UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Lista de Exercícios / Cálculo Numérico 1ª Unidade
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- Luiz Henrique Alencar
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1 1) Analise as alternativas abaixo e marque V para verdadeiro e F para falso. No segundo caso, explique como as tornaria verdadeiras: ( ) O método das secantes é utilizado para solucionar um problema de underflow do método de Newton (que ocorre quando f (x i ) fica muito próximo de zero, visto que se encontra no denominador) ( ) Métodos diretos são métodos que partem de uma aproximação inicial da solução do problema, e, partir dela, gera-se uma sequência de aproximações sucessivas cujo limite é a solução procurada. ( ) O número de operações no método iterativo de Jacobi ou de Gauss-Seidel depende da quantidade de coeficientes não nulos em cada equação. ( ) O método para resolução de sistemas lineares responsável por decompor a matriz ampliada do sistema no produto de duas matrizes triangulares (facilitando e agilizando os cálculos) é chamado método de Gauss. ( ) Quando ocorre Overflow, o número desejado não pode ser representado na máquina, porque seu valor ultrapassa o maior valor possível na máquina para mais e o menor valor para menos. ( ) Para aplicar o método dos mínimos quadrados (MMQ), não importa se o polinômio é linear nos parâmetros. ( ) O método de Gauss-Seidel nada mais é que um aprimoramento do método de Jacobi, utilizando, ainda na mesma iteração, novos valores calculados para variáveis anteriores; o que agilizada bastante os cálculos, principalmente se houver um número maior de iterações. ( ) Em uma máquina não existe uma distribuição uniforme de seus números a menos que seja fixado um expoente. ( ) A escolha de qual é a função que melhor representa um fenômeno em estudo é feita utilizando o método das cordas. ( ) O sistema Normal tem solução única e essa solução é o ponto de mínimo em MMQ. 2) Relacione as palavras chaves com o método de resolução de sistemas lineares de que se trata. a) Eliminação de Gauss ( ) Para Gauss-Seidel com convergência lenta b) Decomposição LU ( ) Produto de matrizes triangulares equivalentes c) Jacobi/Gauss-Seidel ( ) Obter uma matriz triangular equivalente d) Sobre-relaxação Sucessiva ( ) Alteração valor das variáveis por iteração Monitora: Isabel Catão Página 1
2 3) O menor e o maior número positivo de máquina, respectivamente, podem ser representados por: a) 1, x b e0 / b 2, b 2... b 2 x b e3 b) 0, x b e1 / b,b... b x b e4 c) 0, x b e1 / (b-1),(b-1)... (b-1) x b e2 d) 1, x b e1 / (b-1),(b-1)... (b-1) x b e2 4) Sabe-se que existem os métodos iterativos e os métodos diretos para resolução de sistemas lineares. A alternativa que melhor explica quando não é inteligente utilizar métodos diretos é: a) Os coeficientes das equações são valores muito distantes ou o sistema de mais de dez equações. b) O sistema de equações lineares é muito grande ou se a matriz correspondente a ele tem grande maioria de seus elementos nulos (matriz esparsa). c) Os novos valores de variáveis são obtidos de modo indireto e sem mais de duas iterações. d) O sistema de equações, na forma matricial, possui muitas colunas, ou seja, muitas variáveis. 5) Trata-se de um método da categoria de quebra, ou seja, o intervalo de separação da raiz de uma função é dividido em dois e o processo se repete sempre com o intervalo que possui a raiz, até que aquele seja tão pequeno quanto se deseja. O método descrito acima é: a) Método de quebra equivalente b) Método das secantes c) Método da dupla divisão d) Método da bisseção e) Método de Jacobi 6) Em uma certa elipse a distância r de um de seus pontos a um dos seus focos a foi calculada experimentalmente e obteve-se a tabela a seguir onde x é o ângulo entre o segmento ar e o eixo principal da elipse. Sabe-se que a elipse pode ser descrita pela expressão: r = ρ 1 ε cos x Usando o método dos mínimos quadrados determine o valor de ε considerando ρ = 150. Use 4 casas decimais e o arredondamento padrão. x i 0 π/4 π/2 3π/2 π f(x i ) Monitora: Isabel Catão Página 2
3 7) Considere o computador hipotético F ( 10, 5, - 5, 5 ). Para essa máquina, responda: a) Quantos números reais têm representação exata nela? b) Quais as suas regiões de Overflow e Underflow? c) Qual o seu maior e o menor gap (distância entre dois números de máquina consecutivos)? d) Nela, dê um exemplo (e verifique) de uma adição onde ocorre o problema de underflow e outro de overflow na divisão de dois números dela. 8) Determine, aproximadamente, usando o método de Newton-Raphson, a maior interseção entre as curvas: h(x) = e x, e P ( x ) = ax 2 + bx, onde os coeficientes a e b são obtidos pelo Método dos Mínimos Quadrados ( MMQ ) a partir dos pontos: x g(x) Para tal, localize-a graficamente. A seguir, analiticamente, determine um intervalo de amplitude 0,1 contendo tal raiz. Parta do ponto médio desse intervalo e faça iterações até que x n+1 - x n Caso essa condição não seja satisfeita até n = 2 (três iterações), pare. Trabalhe com 5 decimais e o arredondamento padrão. 9) Seja a máquina F(10, 3, -5, 5) e o arredondamento padrão: a) Utilizando números da máquina F, dê dois exemplos de operações básicas (adição, subtração ou multiplicação) tal que: uma operação resulte em underflow; a outra operação resulte em overflow. b) Sejam a = 87,45 e b = 3,515, verifique se (a b) 2 = a 2 + b 2 2(ab). Execute as operações da esquerda para a direita. c) Se x é um número real tal que x = 3, _ onde _ significa um algarismo qualquer de 0 a 9, qual é o erro máximo devido ao arredondamento de x. Para o tabelamento abaixo, calcule a melhor função de ajuste da forma P(x) = ax b, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados e todos os pontos do tabelamento. Use três casas decimais e arredondamento padrão. i x i f(x i ) Monitora: Isabel Catão Página 3
4 10) Considere o seguinte sistema linear. 2x 1 + 3x x 3 = 6 { 10x 1 + 2x 2 + x 3 = 7 x 1 + 5x 2 + x 3 = 8 Usando o método de Gauss-Seidel, determine os valores de x (3) = (x 1 (3), x 2 (3), x 3 (3) ), isto é, 3 iterações. Parta de x (0) = (x 1 (0), x 2 (0), x 3 (0) ) = (0.7, 1.6, 0.6). Caso o sistema linear acima não seja de diagonal estritamente dominante, utilize um sistema equivalente que o seja (demonstre). Use quatro casas decimais e arredondamento padrão. 11) Utilizando todos os pontos do tabelamento abaixo, aplique o método dos mínimos quadrados para calcular a melhor função de ajuste do tipo P(x) = x (a 0 x 2 + a 1 x + a. 2 Para solucionar o sistema de equações lineares, aplique o método de Gauss-Seidel até que max 1 i n x i (k) x i (k 1) < 0.08 ou até que sejam executadas 3 iterações. Use x (0) = (0,5; 1,5; -1,5) t como aproximação inicial. Não se preocupe em demonstrar as condições de convergência para o sistema encontrado (ele já possui convergência garantida). x i f(x i ) 0,25 0,4 0,25 12) Considere as máquinas F(10,15,-8, e 2 ) e G(10,4,-5,5). a) Qual deve ser o menor valor possível de e 2 da máquina F de forma que (i) o erro máximo obtido em um arredondamento padrão seja menor que 10-6 e que (ii) a quantidade de números com representação exata seja maior que b) Defina a região do conjunto dos números reais representáveis pela máquina G. c) Sendo x = , y = e z = podemos afirmar que xy z = x( y z) em G? Demonstre sua resposta. 13) Responda aos itens que seguem, justificando suas respostas. a) Quantos números podem ser representados de maneira exata tanto pela máquina F1(2,2, 9,9) quanto pela máquina F2(5,2, 9,9) (isto é, simultaneamente nas duas máquinas)? Justifique. b) Considere a máquina de ponto flutuante F(10,2, 3,3) e os valores a = 1.255, b = 2.45, c = 1.15 e d = Verifique se (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Faca as operaçõoes da esquerda para a direita, respeitando a ordem de precedência entre as operaçõoes e os parêntesis. c) Informe o intervalo de Underflow e de Overflow da máquina G(10,5, 16,15). 14) Os dados ao abaixo (gráfico) representam a produção diária de barris de petróleo (em milhões) da Petrobras. Considerando que a série histórica é dada pela função: Monitora: Isabel Catão Página 4
5 P (x) = a e bx, determine, aproximadamente, usando o MMQ (método dos mínimos quadrados) uma estimativa dessa produção para o ano de O sistema de equações lineares resultante deve ser resolvido pelo método iterativo de Jacobi se a condição de convergência (diagonal estritamente dominante) para tal método for satisfeita. Caso contrário, use o método direto que lhe convier. Se for usado o método iterativo devem ser feitas 2 iterações (partindo do vetor nulo). Trabalhe com 2 casas decimais. (Obs.: Para facilitar os cálculos considere ; ;... ). 15) Considere f(x) = e x 1 x. a) Esboce o gráfico de g(x) = e x e o gráfico de h(x) = 1/x. Use os gráficos para localizar graficamente a raiz de f mais próxima da origem, se existir. b) Determine analiticamente, um intervalo de separação I = [a,b], de amplitude 0.1, que contenha tal raiz. c) Usando o método de Newton-Raphson aplicado à função f com x 0 = ponto médio de I (I obtido no item anterior), calcule os valores de x i, para i = 0,1,...,n. Pare quando x i+1 x i ou n = 4, o que ocorrer primeiro. Use cinco casas decimais e arredondamento padrão. 16) Identifique entre uma linha ou uma parábola aquela curva cuja forma melhor se ajuste ao tabelamento abaixo (use todos os pontos). Utilize o Método dos Mínimos Quadrados e erro quadrático. Observe que para o modelo correspondente à linha e à parábola, o sistema linear formado será do tipo 2 2 e 3 3 respectivamente. Para o modelo da linha, use um método direto para resolver o sistema linear correspondente. Para o modelo da parábola, use três iterações do método de Gauss-Seidel para determinar os valores de x 3,y 3,z 3 ; parta de (x 0,y 0,z 0 ) = (0.5,0.5,0.5). (Não se preocupe com a convergência, ela é demonstrada para esse tipo de sistema). Use três casas decimais e arredondamento padrão. i λ i f(λ i ) Monitora: Isabel Catão Página 5
6 17) Seja a máquina de ponto flutuante F(10,4, 9,9) que opera seguindo arredondamento padrão, responda os itens que seguem, justificando suas respostas. a) Indique como os números a = e b = serão representados por F. Considere a e b as representações de a e b em F respectivamente; verifique se a operação a + b causa overflow em F. b) Calcule a área total de um cilindro de raio R = 65.14u e altura h = u usando a máquina F. A fórmula que deverá ser usada é Area = (2π)(R 2 )+(2π)(hR). Faça as operações da esquerda para a direita, respeitando a ordem de precedência entre as operações e os parêntesis. c) Seja a máquina de ponto flutuante G(10,3, 90,90), podemos afirmar que G possui mais elementos que F? 18) Considere f(x) = x 3 + cos(x) x 2 x. (Argumento em radiano.) a) Localize graficamente a raiz de f mais próxima da origem. b) Determine analiticamente, um intervalo de separação I = [a,b], de amplitude 0.1, que contenha tal raiz. c) Usando o método de Newton-Raphson aplicado à função f com x0 = ponto médio de I (I obtido no item anterior), encontre os valores de xi, para i = 0, 1, 2, 3. Use cinco casas decimais e arredondamento padrão. 19) Seja f (x) = x 3 e x + 2. a) Localize graficamente a raiz negativa da função f(x) mais próxima da origem. b) Determine, analiticamente, um intervalo de separação de amplitude 1 referente à raiz localizada no item anterior. (Prove que este é um intervalo de separação) c) Use o método de Newton para encontrar a raiz de f(x) utilizando como aproximação inicial o ponto médio do intervalo definido no item b. Execute o método até que f(x) <1, e x k+1 x k < 1, Execute, no máximo, 4 iterações. Trabalhe com 4 decimais e arredondamento padrão. 20) Considere o sistema de equações lineares: 3x 1 + 2x 2 + 6x 3 = 0 { 5x 1 + x 2 + x 3 = 5 3x 1 + 6x 2 + x 3 = 6 Determine o valor aproximado do vetor solução dele, usando o método iterativo de Gauss- Seidel, partindo do vetor nulo e usando 3 casas decimais. Pare quando: max 1 i 3 x i (k+1) x i (k) < ou quando k = 1 (duas iterações), o que ocorrer primeiro. Utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão. Monitora: Isabel Catão Página 6
7 21) Seja o seguinte tabelamento: x i 1 1,5 2,5 3,5 f(x i ) 10 4,25-1,25 3,25 Determine o polinômio de grau 2, P(x) = ax 2 + bx + c que melhor se ajusta a este tabelamento mas que admite x = 2 e x = 3 como suas raízes. Use o arredondamento padrão e quatro casas decimais de precisão. 22) Determine, aproximadamente, o vetor solução do sistema de equação linear a seguir, com tolerância de 10-2, isto é, faça iterações até que: max 1 i n x i (k+1) x i (k) < Caso isso não ocorra até a terceira iteração, pare. Use 3 casas decimais e arredondamento padrão. Parta do vetor nulo e use o método iterativo de Gauss-Seidel, depois de obter uma condição suficiente de convergência para o método. 7x 1 10x 2 + 2x 3 = 0 { 3x 1 + 2x 2 6x 3 = 10 5x 1 + 2x 2 x 3 = 7 23) Suponha que a tabela de pontos abaixo seja modelada por uma função de ajuste exponencial na forma: P(x) = ae bx. Usando o MMQ (método dos mínimos quadrados) calcule a estimativa para x = 6. O sistema normal resultante deve ser resolvido pelo método de eliminação de Gauss-Jordan. x i f(x i ) ? Monitora: Isabel Catão Página 7
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