(d) f (x) = ln (x + 1) (e) f (x) = sinh (ax), a R. (f) f(x) = sin(3x)

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1 Lista de Cálculo Diferencial e Integral I Derivadas 1. Use a denição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) x 1 2x + (b) f (x) x + 1 (d) f (x) ln (x + 1) (e) f (x) sinh (ax), a R (c) f(t) cos( t 2 ) (f) f(x) sin(x) Nos exercícios de (2) a (4) é dado f(x) e o ponto x 0. Pede-se: (a) um esboço do gráco de f; (b) as derivadas laterais de f no ponto x 0 ; (c) f é derivável em x 0? Se for, quanto vale f (x 0 )? (d) O gráco de f admite reta tangente no ponto (x 0, f(x 0 ))? Se sim, determine a equação da reta tangente neste ponto. 2. f(x) { x se x < 1 2x + 1 se x 1 x 0 1. f(x) { x 2 4 se x < 2 x 2 se x 2 x f(x) 1 2 x 1 x Considere f(x) x 2 x 6. (a) Faça o gráco de f. (b) Por intuição, diga se o gráco admite reta tangente ou não nos pontos ( 2, 0) e (, 0). (c) Obtenha a resposta do item (b), fazendo as contas. 6. Sejam f(x) { x sin(1/x) se x 0 0 se x 0 e g(x) { x 2 sin(1/x) se x 0 0 se x 0. (a) Mostre que f, apesar de ser contínua, não é derivável em 0. (b) Mostre que g é derivável em 0. Quanto é g (0)? 7. Considere a função f(x) { se x < 1 se x 1. Acompanhe o raciocínio: Como f é constante para x < 1 e também para x > 1, segue que f (1) 0 e que f +(1) 0. Logo, f (1). Mas f é descontínua no ponto 1 e, pelo teorema visto em sala, f não é derivável em 1! Explique qual é o erro. 1

2 { x 8. Seja f a função denida por f(x) 2, se x 2. Determine, se possível, os valores das ax + b, se x > 2 constantes a e b para que f seja uma função derivável em x Suponha que f uma função contínua em a e que g(x) (x a)f(x). Mostre que g é derivável em a. Determine g (a). 10. Mostre que a derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de uma função ímpar é uma função par, se estas derivadas existirem. 11. Sejam f, g funções deriváveis em R e seja h f g. Mostre que se g é par, então h (0) Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples. (a) f(x) (x 2 + 2x 4)(x 4 5) (b) f(x) ( 2x 2 + 1) (c) f(t) t t 2 (d) f(x) (x + 1) x (e) f(x) (1 + x) (f) f(x) ln (9x + 4) (g) f(x) ln(sin 2 (x)) (h) f(x) sinh(x 2 ) (i) f(x) xe x e x (j) f(x) x(x2 1) 1 x 2 (k) f(x) 2x + log 2 (4x 2 ) (l) f(x) x ln x (m) f(x) ln( x) + ln x (n) f(x) cossec (2 x ) (o) f(x) e 2x ln x (p) f(x) e x ln(x) (q) f(x) sec( x 1) (r) f(x) 2 4x e cos(x) (s) f(x) cotg (1 x 2 ) (t) f(x) x ln(x) + ln(ln(x)) (u) f(x) sech (2x) (v) f(x) x x2 (w) f(x) tan(5x) (x) f(x) e xx 1. Nos exercícios de (a) a (l) determine y f (x), com as simplicações possíveis, sendo y f(x) a expressão dada. (a) x ln y y ln x 1 (g) y arcsin(x ) (b) e xy x + y 2 11 (c) 8x 2 + y 2 10 (d) y x sin y (e) (y 2 9) 4 (4x 2 + x 1) 2 (f) cos 2 (yx) ln(xy) Seja f (x) 1 x. (h) y (1 + arccos(x)) (i) y ln(arctan(x 2 )) (j) y 2 e x tg x (k) y arctan(x 5) (l) y arcsin( x) 2

3 (a) Determine o coeciente angular da reta tangente ao gráco de y f(x), no ponto de abscissa x 1. (b) Determine a equação da reta tangente no ponto mencionado. (c) Determine os pontos da curva y f(x) em que a reta tangente tem inclinação de Determine as coordenadas dos pontos da curva f (x) x x 2 + 2x em que a reta tangente é paralela ao eixo x. 16. Mostre que as retas tangentes à curva f (x) π sin x x um ângulo reto. em x π e x π, interceptam-se formando 17. Determine as abscissas dos pontos do gráco de y x cos (2x), nos quais as retas tangentes são perpendiculares a reta r : 2x + 4y Dada a curva f (x) x 1. Determine a equação da reta normal a esta curva no ponto em que a reta tangente é paralela à reta r : x + 2y Seja x 2 + xy + y 2 uma curva, se existir determine as equações das retas tangentes a esta curva e que sejam paralelas a retas r : x + y Se existir, escreva a equação da reta normal a curva ( x ) y 4x x e que passe pela origem do sistema cartesiano. 21. Mostre que as retas tangentes às curvas 4y x 2 y x + 5y 0 e x 4 4y + 5x + y 0, na origem, são perpendiculares. 22. Determine a equação da reta normal à curva C : xy 2 + y 2x 2y + 2 no ponto em que a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor. 2. Seja P o ponto de interseção das curvas C 1 : 2x 2 + y 2 5 e C 1 : y 2 x. Mostre que as retas tangentes às curvas C 1 e C 2 são perpendiculares no ponto P. 24. Se f(x) 1 x, obtenha uma fórmula para f (n) (x) onde n é um inteiro positivo. Quanto é f (n) (1)? 25. Determine a expressão da derivada n-ésima em cada caso: (a) f(x) e ax, com a R. (b) f(x) (a + bx) m, com a, b R e m N (c) f(x) x x + 1 (d) f(x) ln(2x ) 26. Sejam f : R R uma função diferenciável duas vezes e g : R R dada por g(x) f(x + 2 cos(x)). (a) Determine g (x). (b) Se f (2) 1 e f (2) 8, calcule g (0). 27. Considere a função g (x) cos x. [f (x)] 2,, onde f : R R é duas vezes diferenciável. Se f (0) 1 e f (0) f (0) 2, determine g (0). 28. Determine:

4 ( (a) f (0) sabendo que f sin x ) 2 f (x π) + x π. (b) a fução g sabendo que (f g) (x) 24x + 4, f (x) x 2 x 1 e g (x) 2. (c) (g f h) (2), sabendo que f (0) 1, h (2) 0, g (1) 5 e f (0) h (2) Determine a constante k para que y(x) kcotgh(x)sech(x) seja solução da equação diferencial yy + cotgh(x)cossech 2 (x) Determine o valor das constantes A e B para que a função y A sin(2x) + B cos(2x) seja solução da equação diferencial y + y 2y sin(2x). 1. Seja C uma circunferência com centro na origem e raio igual a 2. Mostre que a tangente a C no ponto P (1, ) é ortogonal a reta r que passa pela origem e pelo ponto P. Respostas 1. (a) f 5 (x) (2x + ) 2 (b) f 1 (x) 2 x + 1 (c) f (t) cos( t 2 ) 2 2. (b) f (1) 2 f +(1) (c) Sim, f (1) 2 (d) sim, y 2x + 1 (d) f (x) 1 x + 1 (e) f (x) a cosh (ax), (f) f (x) cos(x) a R. (b) f (2) 0 e f +(2) não existe (c) Não (d) Não admite reta tangente 4. (b) f (2/9) /2 e f +(2/9) /2 (c) Não (d) Não admite reta tangente 5. Não admite retas tangentes 6. (b) g (0) 0 8. a 12 e b

5 (a) f (x) 18x x 4 16x 0x 10 (b) f (x) 12x(1 2x 2 ) 2 (c) f (t) 2t 4 t (d) f (x) (x + 1)2 (x 1) 2x x (e) f (x) (1 + x) 2 x 2 (f) f (x) 9 9x + 4 (g) f (x) 2cotg (x) (h) f (x) 2x cosh(x 2 ) (i) f (x) xe x (j) f (x) 2x2 1 1 x 2 (k) f (x) 9 x ln(9) + 2 log 2(e) x (l) f (x) 1 + ln x (m) f (x) 1 2x ( 1 ln x + 1 ) (n) f (x) 2 x ln(2)cotg (2 x )cossec (2 x ) (o) f (x) e 2x ( 1 x 2 ln x ) (p) f (x) x x (ln(x) + 1) (q) f (x) tan( x 1) sec( x 1) 2 x 1 (r) f (x) 16 x e cos(x) (ln(16) sin(x)) (s) f (x) 2xcossec 2 (1 x 2 ) (t) f (x) 2 ln2 (x)x ln(x) + 1 x ln(x) (u) f (x) 2 tanh(2x)sech (2x) (v) f (x) x x2 +1 (2 ln(x) + 1) (w) f (x) 5 ln(x) tan(5x) sec 2 (5x) (x) f (x) x x e xx (ln(x) + 1) 1. (a) y y(y x ln y) x(x y ln x) (b) y x2 ye xy 6y + xe xy (c) y 8x y (d) y sin y 1 x cos y (e) y (4x2 + x 1)(8x + ) 4(y 2 9) (f) y y x (g) y x2 ln() arcsin(x ) 1 x 6 (h) y 9(1 + arccos(x))2 1 9x 2 (i) y 2x arctan(x 2 )(1 + x 4 ) (j) y e x [ 6 x tan( x) + sec 2 ( x)] 4y x (k) y 9x 2 0x + 26 (l) y 1 2 x x (a) 1 2 (b) 2y + x (c) não existe 15. Não existem 16. Mostre que o produto dos coecientes angulares é x 7π 11π + kπ ou x kπ, k Z 18. y 2x y x 2 e y x + 2 5

6 20. y x 21. m e m y 7x m 1 ± 2 e m f (n) (x) ( 1)n n! x n+1 e f (n) (1) ( 1) n n! 25. (a) f (n) (x) a n e ax (b) f (n) (x) m(m 1)(m 2) (m (n 1))(a + bx) m n b n, se n m e f (n) (x) 0, se n > m (c) f (n) (x) ( 1)n+1 n! (x + 1) n+1 (d) f (n) (x) ( 1)n 1 2 n (n 1)! (2x ) n 26. (a) g (x) f (x + 2 cos(x))(1 6 sin(x)) 2 18 cos(x)f (x + 2 cos(x)) (b) g (0) g (0) 28. (a) f (0) 6 5 (b) g(x) 2x + (c) k 1 ou k A 20 e B m t e m r. 6