os pontos A 1 e A 2 são chamados vértices da elipse. Os segmentos A 1 A 2 e B 1 B 2 são chamados eixos da elipse. A reta que passa pelos focos é chamada eixo focal. A excentricidade da elipse é o número e = c. Como, c < a, a excentricidade de uma elipse a Março 2002

8 294 Seções Cônicas Figura 5.3: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

9 5.1 Cônicas Não Degeneradas 295 Figura 5.4: Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano Março 2002

10 296 Seções Cônicas é um número real não negativo menor que 1. Observe que se F 1 = F 2, então a elipse reduz-se à circunferência de raio a. Além disso, como c = 0, então e = 0. Assim, uma circunferência é uma elipse de excentricidade nula. A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície Hipérbole Definição 5.2. Uma hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que o módulo da diferença entre as distâncias de P a dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos) é constante, ou seja, se dist(f 1, F 2 ) = 2c, então a hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = 2a, em que a < c. Proposição 5.2. (a) A equação de uma hipérbole cujos focos são F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) é x 2 a 2 y2 b 2 = 1 (5.3) Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

11 5.1 Cônicas Não Degeneradas 297 e das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando x ± ), em que b = c 2 a 2. y = ± b a x, (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F 1 = (0, c) e F 2 = (0, c) é y 2 a 2 x2 b 2 = 1 (5.4) e das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando x ± ), em que b = c 2 a 2. x = ± a b y, Março 2002

12 298 Seções Cônicas Demonstração. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a demonstração da segunda parte. A hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = ±2a, ou seja, P F 1 P F 2 = ±2a, que neste caso é (x + c)2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = ±2a ou (x + c)2 + y 2 = ±2a + (x c) 2 + y 2. Elevando ao quadrado e simplificando, temos ±a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx. Elevando novamente ao quadrado e simplificando, temos (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) Como a < c, então c 2 a 2 > 0. Assim, podemos definir b = c 2 a 2 e dividir e equação acima por a 2 b 2 = a 2 (a 2 c 2 ), obtendo (5.3). Se a equação (5.3) é resolvida em y obtemos y = ± a b x2 a 2 que, para x > 0, pode ser escrita como y = ± b a x 1 a2 x. 2 Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

13 5.1 Cônicas Não Degeneradas 299 y = b a x y y = b a x A 1 A 2 F 1 F 2 x A 1 = ( a, 0) A 2 = (a, 0) F 1 = ( c, 0) F 2 = (c, 0) Figura 5.5: Hipérbole com focos nos pontos F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) Março 2002

14 300 Seções Cônicas y y = a b x y = a b x F 2 A 2 x A 1 F 1 A 1 = (0, a) F 1 = (0, c) A 2 = (0, a) F 2 = (0, c) Figura 5.6: Hipérbole com focos nos pontos F 1 = (0, c) e F 2 = (0, c) Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

15 5.1 Cônicas Não Degeneradas 301 Se x tende a +, então o radical no segundo membro se aproxima de 1 e a equação tende a y = ± b a x. O mesmo ocorre para x < 0, quando x tende a (verifique!). Nas Figuras 5.5 e 5.6, os pontos A 1 e A 2 são chamados vértices da hipérbole. A reta que passa pelos focos é chamada eixo focal. A excentricidade da hipérbole é o número e = c a. Como, c > a, a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior que 1. A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eixo que não passa pelo vértice Parábola Definição 5.3. Uma parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano eqüidistantes de uma reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), não pertencente a r, ou seja, a parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(p, F ) = dist(p, r). Março 2002

16 302 Seções Cônicas Figura 5.7: Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

17 5.1 Cônicas Não Degeneradas 303 Proposição 5.3. é (a) A equação de uma parábola com foco F = (p, 0) e reta diretriz r : x = p y 2 = 4px. (5.5) (b) A equação de uma parábola com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = p é x 2 = 4py. (5.6) Demonstração. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a demonstração da segunda parte. A parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(p, F ) = dist(p, r), que neste caso é (x p)2 + y 2 = x + p, Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos (5.5). Nas Figuras 5.8, 5.9, 5.10 e 5.11, o ponto P 0 é o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz e é chamado de vértice da parábola. A parábola é a curva que se obtém seccionando-se um cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone conforme a Figura 5.7 na página 302. Março 2002

18 304 Seções Cônicas y r : x = p P 0 F x F = (p, 0) P 0 = (0, 0) Figura 5.8: Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p > 0 Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

19 5.1 Cônicas Não Degeneradas 305 y F = (0, p) P 0 = (0, 0) x r : y = p Figura 5.9: Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p > 0 Março 2002

20 306 Seções Cônicas y r : x = p F P 0 x F = (p, 0) P 0 = (0, 0) Figura 5.10: Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p < 0 Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

21 5.1 Cônicas Não Degeneradas 307 r : y = p y P 0 x F F = (0, p) P 0 = (0, 0) Figura 5.11: Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p < 0 Março 2002

22 308 Seções Cônicas Caracterização das Cônicas Vamos mostrar a seguir que todas as cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência, podem ser descritas de uma mesma maneira. Proposição 5.4. Seja s uma reta fixa ( diretriz) e F um ponto fixo ( foco) não pertencente a s. O conjunto dos pontos do plano P = (x, y) tais que em que e > 0 é uma constante fixa, é uma cônica. (a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola. (b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse. (c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole. dist(p, F ) = e dist(p, s), (5.7) Reciprocamente, toda cônica que não seja uma circunferência pode ser descrita por uma equação da forma (5.7). Demonstração. Se e = 1, a equação (5.7) é a própria definição da parábola. Vamos considerar o caso em que e > 0, com e 1. Seja d = dist(f, s). Sem perda de generalidade podemos tomar o foco como sendo o ponto F = (p, 0) e a diretriz como sendo a reta vertical s : x = p, em que e2 Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

23 5.1 Cônicas Não Degeneradas 309 y s : x = p e 2 F (p, 0) x Figura 5.12: Elipse, um de seus focos e a reta diretriz à direita Março 2002

24 310 Seções Cônicas y s : x = p e 2 F (p, 0) x Figura 5.13: Hipérbole, um de seus focos e a reta diretriz à direita Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

25 5.1 Cônicas Não Degeneradas 311 y s : x = p e 2 F (p, 0) x Figura 5.14: Elipse, um de seus focos e a reta diretriz à esquerda Março 2002

26 312 Seções Cônicas y s : x = p e 2 F (p, 0) x Figura 5.15: Hipérbole, um de seus focos e a reta diretriz à esquerda Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

27 5.1 Cônicas Não Degeneradas 313 p = de2 se a reta s estiver à direita do foco F (Figuras 5.12 e 5.13) e p = de2 1 e 2 à esquerda do foco F (Figuras 5.14 e 5.15). Assim o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que e 2 1 se a reta s estiver dist(p, F ) = e dist(p, s), pode ser descrito como sendo o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que (x p)2 + y 2 = e x p, e 2 Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos que pode ainda ser escrito como (1 e 2 )x 2 + y 2 = p 2 ( 1 e 2 1 ) x 2 + y2 p 2 p 2 (1 e 2 ) e 2 = 1. (5.8) e 2 Se 0 < e < 1, esta é a equação de uma elipse. Se e > 1, é a equação de uma hipérbole. Para mostrar a recíproca, considere uma elipse ou hipérbole com excentricidade e > 0 e um dos focos em F = (p, 0). É fácil verificar que (5.8) é a equação desta cônica e portanto (5.7) também o é, com a reta diretriz sendo s : x = p e. 2 Março 2002

28 314 Seções Cônicas Exercícios Numéricos (respostas na página 583) Reduzir cada uma das equações de forma a identificar a cônica que ela representa e faça um esboço do seu gráfico: (a) 4x 2 + 2y 2 = 1 (c) x 2 9y 2 = 9 (b) x 2 + y = Escreva as equações das seguintes elipses: (a) Os focos são F 1 = ( 1, 2) e F 2 = (3, 2) e satisfaz dist(p, F 1 ) + dist(p, F 2 ) = 6; (b) Os focos são F 1 = ( 1, 1) e F 2 = (1, 1) e satisfaz dist(p, F 1 ) + dist(p, F 2 ) = 4; Escreva as equações das seguintes hipérboles: (a) Os focos são F 1 = (3, 1) e F 2 = (3, 4) e satisfaz dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = 3; (b) Os focos são F 1 = ( 1, 1) e F 2 = (1, 1) e satisfaz dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = 2; Escreva as equações das seguintes parábolas: (a) O foco é F = (0, 2) e diretriz y = 2; (b) O foco é F = (0, 0) e diretriz x + y = 2; Exercícios Teóricos Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

29 5.1 Cônicas Não Degeneradas Mostre que a equação da elipse com focos nos pontos F 1 = (x 0 c, y 0 ) e F 2 = (x 0 + c, y 0 ) e satisfaz dist(p, F 1 ) + dist(p, F 2 ) = 2a, em que a > c é em que b = a 2 c 2. (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1, Mostre que a equação da hipérbole com focos nos pontos F 1 = (x 0 c, y 0 ) e F 2 = (x 0 +c, y 0 ) e satisfaz dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = 2a, em que a < c é em que b = c 2 a 2. (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1, Mostre que a equação da parábola com foco no ponto F = (x 0 + p, y 0 ) e reta diretriz r : x = x 0 p é (y y 0 ) 2 = 4p(x x 0 ) Seja uma elipse ou hipérbole com um dos focos em F = (p, 0). Definindo a reta r : x = p e 2, em que e é a excentricidade. (a) Mostre que x 2 + y2 p 2 p 2 (1 e 2 ) e 2 e 2 = 1 Março 2002

30 316 Seções Cônicas é a equação desta cônica. (b) Mostre que esta cônica pode ser descrita pelo conjunto de pontos P = (x, y) tais que dist(p, F ) = e dist(p, r). Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

31 Capítulo 5. Seções Cônicas Cônicas não Degeneradas (página 314) (a) 4x 2 + 2y 2 = 1 pode ser reescrita como x2 + y2 = 1, que é a equação de uma elipse 1/4 1/2 com focos em (0, ±c), em que c = 1/4 + 1/2 = 3/2. Março 2002

32 584 Respostas dos Exercícios 1 y x Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

33 Capítulo 5. Seções Cônicas 585 (b) x 2 + y = 0 pode ser reescrita como y = x 2, que é a equação de uma parábola com foco em (0, 1/4) e reta diretriz y = 1/4. (c) Dividindo x 2 9y 2 = 9 por 9 obtemos x2 y2 = 1, que é a equação de uma hipérbole 9 1 com focos em (±c, 0), em que c = = 10. Março 2002

34 586 Respostas dos Exercícios 0.6 y x Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

35 Capítulo 5. Seções Cônicas y x Março 2002

36 588 Respostas dos Exercícios (a) (x + 1) 2 + (y 2) 2 + (x 3) 2 + (y 2) 2 = 6 (x + 1)2 + (y 2) 2 = 6 (x 3) 2 + (y 2) 2. Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos 2x + 11 = 3 (x + 1) 2 + (y 2) 2. Elevando novamente ao quadrado e simplificando, obtemos 5x 2 + 9y 2 10x 36y 4 = 0. (b) (x + 1) 2 + (y + 1) 2 + (x 1) 2 + (y 1) 2 = 4 (x + 1)2 + (y + 1) 2 = 4 (x 1) 2 + (y 1) 2. Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos 4 (x + y) = 2 (x 1) 2 + (y 1) 2. Elevando novamente ao quadrado e simplificando, obtemos 3x 2 + 3y 2 2xy 16 = (a) (x 3) 2 + (y + 1) 2 (x 3) 2 + (y 4) 2 =±3 (x 3)2 + (y + 1) 2 = ±3 + (x 3) 2 + (y 4) 2. Matrizes Vetores e Geometria Anaĺıtica Março 2002

37 Capítulo 5. Seções Cônicas 589 Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos 5y 12 = ±3 (x 3) 2 + (y 4) 2. Elevando novamente ao quadrado e simplificando, obtemos 16y 2 9x x 48y 81 = 0. (b) (x + 1) 2 + (y + 1) 2 (x 1) 2 + (y 1) 2 =±2 (x + 1)2 + (y + 1) 2 = ±2 + (x 1) 2 + (y 1) 2. Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos (x + y) 1 = ± (x 1) 2 + (y 1) 2. Elevando novamente ao quadrado e simplificando, obtemos 2xy 1 = (a) x 2 + (y 2) 2 = y + 2. Elevando ao quadrado e simplificando obtemos x 2 4y = 0 (b) (x 0) 2 + (y 0) 2 = x + y 2. Elevando ao quadrado e simplificando obtemos 2 x 2 2xy + y 2 + 4x + 4y 4 = 0. Março 2002