Escalas em Gráficos. Pré-Cálculo. Cuidado! Cuidado! Humberto José Bortolossi. Parte 4. Um círculo é desenhado como uma elipse.

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Escalas em Gráficos Parte 4 Parte 4 Pré-Cálculo 1 Parte 4 Pré-Cálculo 2 Cuidado! Cuidado! Um círculo é desenhado como uma elipse. Se os eixos coordenados são desenhados com escalas diferentes, distorções podem aparecer! y y y x 0 1 x 0 1 x (escalas iguais para os eixos) (escalas diferentes para os eixos) Parte 4 Pré-Cálculo 3 Parte 4 Pré-Cálculo 4

2 Cuidado! Cuidado! Um quadrado é desenhado como um retângulo. y Ângulos são distorcidos. y x 0 1 x Parte 4 Pré-Cálculo 5 Parte 4 Pré-Cálculo 6 Contudo, escalas diferentes podem ser necessárias! Cuidado: escalas no PowerPoint y = f (x) =1000 x 2 y x Parte 4 Pré-Cálculo 7 Parte 4 Pré-Cálculo 8

3 Cuidado: escalas no PowerPoint Cuidado: TV widescreen Parte 4 Pré-Cálculo 9 Parte 4 Pré-Cálculo 10 Transformações de funções Objetivo: Transformações de Funções dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c, obter os gráficos das funções y = f (x + c), y = f (x)+c, y = c f (x), y = f (c x), y = f ( x ) e y = f (x). Parte 4 Pré-Cálculo 11 Parte 4 Pré-Cálculo 12

4 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) =f (x + c) =f (x + 5)? Caso g(x) =f (x + c) x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) =f (x + c) =f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Parte 4 Pré-Cálculo 13 Parte 4 Pré-Cálculo 14 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Parte 4 Pré-Cálculo 15 Parte 4 Pré-Cálculo 16

5 Moral Somar uma constante c a variável independente x de uma função f tem o efeito geométrico de transladar horizontalmente para a direita (quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f. Caso g(x) =f (x)+c Parte 4 Pré-Cálculo 17 Parte 4 Pré-Cálculo 18 Transformações de funções: g(x) =f (x)+c Transformações de funções: g(x) =f (x)+c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) =f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Parte 4 Pré-Cálculo 19 Parte 4 Pré-Cálculo 20

6 Transformações de funções: g(x) =f (x)+c Moral Somar uma constante c a uma função f tem o efeito geométrico de transladar verticalmente para cima (quando c > 0) ou verticalmente para baixo (quando c < 0) o gráfico de f. Parte 4 Pré-Cálculo 21 Parte 4 Pré-Cálculo 22 Transformações de funções: g(x) =f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) =f (c x) =f (0.4 x)? Caso g(x) =f (c x) x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c>0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) =f (c x) =f (4 x)? x domínio de g (c>0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Parte 4 Pré-Cálculo 23 Parte 4 Pré-Cálculo 24

7 Transformações de funções: g(x) =f (c x) Transformações de funções: g(x) =f (c x) Parte 4 Pré-Cálculo 25 Parte 4 Pré-Cálculo 26 Moral Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para 0 < c < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f. Caso g(x) =c f (x) Parte 4 Pré-Cálculo 27 Parte 4 Pré-Cálculo 28

8 Transformações de funções: g(x) =c f (x) Transformações de funções: g(x) =c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) =2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Parte 4 Pré-Cálculo 29 Parte 4 Pré-Cálculo 30 Transformações de funções: g(x) =c f (x) Moral Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < c < 1) verticalmente o gráfico de f. Parte 4 Pré-Cálculo 31 Parte 4 Pré-Cálculo 32

9 Transformações de funções: g(x) = f (x) Multiplicar uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo-x o gráfico de f. MMMMMMMMMMMMMMM MMMMMMM Caso g(x) = f (x) Parte 4 Pré-Cálculo 33 Parte 4 Pré-Cálculo 34 Transformações de funções: g(x) =f ( x) Multiplicar a variável independente x de uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo-y o gráfico de f. MM MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM Caso g(x) =f ( x) Parte 4 Pré-Cálculo 35 Parte 4 Pré-Cálculo 36

10 Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. Caso g(x) = f (x) f (x) =x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Parte 4 Pré-Cálculo 37 Parte 4 Pré-Cálculo 38 Transformações de funções: g(x) =f ( x ) g(x) =f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. Caso g(x) =f ( x ) f (x) =x 3 3 x x + 1 g(x) =f ( x ) = x 3 3 x x + 1 Parte 4 Pré-Cálculo 39 Parte 4 Pré-Cálculo 40

11 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) =f (x 2) = x 2 Exercício resolvido y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) =h(x)+4 = 4 x 2 Parte 4 Pré-Cálculo 41 Parte 4 Pré-Cálculo 42 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x A função raiz quadrada y = h(x) =g(x)+4 = 4 x y = l(x) =h(x 2) =4 x 2 Parte 4 Pré-Cálculo 43 Parte 4 Pré-Cálculo 44

12 A função raiz quadrada f : [0, + ) [0, + ) x y = f (x) =x 2 Já demonstramos que f : [0, + ) [0, + ) é injetiva. Já mencionamos que f : [0, + ) [0, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0, + ) [0, + ) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação x Explicando... Se a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0, + ) [0, + ) x y = f (x) =x 2 f 1 : [0, + ) [0, + ) x y = f 1 (x) = x a 0, pois como vamos calcular a = f 1 (a), a deve estar no domínio de f 1, que é igual ao contradomínio de f, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, + ). a é único, pois se não fosse único, f 1 não seria uma função. a 0, pois a = f 1 (a) pertence ao contradomínio de f 1, que é igual ao domínio de f, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, + ). para representar f 1 (x). a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( a) 2 =(f 1 (a)) 2 = f (f 1 (a)) = (f f 1 )(a) =a. Note então que, se a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Parte 4 Pré-Cálculo 45 Parte 4 Pré-Cálculo 46 A função raiz quadrada Propriedades a R, a 2 = a. a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b. a 0, b > 0, a a a a b = e a 0, b < 0, b b =. b A função raiz quadrada é crescente: a, b 0, a < b a < b. a, b 0, a + b a + b. Parte 4 Pré-Cálculo 47 Parte 4 Pré-Cálculo 48

13 Propriedade: demonstração a R, a 2 = a. Propriedade: demonstração a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b. Demonstração. Considere o número p = a. Como vimos, p = a 0. Vale também que p 2 = a 2 = a 2. De fato: se a 0, então a 2 = a a = a a = a 2 e, se a < 0, então a 2 = a a =( a) ( a) =a 2. Como a 2 éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a 2, segue-se que a 2 = p = a. Demonstração. Considere o número p = a b. Note que p = a b 0 como produto de dois números 0. Vale também que p 2 =( a b) 2 = a b. De fato: p 2 =( a b) 2 =( a) 2 ( b) 2 = a b. Como a b éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a b, seguese que a b = p = a b. A demonstração de que a, b 0, a b = a b fica como exercício. Parte 4 Pré-Cálculo 49 Parte 4 Pré-Cálculo 50 Propriedade: demonstração a 0, b > 0, a b = a b e a 0, b < 0, a a b =. b Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: a, b 0, a < b a < b. Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a/ b 0 como divisão de um número 0 por um número > 0. Vale também que p 2 =( a/ b) 2 = a/b. De fato: ( ) 2 a p 2 = = ( a) 2 b ( b) = a 2 b. Como a/b éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, seguese que a/b = p = a/ b. a 0, b < 0, a/b = a/ b fica como exercício. Demonstração. Sejam a, b 0 com a < b. Note que b > 0, b > 0, b a > 0e b + a > 0. Uma vez que podemos escrever que (b a) =( b a) ( b + a), b a = b a b + a. Assim, b a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, a < b. Naturalmente, vale também que se 0 a b, então a b. Parte 4 Pré-Cálculo 51 Parte 4 Pré-Cálculo 52

14 Propriedade: demonstração a, b 0, a + b a + b. Propriedade: demonstração a, b 0, a + b a + b. Demonstração. Sejam a, b 0. Inicialmente, observe que a + b 0e a + b 0 como soma de dois números 0. Note também que a b 0 como produto de dois números 0. Agora 0 a b 0 2 a b a + b a + 2 a b + b a + b ( a + b) 2. Como 0 a + b ( a + b) 2, usando a propriedade anterior, concluímos que a + b ( a + b) 2. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9eb = 16: a + b = 5 < 7 = 3+4 = a+ b. Quando vale a igualdade? Resposta: a, b 0e a + b = a + b a = 0oub = 0. Mas, pela primeira propriedade, ( a + b) 2 = a + b = a + b. Portanto, vale que a + b a + b. Parte 4 Pré-Cálculo 53 Parte 4 Pré-Cálculo 54 Exercício As funções f (x) = x 1 x 1 x 2 e g(x) = são iguais? x 2 Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f, mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: D f =(, 1] (2, + ) e D g =(2, + ). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = D f D g =(2, + ), as duas funções são iguais: f = g. (2,+ ) (2,+ ) A distância euclidiana entre dois pontos no plano Parte 4 Pré-Cálculo 55 Parte 4 Pré-Cálculo 56

15 A distância euclidiana entre dois pontos no plano A equação do círculo no plano Parte 4 Pré-Cálculo 57 Parte 4 Pré-Cálculo 58 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1. A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1. 5 y d((x, y), (4, 3)) = 1 (x 4) 2 +(y 3) 2 = 1 ( (x 4) 2 +(y 3) 2 ) 2 = (x, y) (4, 3) (x 4) 2 +(y 3) 2 = x Parte 4 Pré-Cálculo 59 Parte 4 Pré-Cálculo 60

16 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a. Parte 4 Pré-Cálculo 61 Parte 4 Pré-Cálculo 62 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a. Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a. Parte 4 Pré-Cálculo 63 Parte 4 Pré-Cálculo 64

17 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a. Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a. Parte 4 Pré-Cálculo 65 Parte 4 Pré-Cálculo 66 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Funções da forma f (x) =x n, com n N Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a. Parte 4 Pré-Cálculo 67 Parte 4 Pré-Cálculo 68

18 Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n, com n um número par. Importante: se n N, x n é uma notação para } x x {{ x}. n fatores Propriedades: (1) x R, n, m N, x n x m = x n+m. Prova: x n x m = x x x } {{ } n fatores x x x }{{} m fatores (2) x R, n, m N, (x n ) m = x n m. Prova: exercício! = x x x }{{} n+m fatores = x n+m. (1) A função f é par. (2) A função f é crescente em [0, + ). Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ). (3) A imagem de f é o intervalo [0, + ). Prova: será feita na disciplina de cálculo. Parte 4 Pré-Cálculo 69 Parte 4 Pré-Cálculo 70 Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n, com n um número ímpar. (1) A função f é ímpar. (2) A função f é crescente em R =(, + ). Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ). (3) A imagem de f é R =(, + ). Prova: será feita na disciplina de cálculo. Proposição Seja f : R R definida por y = f (x) =x n, com n N. (a) Se 0 < x < 1, então x n+1 < x n. (b) Se x > 1, então x n+1 > x n. Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 x < x x < 1 x, isto é, 0 < x 2 < x. Agora, se 0 < x 2 < x, então 0 x < x 2 x < x x, isto é, 0 < x 3 < x 2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos que 0 < x n+1 < x n, para todo n N. Isto demonstra a parte (a). A parte (b) fica como exercício. Parte 4 Pré-Cálculo 71 Parte 4 Pré-Cálculo 72

19 Revisão: funções da forma x elevado a n A função raiz n-ésima Parte 4 Pré-Cálculo 73 Parte 4 Pré-Cálculo 74 A função raiz n-ésima: caso n par f : [0, + ) [0, + ) x y = f (x) =x n, com n par. Já demonstramos que f : [0, + ) [0, + ) é injetiva. Já mencionamos que f : [0, + ) [0, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0, + ) [0, + ) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos as notações n x e x 1/n A função raiz n-ésima: caso n ímpar f : (, + ) (, + ) x y = f (x) =x n, com n ímpar. Já demonstramos que f : (, + ) (, + ) é injetiva. Já mencionamos que f : (, + ) (, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : (, + ) (, + ) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos as notações n x e x 1/n para representar f 1 (x). para representar f 1 (x). Note então que, se n é par e a 0, então n a éoúnico número real 0 que, elevado a n, dá o número real a. Note então que, se n é ímpar e a R, então n a éoúnico número real que, elevado a n, dá o número real a. Parte 4 Pré-Cálculo 75 Parte 4 Pré-Cálculo 76

20 A função raiz n-ésima Cuidado! Se n é par, o domínio de f (x) = n x = x 1/n é [0, + ). Se n é ímpar, o domínio de f (x) = n x = x 1/n é R. Parte 4 Pré-Cálculo 77 Parte 4 Pré-Cálculo 78 Propriedades da função raiz n-ésima para n par Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar Se n é par, a R, n a n = a. Se n é ímpar, a R, n a n = a. Se n é par, a, b 0, n a b = n a n b e a, b 0, n a b = n a n b. Se n é ímpar, a, b R, n a b = n a n b. Se n é par, a 0, b > 0, n a b = n a n b e a 0, b < 0, n a b = n a n b. Se n é ímpar, a R, b R {0}, n a b = n a n b. A função raiz n-ésima é crescente (n par): a, b 0, a < b n a < n b. A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): a, b R, a < b n a < n b. Se n é par, a, b 0, n a + b n a + n b. Se n é ímpar, a, b 0, n a + b n a + n b. Parte 4 Pré-Cálculo 79 Parte 4 Pré-Cálculo 80

21 Observações Mais propriedades As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada. Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do binômio de Newton pode ser útil: (a + b) n = n i=0 ( ) n a n i b i. i Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n a + b n a + n b da última propriedade. De fato: se a = 1, b = 1 e n = 3, então = 3 2 > 2 = Se n é par e m N, então x 0, Se n é ímpar e m N, então x R, Se m é par ou n é par, então x 0, Se m e n são ímpares, então x R, n x m =( n x) m. n x m =( n x) m. n m x = nm x. n m x = nm x. Parte 4 Pré-Cálculo 81 Parte 4 Pré-Cálculo 82