Exercícios de Cálculo - Prof. Ademir

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1 Exercícios de Cálculo - Prof. Ademir Funções, limites e continuidade. Considere f : IR IR definida por f(x) = x 4x + 3. (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Determine os valores de x para os quais f(x).. Considere f : IR IR definida por f(x) = x + x 3 + x 5. (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Determine os valores de x para os quais f(x) Calcule cos x (a) lim. x x x x x 4 (c) lim x ( + x) x Um tanque contém 5 litros de água pura. Água salgada contendo 3 gramas de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. (a) Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (gramas/litro) é C(t) = (b) O que acontece com a concentração de sal quando t? 3t + t. 5. Considere a região limitada pela reta de equação y = 3x+6 e pela parábola definida por y = x, indicada na figura abaixo. Determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região. y x 6. Considere f : IR IR definida por f(x) = x 3 + 3x x. Mostre que f tem três raízes distintas, sendo duas negativas e uma positiva. Encontre um intervalo com uma unidade de comprimento que contém a raiz positiva de f.

2 7. Calcule x (a) lim. x 4 x 4 f(a + h) f(a), onde f(x) = e x e a IR é uma constante. h h 8. Calcule x 4 4x + (a) lim x x 3 x x +. ( x + x ). x 9. Considere a função f, cujo gráfico é esboçado na figura abaixo. (a) Encontre cada limite, ou explique por que ele não existe. lim f(x) lim f(x) lim f(x) lim f(x) x x x + x lim f(x) lim f(x) lim f(x) lim f(x) x 4 x 4 + x 4 x 5 (b) Dê as equações das assíntotas horizontais e verticais. (c) Em que pontos f é descontínua? lim f(x) x lim f(x) x Calcule 3x (a) lim. x + x x 3 + x x x x 3 x + 3x 3.. Considere f : IR IR definida por f(x) = x 5 + x + 3. Mostre que f tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento / que contém esta raiz.. Calcule ( ) (a) lim x sin. x x x 3 x x x + x.

3 3. Considere f : IR IR definida por f(x) = x3. Mostre que f tem uma raiz real e + x encontre um intervalo de comprimento / que contém esta raiz. Derivadas 4. Seja f : IR IR definida por f(x) = x 3 x, pede-se: (a) Os intervalos de crescimento e de decrescimento de f. (b) Os pontos extremos locais e/ou globais. (c) Um estudo da concavidade do gráfico. (d) O gráfico de f. 5. Usando a regra de L Hospital, calcule (a) lim x cos x x. x e x x x x Considere a função f : (, ) IR dada por f(x) = x. (a) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa a. (b) Determine os pontos onde a reta tangente corta os eixos coordenados. (c) Calcule a área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos. 7. Mostre que e x x +, para todo x IR. Sugestão: considere a função f(x) = e x x. 8. Uma empresa de energia elétrica vai instalar cabos para ligar dois pontos, A e B, que estão localizados nas margens de um rio, conforme ilustrado na figura da esquerda, abaixo. A empresa usará dois tipos de cabos, um deles que será submerso, custa 5 unidades monetárias por km e ligará o ponto A ao ponto P. O outro, que será usado ao longo da margem, custa 3 unidades monetárias por km e ligará os pontos P e B. Determine o ponto P, de modo que o custo total seja minimizado. A, km C P km B

4 9. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f : IR IR definida por f(x) = x, que passa pelo ponto (, ).. Uma partícula se move com velocidade constante, conforme ilustrado na figura da direita. Determine a velocidade com que o ângulo θ aumenta quando x = 6. Faça o mesmo para x = e x =. θ 8 x 4m/s. Considere f : IR IR definida por f(x) = x 4. (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Determine os valores de x para os quais não existe f (x).. Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de uma placa retangular de medidas a e b, recortando-se os quatro cantos e dobrando como indicado abaixo. Encontre uma expressão para o volume da caixa como função de x. Em seguida, considerando a = e b = 8, determine as dimensões da caixa para que o volume seja máximo. 3. Calcule (a) lim x a x a x a. f(a + h) f(a), onde f(x) = e x e a IR é uma constante. h h 4. Considere f : IR IR definida por f(x) = x x + 3. (a) Calcule f (x). (b) Verifique que f (x), para todo x IR.

5 ( 5. Calcule a derivada de f : π, π ) IR definida por f(x) = y = arctg x. (Sugestão: mostre primeiro que d dy tg y = + tg y.) 6. Mostre que a função f : IR IR definida por f(x) = x x + 3 é crescente. 7. Considere a região limitada pela reta de equação y = 3x+6 e pela parábola definida por y = x, indicada na figura abaixo. Utilizando derivadas, determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região. y x 8. Dada a função f : IR IR por f(x) = x4 4 5x x, pede-se: (a) Os intervalos de crescimento e de decrescimento de f. (b) Os pontos extremos locais e/ou globais. (c) Um estudo da concavidade/convexidade do gráfico. (d) Os pontos de inflexão. (e) O gráfico de f. 9. Considere f : IR IR definida por f(x) = x 4x + 3. Calcule quando existir ou justifique a não existência das derivadas f (), f (3) e f (5). 3. Considere f : IR IR definida por f(x) = x + 3. Existem duas retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (, ). Determine a equação de cada uma delas e represente geometricamente. 3. Calcule a derivada das funções: (a) f(x) = x ln x. (b) f(x) = x sin x. (c) f(x) = x x. (d) f(x) = arccos(x). (e) f(x) = e sin x. 3. Uma empresa pretende produzir latas de litro de volume. Encontre as dimensões que minimizam o custo do metal para produzir a lata.

6 33. Encontre os pontos da parábola y = x mais próximos do ponto (, ). Represente geometricamente. 34. Considere f : IR IR definida por f(x) = x 3 3x x + 3. (a) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f, que são paralelas à reta de equação y = x. (b) Encontre a intersecção da reta tangente ao gráfico de f em P = (, 3) com o eixo x. ( 35. Encontre o ponto da curva y = x que está mais próximo do ponto, ). ( ) x sen se x, 36. Calcule f (), sendo f : IR IR definida por f(x) = x se x =. Integrais 37. Determine a área da região A = { (x, y) IR x y x }, esboçada na figura abaixo. 38. Calcule 39. Calcule 3 x 3 x + dx. x cos x dx. 4. Represente geometricamente o balde, obtido pela rotação da região B = { (x, y) IR x 4, y x } em torno do eixo x e calcule seu volume. 4. Calcule: (a) x x + dx. (b) e x cos x dx.

7 (c) x e x dx. (Lembre que x = e xln ) 4. Considere a região A = { (x, y) IR x, y }. Determine o volume do sólido x obtido pela rotação da região A em torno do eixo y. 43. Considere a função f : IR IR definida por f(x) = x 3 3x + x, cujo gráfico é esboçado na Figura. Determine a área da região indicada Figura : Gráfico de f(x) = x 3 3x + x. 44. Considere a função f : IR IR definida por f(x) = sin x, cujo gráfico é esboçado na primeira ilustração da Figura. Determine a área da região indicada. 45. Considere a região { (x, y) IR x, y x 3}, esboçada na segunda ilustração da Figura. Determine a área desta região. 46. Considere a região A = { (x, y) IR x y x }, esboçada na terceira ilustração da Figura. Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região A em torno do eixo horizontal Figura : Diversos 47. Resolva a equação diferencial x = tx e esboce o gráfico de duas soluções. 48. Resolva a equação diferencial x = t(x ). Esta equação tem alguma solução constante? t + 3

8 49. Seja f : IR IR derivável até a a ordem e tal que f (x) = f(x), x IR. (a) Prove que g(x) = e x (f (x) f(x)) é constante. ( ) f(x) Ae x (b) Prove que existe uma constante A IR tal que =. (c) Conclua que existe uma constante B IR tal que f(x) = Ae x + Be x, x IR. 5. Calcule a integral 6 f(x) dx, onde f é dada pelo gráfico a abaixo. e x