- Cálculo 1: Lista de exercícios 1 -

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1 - Cálculo : Lista de exercícios - UFOP - Professora Jussara Moreira. Resolver as inequações: (a) x(x ) > 0 {x R/x < 0 ou x > }; (b) (x )(x + ) < 0 {x R/ < x < }; (c) x x {x R/x ou x }; x (x ) 0 {x R/x = 0 ou x }; (e) x + x + > 0 R; (f) x < x {x R/ < x < e x 0}; (g) x + < x + x {x R/x < }.. Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes são números reais: (a) x {x R/ x }; (b) x 9 {x R/x ou x }; (c) x {x R/x < /}; x x {x R/x < ou x > }.. Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes é positiva: (a) (b) x R x + +; x {x R/ < x < 0 ou x > }; x (c) x+ x {x R/x < ou x > }; x {x R/x < ou 0 < x < ou x > }. x x. Determine os valores de x que satisfazem: (a) x = 5 x = ±5; (b) x + = x = ou x = 7; (c) x = x = ou x = 6; x + = x x = /; (e) x + = x x = ou x = /; (f) x 5 {x R/ x 8}. (g) x + {x R/x > ou x < 5}.

2 5. Usando valor absoluto, escreva expressões para os seguintes conjuntos: (a) o conjunto dos pontos cuja distância a é menor do que ou igual a x ; (b) o conjunto dos pontos cuja distância a -5 é menor do que x + 5 < ; (c) o conjunto dos pontos cuja distância a 6 é maior do que x 6 >. 6. Mostre que os dois conjuntos abaixo são iguais e os escreva na forma de intervalos: A = {x : x < } e B = {x : x < x 6 }. B = {x : x x + < x x + 6} = {x : 8x < } = {x : x < } = A A = B = (, ) 7. Encontre o domínio das seguintes funções: (a) x + R; (b) (x )(x + ) {x R/x ou x }; (c) x x {x R/ x }; x {x R/x < ou x /}. x+ 8. Se f(x) = x, mostre que f(x) = f(x) Quais os domínios de f(x) = x 8 e g(x) = x? Determine o domínio de h(x) = f(g(x)). D(f) = R {8}, D(g) = R e D(h) = R {} 0. Se f(x) = x, mostre que f(f(x)) = x.. Se f(x) = ax+b, mostre que f(f(x)) = x. x a. Se f(x) = ax, mostre que f(x) + f( x) = f(). Verifique também que f(x + x ) = f(x ) + f(x ), para todos x, x R.. Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas: (a) f : R R, f(x) = x + 5 bijetora; (b) g : R R, g(x) = x 9 nenhuma delas; (c) h : A A, h(x) = x +, A = {x R/x } ϕ : {x R/x 0} R, ϕ(x) = 5 x injetora. injetora;. Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhuma delas: (a) f(x) = x 5 + x nenhuma delas; (b) g(x) = x + x par; (c) h(x) = x nenhuma delas; ϕ(x) = x + x ímpar.

3 5. Suponha f(x) uma função ímpar e g(x) uma função par. (a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q(x) = f(x) g(x) e P (x) = f(x)g(x)? (b) Sabendo que sen(x) é função ímpar e cos(x) é par, o que podemos falar sobre tg(x)? Resposta: Todas Ímpares. 6. Resolva as seguintes equações: (a) x = 6 {} ) x x (b) x = ( {, 0} (c) ( x ) x+ = 9 x+ {, 8}.5 x +.5 x+ = 7 {0} (e).6 x +.6 x.6 x = 9 { } 9 (f) 9 x. x + = 0 {, 0, } 7. Resolva as inequações: (a) 7 x < 9 S = {x R x < } (b) 8 x + x S = {x R x ( (c) 5 ) x +0 ( 5 ) 7x S = {x R x ou x 5} x+ < 6 S = {x R x < } 8. Dadas as funções f(x) = ( x ) +7 ( e g(x) = 5x+, ) determine x real de modo que se tenha:: (a) f(x) = g(x) x = ou x = (b) f(x) > g(x) x < ou x > 9. Resolva o seguinte sistema { 8 x. y = x. y =. Resposta: x = 0, y = { 5 x y = 0. Dado o sistema 5 x+y =., calcule o valor de (xy). Resposta: 6. Resolva a equação ((0 x ) x ) x =,5 Resposta: { }. Seja f(x) = x 9x uma função de variável real. Determine o conjunto que contém todos os valores reais de x para os quais f(x) = f(x ). Resposta: S = {x R 0 x < }. Resolva o seguinte sistema { x + y = x y = 5. Resposta: x =, y =. Uma população de bactérias no instante t é dada pela função f(t) = C. kt, em que t é dado em minutos. Experimentalmente, verifica-se que e a população depois de minuto era de 6 bactérias e depois de minutos, de 56. Determine a população inicial (isto é, quando t = 0). Resposta:

4 5. Utilize deslocamento para fazer um esboço do gráfico das seguintes funções e determine o domínio das mesmas: a) f(x) = e x + b) f(x) = ln(x ) c) f(x) = e x+ d) f(x) = ln(x+) e) f(x) = lnx f) f(x) = lnx g) f(x) = ln(x+) 6. Determine o domínio ( ) das funções a) f(x) = log x b) y = log 6 x (x 7x + ) R: a) (, + ) b) (, ) 7. Resolva as seguintes inequações: a) log ( x ) b) log (x + ) + log (x 9) > c) log 5 x > log 5 (x + 5) R: a) [, + ) b) (, + ) c) (7, + ) 6 { 8. Determine os valores (x, y) que são soluções do sistema R: (, ) ou (, ) 9. Determine o intervalo em que a função f(x) = 0. Resolva log 0 x +. log x 0 = R: {0, 00} x+y = 8 log x + log y =. ( ) log log x está definida. R: (0, /). Sejam a e b números reais positivos, tais que log a log b =. Determine o valor da razão a b R:. Determine o conjunto das soluções da equação log (x ) = log x R: {x R/x = ± ou x = ±/}. É dada a função f definida por f(x) = log x log (x ) (a) Determine os valores de x para os quais f(x) R: (b) Determine os valores de x para os quais f(x) > R: (, + ). Resolva a equação log x = + log x 9. R: {/, 9} 5. Se log ( ) = a, qual será o valor de log ( + ). (DICA: analise o produto ( )( + )) R: a 6. Resolva a equação 0 log a (x x+) = 6 log a 0, em que a = 0. R: {, } 7. Converta para radianos: a) 90 0 b) 00 0 c) 5 0 d) 0 0 e) 60 0 R: a) π/ b) 5π/ c) π/ d) π/ e) π/9 8. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções: a) f(x) = sen( x) b) f(x) = cos( x) c) f(x) = cos(x + π) d) f(x) = tg(x π ) 9. Determine para quais valores reais de p existe x tal que: a) senx = 7p+ b) senx = p 0p+ c) senx = d) senx = p e) senx = 8 5p 5 p p R: a) [ 8/7, /7] b) [0, ] [6, 0] c) (, 0] [, + ) d) [0, ] e) [5/, /6]

5 0. Determine a) cos ( π x), sendo que senx = b) sen( π x), sendo que cos x = 5 R: a) / b) /5. Determine o domínio de f(x) = tg( x). R: {x R/x (n + )π, n = 0,,, }. Na função f(x) = tg(mx), determine o valor de m tal que o período da função seja π. R: m =. Determine o que se pede em cada caso: (a) cotgx, sendo senx = e cos = ; R: / (b) tgx, sendo cotgx = ; R: / (c) secx, sendo cosx = ; R: / cosx, sendo secx = 5; R: /5 (e) secx, sendo cosx = 5 ; R: / 5 (f) cosx, sendo secx = 7; R: / 7 (g) cossecx, sendo senx = 7 8 R: 8/ 7 (h) senx, sendo cossecx = 0. R: /0. Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco x, de modo que se tenha: a) senx = m+ e cos x = m 5 R: m =, I b) cos x = 7m e senx = m R: m = ±/, II ou IV 5. Verifique as seguintes identidades: (a)secx + cotgx = (cscx)(cos x + tgx) (b)sec x + csc x = sec x.csc x (c)sen (x) = cos(x) cos (x) = +cos(x) 6. Determine o período das seguintes funções e esboce seus gráficos: a) f(x) = sen(7x) b) f(x) = cos( x ) c) f(x) = tg(πx) R: a) T = π/7 b) T = 8π c) T = 7. Verifique as seguintes igualdades: (a)senx = sen(π x) (b) cos x = cos(π x) (c)tgx = tg(π x) cotgx = cotg(π x) (e)secx = sec(π x) (f)cossecx = cossec(π x) 8. Verifique a paridade das seguintes funções: a) f(x) = x n em que n N b) f(x) = tgx c) secx R: a) par, se n par e ímpar se n ímpar b) ímpar c) par 9. Mostre que tg(a) = tga tg a, com a π + kπ. 50. Resolva a equação sen x 7senx = 6. R: x = π ± nπ, n = 0,,, 5