Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Provas e listas: Cálculo Diferencial e Integral I Período Sérgio de Albuquerque Souza 4 de maio de 205

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática - a Lista/Roteiro Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Data: 08/Out/204 Turno: Tarde Curso: Nome: Período: 4.2 Turma: 02 Matrícula: a Questão Considere as seguintes funções abaixo: a) a(x) = x + 3 b) b(x) = x c) c(x) = (x + ) 2 4 d) d(x) = 3 (x ) e) e(x) = log 2 (x + ) + 2 i) Faça um esboço do gráfico das funções abaixo, exibindo as raízes, os pontos de interseção como eixo y e as assintotas verticais e horizontais caso existam. (a) a(x) (b) b(x) (c) c(x) (d) d(x) (e) e(x) ii) Determine quantas e quais são as soluções, caso existam, das equações abaixo: (a) a(x) = 2 x = (b) b(x) = x = 6 e x 2 = 0 (c) c(x) = 3 x = 2 e x 2 = 0 (d) d(x) = 2 x = 2 (e) e(x) = 2 x = 0 iii) Encontre o conjunto solução das inequações abaixo: (a) a(x) 2 [, ] (b) b(x) > (, 6) (0, ) (c) c(x) 3 (, 2] [0, ) (d) d(x) < 2 (, 2) (e) e(x) 2 (, 2] 2 a Questão Calcule os seguintes limites: a) lim x 2 2x 3 + 2x 2 x d) lim x 2 + x 2 + x 2 x 3 8 b) lim x 2 x 2 + x 6 x e) lim x x 2 + x 2 x c) lim x 2 x 2 + x 2 x 3 8 f) lim x 4 x 2 x a Questão Determine as equações das retas assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo, caso existam: a) i(x) = 2x3 + 2x 2 x x = 2, y = 2 c) k(x) = x2 + x x 2 4 x = ±2, y = b) j(x) = x2 + x 6 x 3 8 y = 0 d) l(x) = x 2 x x =, y = ± 4 a Questão Considere a função f : R R definida por:

3 2 x +, se x < 0 f(x) = x + 2, se 0 x < 2 (x 3) 2 + 4, se x 2 a) Esboce o gráfico da função f(x), identificando sua imagem. b) Com base no gráfico, complete a tabela abaixo: f(0) + f(2) lim x lim f(x) x 0 lim f(x) x 0 + lim f(x) x 2 lim f(x) x 2 + lim f(x) x c) A função f(x) é contínua nos pontos x = 0 e x = 2? V e F 5 a Questão Considere a função g : R R definida por: (x + 2) 2 + Q, se x < 2 g(x) = x + 2, se 2 x 2 log 2 (x) + R, se x > 2 Determine os valores de: a) Q de modo que a função g seja contínua em x = 2 Q = 4 b) R de modo que a função g seja contínua em x = 2 R = 6 a Questão Considere a função f(x) = x 2 + 3x e o ponto A = (, f()). Determine a equação da reta que passa no ponto A e é tangente ao gráfico de f(x) no ponto A, ou f( + h) f() f( + x) f() f(x) f() seja, tem declividade m = lim = lim = lim h 0 h x 0 x x x y = 5x Boa Sorte

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática -2 a Lista/Roteiro Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Data: 02/Nov/204 Turno: Tarde Curso: Nome: Período: 4.2 Turma: 2 Matrícula: a Questão Considerando as funções a (x) = x 2 + 2x 3 e a 2 (x) = x, determine: a) Usando a definição, via limites, as derivadas de a (x) e a 2 (x) no ponto x =. a () = 4 e a 2() = /2 b) A segunda derivada das funções a (x) e a 2 (x) no ponto x = /4, utilizando as propriedades das derivadas. a ( 4 ) = 2 e a 2( 4 ) = 2 2 a Questão Determine os valores de R i e Q i (i =, 2), de modo que as funções definidas por { 2x b (x) = 3, se x < Q x + R, se x e { sen(x), se x < π b 2 (x) = Q 2 e x + R 2, se x π sejam derivável nos pontos x = e x = π, respectivamente. R = 4, Q = 6, R 2 = e Q 2 = e π 3 a Questão Determine as equações das retas tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos dados. a) c (x) = 2x 3 3x 2 + x 2 no ponto x = y = x 3 b) c 2 (x) = ln[cos(x) + ] no ponto x = π/2 y = x + π/2 4 a Questão Calcule as derivadas das funções abaixo no ponto x =, usando as propriedades das derivadas: a) d a (x) = x 7 3x 6 + 2x b) d b (x) = x7 7 7 x c) d c (x) = x3 + x 2 x + d) d d (x) = (x 3 x 2 ) ln(x) 0 2

5 e) d e (x) = 2e (2x2 2x) 4 j) d j (x) = sec ( x 2 + π ) f) d f (x) = cos(xπ) ln(x) g) d g (x) = x h) d h (x) = e e (x2 ) ln(4 x 2 4x+e) i) d i (x) = sen 3 ( x 2 π 3 ) 2 3π 4 k) d k (x) = arccos(x 2 x) l) d l (x)= [ ( )] ln cos sen x 3 + π2 4 sen ( π 2 x) Desafio: 0 5 a Questão Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre a expressão para y (x) e y (x 0 ) no ponto indicado. a) x 2 + y 2 = 2, com y() = y (x) = x y e y () = b) y 3 = x + y, com y(0) = y (x) = 3y 2 e y (0) = 2 c) y 2 + xy + x 2 = 3, com y() = y (x) = y + 2x 2y + x e y () = d) xy sin(y x) = y 2, com y(π) = π y (x) = cos(y x) + y cos(y x) + 2y x e y (π) = e) ln(y + x) + x =, com y() = 0 y (x) = y x e y () = 2 Tabela de Derivadas Boa Sorte a) [k] = k h) [b x ] = b x ln(b) 2 n) [cotg(x)] = cossec 2 (x) b) [ x k] = k.x (k ) c) [g ± h] = g ± h d) [k.g(x)] = k.g (x) e) [g.h] = g.h + g.h f) [ g h] = g.h g.h h 2 i) [ln(x)] = x j) [ln b (x)] = x ln(b) k) [sen(x)] = cos(x) l) [cos(x)] = sen(x) 3 o) [cossec(x)] = cossec(x) cotg(x) p) [sec(x)] = sec(x) tg(x) q) [ sen (x) ] = x 2 r) [ cos (x) ] = x 2 g) [e x ] = e x m) [tg(x)] = cotg 2 (x) s) [ tg (x) ] = + x 2 Considere g e h funções, g e h derivadas de g e h, e as constantes k R, b > 0 e b 2 Mudança de base: b x = e ln(bx) = e x ln(b) 3 Mudança de base de lnarítmo: ln b (x) = ln(x) ln(b) 4 Função inversa do sen: sen (x) = arcsen(x) é o arco cujo o seno é x. 4

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7 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática -3 a Lista/Roteiro Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Data: 24/Nov/204 Turno: Tarde Curso: Nome: Período: 4.2 Turma: 2 Matrícula: a Questão Determine, para as funções a(x) = x, b(x) = x 2 +2x 3, c(x) = x 3 3x, d(x) = e x2 ex 2 e f(x) = cos(x) 2 + sen(x) (no intervalo I f = [0, 2π]), os seguintes itens: a) O(s) ponto(s) crítico(s), caso exista(m). P a =, P b = (, 4) P c = (, 2) e P c2 = (, 2), P d = (, 0), P d2 = (0, ) e P d3 = (, 0) ( π P f = 6, 5 ) ( 5 π, P f2 = 4 6, 5 ) ( π ) ( ) 3 π, P f3 = 4 2, e P f4 = 2, b) Em qual(is) intervalo(s) são crescente (e decrescente). Crescente: I a = R, I b = (, ), I c = (, ) (, ), I d = (, 0) (, ) e I f = (0, π 6 ) ( π 2, 5π 6 ) c) O(s) ponto(s) de máximo/mínimo (locais/absolutos) das funções, caso exista(m). Use a segunda derivada. Máx: M a =, M b =, M c = (, 2), M d = (0, ), M f = ( π 6, 5 4 ) e M f = ( 5 π 6, 5 4 ) Mim: m a =,m b (, 4), m c = (, 2), m d = (, 0), m d2 = (, 0), m f = ( π 2, ) e m f 2 = ( 3 π 2, ) d) Esboce os gráfico das funções.

8 2 a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema. a) g a (x) = x 3 + 3x 2 em [ 2, ] c = 0 b) g b (x) = e x2 + x 2 em [, ] c = 0 c) g c (x) = cos(x 2 πx) em [0, π] c = π 2 d) g d (x) = sen(x) cos(x) em [ π, π] c = π 4 e c 2 = 3π 4 e) g e (x) = x 2 em [, ] Não é contínua em x = 0 f) g f (x) = sen(x) cos(x) em [0, π] g f (0) g f (π) 3 a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema do Valor Intermediário, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema. a) h a (x) = x 2 + 4x em [0, ] c = 2 b) h b (x) = x 3 em [ 3, 3] c = e c 2 = c) h c (x) = x em [, 4] c = 2 d) h d (x) = ln(x) + x em [, e] c = e e) h e (x) = x sen(x) em [0, π] c = π 2 f) h f (x) = x 2 em [0, 2] Não é derivável em x = 4 a Questão Calcule os limites abaixo. Use a regra L Hôspital, quando necessário, indicando qual o tipo da ideterminação: a) lim x x 2 x x 2 + x 2 b) lim x 0 e x x 3 Tipo: 0 0, L = 3 Tipo: 0 0, L = c) lim x 0 cos(x) x 2 Tipo: 0 0, L = 2 d) lim x x + ln(x) + cos(πx) Tipo: 0 0, L = π 2 e) lim x 0 + ln(x) /x Tipo:, L = 0 f) lim x 0 + x ln(x) Tipo: 0, L = 0 g) lim x xe x Tipo: 0, L = 0 h) lim x x ln(x) Tipo:, L = i) lim x x /x Tipo: 0, L =

9 Alguns Teoremas Teorema (Rolle) Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b], derivável no intervalo (a, b) e f(a) = f(b), então existe c (a, b), tal que f (c) = 0 Teorema 2 (Teorema do Valor Médio) Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b], derivável no intervalo (a, b), então existe c (a, b), tal que f f(b) f(a) (c) =, ou de outra forma, b a f(b) f(a) = f (c) = (b a) Teorema 3 (Regra de L Hôspital) Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no ponto x = a, com g (x) 0 se: lim f(x) = 0 e lim g(x) = 0 ou lim f(x) = ± e lim g(x) = ± x a x a x a x a f(x) Então lim x a g(x) = lim f (x) se tal limite existir (ou for ± ). x a g (x) Tabela de Derivadas 5 a) [k] = k h) [b x ] = b x ln(b) 6 n) [cotg(x)] = cossec 2 (x) b) [ x k] = k.x (k ) c) [g ± h] = g ± h d) [k.g(x)] = k.g (x) e) [g.h] = g.h + g.h f) [ g h] = g.h g.h g) [e x ] = e x h 2 a) cos( x) = cos x b) sen( x) = sen x c) tg x = sen x cos x d) sec = cos x e) cossec x = sen x f) cotg x = tg x i) [ln(x)] = x j) [ln b (x)] = x ln(b) k) [sen(x)] = cos(x) l) [cos(x)] = sen(x) m) [tg(x)] = cotg 2 (x) Tabela de Relações Trigonométricas g) sen 2 x + cos 2 x = h) + tg 2 x = sec 2 x 7 o) [cossec(x)] = cossec(x) cotg(x) p) [sec(x)] = sec(x) tg(x) q) [ sen (x) ] = x 2 r) [ cos (x) ] = x 2 s) [ tg (x) ] = + x 2 i) sen(a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b j) cos(a ± b) = cos a cos b sen a sen b k) sen a sen b = [cos(a b) cos(a + b)] 2 l) cos a cos b = [cos(a b) + cos(a + b)] Considere g e h funções, g e h derivadas de g e h, e as constantes k R, b > 0 e b 6 Mudança de base: b x = e ln(bx) = e x ln(b) 7 Mudança de base de lnarítmo: ln b (x) = ln(x) ln(b) 8 Função inversa do sen: sen (x) = arcsen(x) é o arco cujo o seno é x.

10 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática -4 a Lista/Roteiro Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Data: 02/Fev/205 Turno: Tarde Curso: Nome: Período: 4.2 Turma: 2 Matrícula: a Questão Fazer uma pesquisa, em qualquer livro de Cálculo I, dos itens abaixo: a) Nome do livro, Autor, Editora. b) Definição de: Primitiva (antiderivada); Integral indefinida; Integral definida; c) As propriedades das integrais (constantes, potências, exponenciais, trigonométricas, etc); d) Teorema Fundamental do Cálculo; e) Exemplos dos métodos de integração por: Substituição; Partes e Frações parciais; f) Aplicações (exemplos): Área entre gráficos e Volume de uma superfície de revolução. 2 a Questão Determine a primitiva das funções abaixo, nos pontos dados: a) a(x) = 2x + no ponto (, 3) A(x) = x 2 + x + 3 b) b(x) = 5x 4 + 3x no ponto (, 2) B(x) = x 5 + x 3 + 3x 3 c) c(x) = x 3 + 3x 2 + x no ponto (2, ) C(x) = x4 4 + x3 + x2 2 3 d) d(x) = 2 x 2x no ponto (, ) D(x) = 2 ln(x) x2 + 2 e) e(x) = 2e x + no ponto (0, ) E(x) = 2e x + x f) f(x) = (2 x + ) ( x 2 + x ) ( 4 x 2 + x ) 5 no ponto (, 3) F (x) = g) g(x) = ln(x) no ponto (, ) G(x) = x ln(x) x a Questão Calcule as integrais indefinidas abaixo: a) 7 x x x 3 dx x 7 + x 6 + x 4 + k d) b) 3 x + 5 x dx 6 2 x 3 x 5 + k e) c) 5 e x + 4 x dx 4 ln(x) + 5 ex + k f) 2 x + 5 x x + 2 dx ln ( x x + 2 ) + k (2 x) e (x2 +3) dx e (x2 +3) + k (x + 3) e x dx (x + 2) e x + k 4 a Questão Determine as seguintes integrais definidas: a) 2 dx b) 2 6 x x 2 + 3dx 73

11 c) 2 2 3x 2 4x + 2 dx 8 f) 2 2x 3 x 2 3x + 3 dx 0 d) 3 dx ln (3) x g) 3 2x 3 x 2 3x + 3 dx ln (3) e) 3 x dx h) 2 (2 x 3) ( x 2 3 x + 3 ) dx 0 Observações: Use a constante S como sendo o último número de sua matrícula, nas questões abaixo e assinale apenas as alternativas correspondentes a cada item de cada questão. 5 a Questão Determine a constante k da primitiva das funções abaixo, nos pontos dados:. a(x) = 4x + (5 S) no ponto (, 3) (a) (c) 6 (e) 4 (g) 2 (i) 2 (k) 7 (b) 3 (d) 5 (f) 0 (h) (j) 3 2. b(x) = x 3 + 3x 2 + x no ponto (2, S) (a) (c) 7 (e) 4 (g) 9 (i) 2 (k) 5 (b) 3 (d) 0 (f) 8 (h) 5 (j) 6 3. c(x) = 5e x + no ponto (0, S) (a) 4 (c) (e) 3 (g) 4 (i) (k) 2 (b) 3 (d) 2 (f) 5 (h) 6 (j) 0 6 a Questão Determine as seguintes integrais definidas:. 6x 5 + 3x 2 S dx (a) 0 (c) 4 (e) 6 (g) 2 (i) 4 (k) 8 (b) 2 (d) 4 (f) 6 (h) 0 (j) 2 2. S 2x + S x 2 + Sx + dx (a) ln(3) (c) ln(9) (e) ln() (g) ln(5) (i) ln(0) (k) ln(2) (b) ln(7) (d) ln(6) (f) ln(4) (h) ln(8) (j) (x + S 5) e x dx (a) 4e 3 (c) 3 2e (e) 2 e (g) 2e (i) 6 5e (k) e (b) 3e 2 (d) 4 3e (f) 5 4e (h) 7 6e (j) Boa Sorte

12 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática a Prova Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Data: 20/Out/204 Turno: Tarde Curso: Nome: Período: 4.2 Turma: 02 Matrícula: Observações: Use a constante S como sendo o último número de sua matrícula, nas questões abaixo. Pode ter mais de uma opção de resposta nos itens abaixo. a Questão Considere as seguintes funções a(x) = x S 4 e b(x) = 3 (x+s 4) : i) Determine quantas e quais são as soluções, caso existam, da equação a(x) =. (a) (c) (e) 2 (g) 6 (i) 2 (k) 5 (b) 3 (d) 4 (f) 7 (h) 8 (j) 0 ii) Encontre o conjunto solução da inequação b(x) 2. (a) [2, ) (c) [4, ) (e) [, ) (g) [3, ) (i) [0, ) (k) [5, ) (b) [ 3, ) (d) [, ) (f) [ 2, ) (h) [ 4, ) (j) [6, ) 2 a Questão Calcule os seguintes limites abaixo: x 4 x 3 + x 2 x 5S i) lim x 2 x 2 + (a) (c) 7 (e) 2 (g) 0 (i) 6 (k) (b) 4 (d) 2 (f) 5 (h) 3 (j) 3 ii) x 2 9x + 4 lim x S + x S (a) (c) 7 (e) 7 (g) 0 (i) 5 (k) 2 (b) 5 (d) (f) 0 (h) 2 (j) 3 a Questão Determine as equações das retas assíntotas, caso existam, da função c(x) = (S 4)x 2 + x + 7 x 2 0x (S 2 8S 9)

13 i) Assíntotas verticais: (a) x = 7 (c) x = 0 (e) x = 6 (g) x = 2 (i) x = 0 (k) x = 5 (b) x = 8 (d) x = 3 (f) x = (h) x = 9 (j) x = 4 ii) Assíntota horizontal: (a) y = (c) y = 5 (e) y = 4 (g) y = 2 (i) y = 2 (k) y = 5 (b) y = 3 (d) y = 3 (f) y = 4 (h) y = 0 (j) y = 4 a Questão Considere a função d : R R definida por: (x + 4) 2 + Q, se x < 2 d(x) = x + S, se 2 x 2 log 2 (x) + R, se x > 2 i) Determine o valor de Q de modo que a função d(x) seja contínua em x = 2. (a) Q= (c) Q=3 (e) Q= 3 (g) Q= 5 (i) Q= 7 (k) Q=2 (b) Q= 6 (d) Q=0 (f) Q= 4 (h) Q= 2 (j) Q= ii) Determine o valor de R de modo que a função d(x) seja contínua em x = 2. (a) R = (c) R = 3 (e) R = 0 (g) R = 8 (i) R = 4 (k) R = 7 (b) R = 5 (d) R = 6 (f) R = 9 (h) R = 0 (j) R = 2 iii) Esboce o gráfico de d(x). 5 a Questão Considere a função f(x) = x 2 x + (4 S). Determine o coeficiente angular da reta r, tangente ao gráfico de f(x), que passa no ponto A = (, f( )). f( + h) f( ) (O coeficiente angular da reta r é dado por m = lim ). h 0 h a) m= 5 c) m=2 e) m= 2 g) m= i) m= 3 k) m= b) m=4 d) m=5 f) m=0 h) m= 4 j) m=3 l) NDA Boa Sorte Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio a Prova Data: 20/Out/204 Turma: 02 - Tarde Nome: Matrícula: Assinatura

14 a Questão Considere a função f : R R definida por: 2 x +, se x < 0 f(x) = x + 2, se 0 x < 2 (x 3) 2 + 4, se x 2 a) Esboce o gráfico da função f(x), identificando sua imagem. b) Com base no gráfico, complete a tabela abaixo: f(0) + f(2) lim f(x) x lim f(x) x 0 lim f(x) x 0 + lim f(x) x 2 lim f(x) x 2 + lim f(x) x c) A função f(x) é contínua nos pontos x = 0 e x = 2? UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática 2 a Prova Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Data: 20/Out/204 Turno: Tarde Curso: Nome: Período: 4.2 Turma: 02 Matrícula: Observações: Use a constante S como sendo o último número de sua matrícula, nas questões abaixo e assinale apenas as alternativas corretas correspondentes a cada item das questões abaixo. 2 a Questão Dada a função a(x) = (S+2)[x+(S+)] 2 +(S 0), determine:

15 i) Usando a definição, via limites, a derivada de a(x) no ponto x = é: (a) 60 (c) 30 (e) 98 (g) 70 (i) 0 (k) 6 (b) 96 (d) 6 (f) 48 (h) 2 (j) 26 ii) O valor da segunda derivada da função a(x) no ponto x = S (o valor de a (S)), utilizando as propriedades das derivadas é: (a) 22 (c) 6 (e) 20 (g) 6 (i) 2 (k) 8 (b) 8 (d) 0 (f) 4 (h) 2 (j) 4 3 a Questão Determine os valores de R e Q, de modo que a função definida por 3 ln(x) + (S + 4), se x < b(x) = Qx 2 + 5x + R, se x seja derivável nos pontos x = (marque dois itens). a) 2 c) 4 e) 8 g) 0 i) 3 k) 5 b) d) 9 f) 6 h) j) 7 l) NDA 4 a Questão Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x = 0. c(x) = e sen(x) + (S + )x S a) y = 9x 6 d) y = 8x 5 g) y = 6x 3 j) y = 5x 2 b) y = 2x + e) y = 3x h) y = 0x 7 k) y = x + 2 c) y = 7x 4 f) y = x 8 i) y = 4x l) NDA 5 a Questão Calcule as derivadas das funções abaixo no ponto x =, usando as propriedades das derivadas: i) d a (x) = x2 x(0 S) x 2

16 (a) 9 (b) (c) 7 (d) ii) d b (x) = 2(S 0) cos (e) 3 (f) 3 ( x 2 x + π 6 (g) 9 (h) 7 ) (i) 5 (j) 5 (k) (a) 5 (c) (e) 9 (g) 3 (i) 2 (k) 6 (b) 7 (d) 8 (f) 4 (h) (j) 0 iii) d c (x) = (S x 2 ) ln(2 x 2 ) (a) 8 (c) 6 (e) 0 (g) 4 (i) 6 (k) 2 (b) 0 (d) 2 (f) 4 (h) 2 (j) 4 6 a Questão A equação (S + )x + e (x y) = y 2 + (S + 3) define, implicitamente, y como função de x. Determine o valor de y (), sabendo que y() = : a) 8 c) e) 4 g) 6 i) 0 k) 2 b) d) 9 f) 7 h) 5 j) 3 l) NDA Boa Sorte Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio 2 a Prova Data: 20/Out/204 Turma: 02 - Tarde Nome: Matrícula: Assinatura

17 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática 3 a Prova Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Data: 05/Dez/204 Turno: Tarde Curso: Nome: Período: 4.2 Turma: 02 Matrícula: Observações: Use a constante S como sendo o último número de sua matrícula, nas questões abaixo e assinale apenas as alternativas corretas correspondentes a cada item das questões abaixo. a Questão Dada a função a(x) = ( ) S [2x 3 + (2 3S)x 2 ]. Determine: i) Quais dos pontos abaixo, é ponto crítico da função a(x), caso exista: (a) (, ) (d) (0, 0) (g) (4, 64) (j) (2, 8) (b) (5, 25) (e) ( 2, 8) (h) (3, 27) (k) ( 4, 64) (c) ( 5, 25) (f) ( 3, 27) (i) (, ) ii) Marque com C o intervalo onde a(x) é Crescente ou D onde a(x) é Decrescente: (a) [ ] (0, ) (d) [ ] ( 4, 0) (g) [ ] (0, 3) (j) [ ] (0, 5) (b) [ ] ( 3, 0) (e) [ ] (, 0) (h) [ ] (0, 2) (k) [ ] (0, 4) (c) [ ] ( 2, 0) (f) [ ] (0, 0) (i) [ ] ( 5, 0) iii) Marque com M o ponto onde a(x) é de Máximo local ou m onde a(x) é de mínimo local: (a) [ ] (, ) (d) [ ] (3, 27) (g) [ ] ( 3, 27) (j) [ ] (4, 64) (b) [ ] (2, 8) (e) [ ] (5, 25) (h) [ ] ( 2, 8) (k) [ ] (, ) (c) [ ] ( 5, 25) (f) [ ] (0, 0) (i) [ ] ( 4, 64) iv) Esboce o gráfico da função a(x), usando as informações anteriores. 2 a Questão Determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s), dada(s) pelo Teorema de Rolle para a função b(x) = (S + )[ sen(x)] 2 no intervalo [0, 2π], caso a função satisfaça o teorema. a) π 6 b) 5π 3 c) π 6 d) 2π 3 e) π 3 f) π 2

18 g) 3π 2 h) 4π 3 i) 5π 6 j) π k) 7π 6 l) NDA 3 a Questão Determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s), dada(s) pelo Teorema do Valor Intermediário para a função c(x) = (0 S)x + ln(x) no intervalo [, e], caso a função satisfaça o teorema. a) e + 4 c) e + 3 e) e g) e + 5 i) e 5 k) e + b) e 2 d) e 4 f) e + 2 h) e j) e 3 l) NDA 4 a Questão Calcule os limites abaixo. ( Use a regra L Hôspital, quando necessário, 0 indicando qual o tipo da ideterminação 0, ),, 0, 00, 0 e : 3x 3 3(S + )x 2 i) lim x S+ x 3 (S + ) 3 (a) [ ] 5 (b) [ ] 4 (c) [ ] 2 (d) [ ] 6 (e) [ ] 9 (f) [ ] 8 (g) [ ] 3 (h) [ ] 0 (i) [ ] (j) [ ] (k) [ ] 7 x 2 + (0 S)x ii) lim x e 2x + (0 S) (a) [ ] e (c) [ ] (b) [ ] e 2 (d) [ ] (e) [ (f) [ ] ] e (g) [ (h) [ ] π ] (i) [ ] e 2 (j) [ ] π (k) [ ] 0 iii) lim x 0 { + sen[(0 S)x]} (/x) (a) [ ] e 6 (b) [ ] e (c) [ ] e 3 (e) [ 2 ] e (g) [ 5 ] e (i) [ 9 ] e (k) [ ] e (d) [ ] e 7 (f) [ ] e 8 (h) [ ] e 4 (j) [ ] e 0 Boa Sorte Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio 3 a Prova Data: 05/Dez/204 Turma: 02 - Tarde Nome: Matrícula: Assinatura

19 Final UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Data: 02/Mar/205 Turno: Tarde Curso: Nome: Período: 4.2 Turma: 02 Matrícula: Observações: Use a constante S como sendo o último número de sua matrícula, nas questões abaixo. Pode ter mais de uma opção de resposta nos itens abaixo. a Questão Determine as equações das retas assíntotas verticais, caso existam, da função a(x) = (S 4)x 2 + x + 7 x 2 0x (S 2 8S 9) a) x = 4 c) x = 8 e) x = 7 g) x = i) x = 5 k) x = 0 b) x = 6 d) x = 3 f) x = 9 h) x = 0 j) x = 2 l) NDA 2 a Questão Calcule as derivadas das funções abaixo no ponto x =, usando as propriedades das derivadas: i) b(x) = 2(S 0) cos (a) 6 (c) 7 ( x 2 x + π ) 6 (e) 0 (g) 4 (i) (k) 3 (b) 2 (d) 8 (f) 5 (h) 9 (j) ii) c(x) = (S x 2 ) ln(2 x 2 ) (a) 2 (c) 8 (e) 4 (g) 2 (i) 2 (k) 0 (b) 4 (d) 6 (f) 4 (h) 0 (j) 6 3 a Questão Dada a função d(x) = ( ) S [2x 3 + (2 3S)x 2 ]. Determine: i) Quais dos pontos abaixo, é ponto crítico da função d(x), caso exista: (a) (4, 64) (d) (2, 8) (g) (3, 27) (j) (, ) (b) (0, 0) (e) ( 3, 27) (h) ( 2, 8) (k) ( 4, 64) (c) ( 5, 25) (f) (5, 25) (i) (, )

20 ii) Marque com M o ponto onde d(x) é de Máximo local ou m onde d(x) é de mínimo local: (a) [ ] (, ) (d) [ ] ( 5, 25) (g) [ ] (4, 64) (j) [ ] (2, 8) (b) [ ] ( 2, 8) (e) [ ] (, ) (h) [ ] (0, 0) (k) [ ] (3, 27) (c) [ ] (5, 25) (f) [ ] ( 3, 27) (i) [ ] ( 4, 64) 4 a Questão Calcule lim x S+ 3x 3 3(S + )x 2 x 3 (S + ) 3. Use ( a regra L Hôspital, quando necessário, indicando qual o tipo da indeterminação 0 0, ),, 0, 00, 0 e : a) [ ] c) [ ] 6 e) [ ] 2 g) [ ] 5 i) [ ] k) [ ] 3 b) [ ] 8 d) [ ] 9 f) [ ] 4 h) [ ] 0 j) [ ] 7 l) NDA 5 a Questão Determine as seguintes integrais definidas:. 6x 5 + 3x 2 S dx (a) 6 (c) 4 (e) 4 (g) 2 (i) 0 (k) 8 (b) 2 (d) 4 (f) 6 (h) 2 (j) 0 2. S 2x + S x 2 + Sx + dx (a) ln(3) (c) ln(2) (e) ln(6) (g) ln(8) (i) ln(0) (k) ln() (b) ln(9) (d) ln(7) (f) ln(5) (h) ln(4) (j) 0 Boa Sorte Cálculo Diferencial e Integral I Prof.: Sérgio Final Data: 02/Mar/205 Turma: 02 - Tarde Nome: Matrícula: Assinatura