Cálculo 1 Lista 04 Derivadas

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1 Cálculo 1 Lista 04 Derivadas Professor: Daniel Henrique Silva Definições de derivada 1) Defina a derivada de uma função em um ponto p. ) Interprete a definição de derivada através de retas tangentes. ) Justifique geometricamente a necessidade de uma função ser contínua para poder ser diferenciável. 4) Explique porque a função fatorial não é diferenciável. 5) Calcule, através da definição de derivadas, as derivadas das funções f(x) dadas, nos pontos p pedidos. (Lembrando que a derivada pode não existir, e isso é uma resposta possível). a) f(x) = ; p = 1 b) f(x) = x + 1; p = c) f(x) = x 7; p = 0 d) f(x) = 5 6x; p = 4 e) f(x) = x ; p = 1 f) f(x) = x 5x + 6; p = g) f(x) = x ; x = 1 h) f(x) = x x; p = 0 i) f(x) = x; p = 9 j) f(x) = x ; p = k) f(x) = x; p = 8 l) f(x) = x + x + 1; p = 0 m) f(x) = 1 ; p = 1 x n) f(x) = 1 ; p = x 1 o) f(x) = 4 x ; p = p) f(x) = sen(x); p = 0 q) f(x) = sen(x); p = π 4 r) f(x) = cos(x) ; p = π s) f(x) = cos(x) ; p = 5π 6 t) f(x) = e x ; p = 0 u) f(x) = ln(x) ; p = 1 v) f(x) = x ; p = 0; w) f(x) = x 1 ; p = 0 x) f(x) = x 1 ; p = 1 y) f(x) = x x ; p = 0 z) f(x) = x x ; p = 1 6) Seja f: A R, f(x) uma função real. Defina a função derivada, f (x). f(x) f(p) f(x+h) f(x) 7) Demonstre que os limites lim e lim são equivalentes. x p x p h 0 h 8) Calcule, através da definição de derivadas, as derivadas das funções a seguir em seus respectivos domínios: a) f(x) = 0 b) f(x) = 5 c) f(x) = λ, onde λ é uma constante real qualquer. d) f(x) = x

2 e) f(x) = x 4 f) f(x) = πx g) f(x) = αx + β, onde α e β indicam constantes reais quaisquer. h) f(x) = x i) f(x) = x 5x + j) f(x) = αx + βx + γ, onde α; β e γ indicam constantes reais quaisquer. k) f(x) = x l) f(x) = 4x x + x m) f(x) = x n) f(x) = 6x + o) f(x) = x p) f(x) = x x q) f(x) = 1 x r) f(x) = 1 x 4 s) f(x) = 1 x+1 t) f(x) = 1, onde α e β indicam constantes reais quaisquer. αx+β u) f(x) = 1 x v) f(x) = 1 x w) f(x) = sen(x) x) f(x) = sen(x) y) f(x) = sen(x) z) f(x) = cos(x) aa) f(x) = 5 cos(x) bb) f(x) = cos(x) cc) f(x) = e x dd) f(x) = e x ee) f(x) = x ff) f(x) = ln(x) 9) Dê um exemplo de uma função contínua, mas não diferenciável em algum ponto qualquer. 10) Dê um exemplo de uma função contínua, mas não diferenciável no ponto p = 7 x 1, se x < 1 11) Considere a função dada por f: R R, f(x) = { x, se 1 x < 6 x, se x a) Faça um esboço do gráfico dessa função b) Mostre que a função é contínua em R. c) Essa função é diferenciável em x = 1? Caso seja, qual o valor de f (1)? d) Essa função é diferenciável em x =? Caso seja, qual o valor de f ()? 1) Considere a função f: R R, f(x) = sen(πx) a) Esboce o gráfico dessa função. b) Mostre que essa função é contínua em R c) Mostre que essa função não é diferenciável em Z Cálculos de derivadas através de regras de derivação 1) Complete a tabela de derivadas básicas a seguir, onde λ é uma constante real qualquer dada, e g(x) é uma função supostamente diferenciável. Caso necessário, indique a derivada da função g(x) por g (x). OBS: Algumas derivadas serão exploradas mais adiante. Faça o que puder dessa tabela, e volte depois de ter estudado outros tópicos para complementar o restante. f(x) f (x) f(x) f (x) f(x) f (x) 0 λ x

3 x x x 1 x x 1 x x n sen(x) sen(λx) cos(x) cos(λx) tg(x) tg(λx) sec(x) sec(λx) cossec(x) cossec(λx) cotg(x) cotg(λx) e x e λx λ x ln(x) ln(λx) log λ (x) (g(x)) n g(x n ) x x (g(x)) x x g(x) sen(g(x)) g(sen(x)) cos(g(x)) g(cos(x)) tg(g(x)) g(tg(x)) sec(g(x)) g(sec(x)) cossec(g(x)) g(cossec(x)) cotg(g(x)) g(cotg(x)) arcsen(x) arcsen(λx) arccos(x) arccos(λx) arctg(x) arctg(λx) arcsec(x) arcsec(λx) arccossec(x) arccossec(λx) arccotg(x) arccotg(λx) 14) Sejam f(x); g(x); h(x) três funções diferenciáveis, e sejam α, β R duas constantes reais não-nulas. Escreva, em função das funções dadas, de suas derivadas, e das constantes: a) (f(x) + g(x)) b) (f(x) g(x)) c) (f(x) + α g(x) + β h(x)) d) (α (f(x) g(x) + h(x)) β(f(x) + g(x) h(x))) e) (f(x) g(x)) f) (f(x) g(x) + h(x)) g) (f(x) (α g(x) + β h(x))) h) (f(x) g(x) h(x)) i) ( f(x) g(x) )

4 j) ( α f(x) g(x) ) h(x) ) h(x) f(x) α g(x) β h(x) ) k) ( f(x)+g(x) l) ( m) ( f(x) g(x) + h(x) h(x) f(x) g(x) ) n) ( f(x) g(x) ) h(x) o) ( f(x) g(x) h(x) ) p) (f(g(x))) q) (f(x + α)) r) (f(α x)) s) (f(α g(x + β))) t) (f (g(h(x)))) u) (f(α x) g(x) h(x) ) v) (f(g(x) h(x))) w) ( f(x) g(h(x)) ) x) ( f(g(x)) ) g(f(x)) y) (f(g(x)) g(h(x)) h(f(x))) z) ( α ) f(g(x)) h(f(x)) aa) (f(x) g(x) ) bb) ((f(x) g(x)) h(x) ) cc) (( f(x) g(x) )h(x) ) dd) (f(x) g(x) h(x) ) ee) (f(x) g(x)h(x) ) 15) Calcule as derivadas das funções a seguir, através das regras de derivação: a) b) tg(00) c) πx + ln() d) x + 6x 7 e) 4x 6 6x x f) cos(x) e x + x 5 g) sen(x) + tg(x) cotg(x) h) log (x) i) x + x j) cossec(x) + 14x 5 5 k) x x 5 l) ex +x π m) x +4x 1x+8 x n) x π + e x + π x e π o) (x + ) p) (4x 8) q) (x 0) 100 r) (x + ) (x + x) s) (4x 11x + 1) (x + 8) t) sen(x) cos(x)

5 u) sen(x) v) x tg(x) w) x e e x x) sec(x) cossec(x) y) sen(x) sec(x) z) sen(x) cos(x) tg(x) aa) ln(x) ln(4x) bb) x ln(x) cc) x e x cos(x) dd) ln(x) tg(x) x ee) x log (x) cos(x) sec(x) ff) x sen(x) xe 4x x gg) sen(x) hh) tg(x) cos(x) ii) ex +x jj) cos(x) x x tg(x) kk) x + x e x ll) x 4x x +6x+8 mm) x e x cos(x) nn) x sen(x) tg(x) 6x oo) ( x e x ) ( x x) x pp) e x ( cos(x) x ln(x)) qq) sen(x) rr) sen( x) ss) ln(cos(x)) + tt) cos(x) e x uu) cos (x) + cos(x) cos(x ) vv) x x 8 ww) tg 4 (x 6 ) xx) cos(xe x ) yy) e x x sen(x) zz) x + cos(x) aaa) (sen (e x )+cos (e x )) tg(x) bbb) ex +4x cos(4x) tg(x) ccc) tg (ln ( e x4 )) ddd) ln (e x. cos ( ln(x) x )) 4 eee) x + x 4 + x e x 5 fff) tg ( x. + ln( cos(x)) cos4 (sec(x 4 + 8e x )) + 4 cos (e x )) ggg) x x hhh) x sen(x) iii) sen(x x ) jjj) sen x (x) kkk) x xx lll) cos(x) mmm) ( 1 x )ln(x)

6 nnn) ( x.cos(x) ) ex sen(x) Funções hiperbólicas 16) Partindo das definições senh(x) = ex e x ; cosh(x) = ex +e x, desenvolva, em função de exponenciais, as funções: a) tgh(x) b) sech(x) c) cossech(x) d) cotgh(x) 17) Demonstre que cosh (x) senh (x) = 1, x R 18) Demonstre que tgh (x) + sech (x) = 1, x R 19) Demonstre que cotgh (x) cossech (x) = 1, x R 0) Escreva as funções trigonométricas hiperbólicas inversas a seguir em função de logaritmos e polinômios: a) arcsenh(x) b) arccosh(x) c) arctgh(x) d) arcsech(x) e) arccossech(x) f) arccotgh(x) 1) Demonstre que arctgh ( x 1 x + 1 ) = ln(x) ) Mostre as seguintes igualdades: a) senh(x) = senh(x) cosh(x) b) cosh(x) = cosh (x) 1 c) senh(x) senh(y) = cosh ( x+y ) senh (x y d) cosh(x) cosh(y) = senh ( x+y ) senh (x y ) Simplifique as expressões: a) senh(arcsenh(x)) b) senh(arccosh(x)) c) senh(arctgh(x)) d) cosh(arcsenh(x)) e) cosh(arccosh(x)) f) cosh(arctgh(x)) g) tgh(arcsenh(x)) h) tgh(arccosh(x)) i) tgh(arctgh(x)) j) sech(arctgh(x)) k) tgh(arcsech(x)) ) ) 4) Deduza das derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas. ( Sugestão: complemente a sua tabela de derivadas básicas acrescentando as respostas dessa questão!) a) senh(x) b) cosh(x) c) tgh(x) d) sech(x) e) cossech(x) f) cotgh(x) Derivadas de funções inversas

7 5) Seja f: A B, f(x) uma função invertível, cuja inversa é dada pela função f 1 (x). Mostre que a derivada dessa função é dada por (f 1 (x)) 1 =, em pontos onde f (f 1 (x)) f (f 1 (x)) 0 6) Considere a função f: R R, f(x) = x 8 7 a) Demonstre que essa função é invertível. b) Calcule explicitamente a função f 1 (x), e faça sua derivada. c) Calcule a derivada de sua função inversa, através da fórmula de diferenciação de funções inversas. Compare o resultado com o item anterior. 7) Deduza as derivadas das funções a seguir, utilizando cálculos de derivadas de funções inversas: a) arcsen(x) b) arccos(x) c) arctg(x) d) arcsec(x) e) arccossec(x) f) arccotg(x) g) arcsenh(x) h) arccosh(x) i) arctgh(x) j) arcsech(x) k) arccossech(x) l) arccotgh(x) Derivadas implícitas 8) Defina função implícita 9) Considere a circunferência dada pela equação x + y = 5. a) Mostre que essa circunferência pode ser escrita como união de duas funções explícitas. b) Calcule a derivada implícita dy dessa função. dx c) Utilizando as expressões do item a), derive explicitamente as funções obtidas, e compare o resultado com o item anterior. 0) Considere a função dada implicitamente por x xy + y = 1. a) Mostre que essa função pode ser escrita explicitamente como união das funções y = x+ 4 x b) Calcule a derivada implícita dy dessa função. dx e y = x x 4 c) Utilizando as expressões dadas no item a), derive explicitamente as funções, e compare o resultado com o item anterior. 1) Em todos os itens a seguir, estão representadas funções implícitas, onde a variável y depende da variável x. Determine, para cada item, a derivada implícita dy dx. a) x + y = 1 b) x + xy + y = 1 c) x + 4xy + y = 1 d) xy x y = e) xy + x y + x y = 0 f) 4x x y + 4y = 1 g) x + 1 y + 1 = h) x + y xy = 1 i) xy + x y = 4 j) x y + y x = k) x y = 1 x y xy l) = 1 (x +y ) m) x +y x y +1 = n) x + y = 1 x y o) x y + y x = 0

8 p) sen(xy) + x y = 0 q) ycos(x) = xsen(y) r) sen(x y ) cos( y x ) = 1 s) x ycos(y) = x + t) e xy x y = 1 xy u) ln(x4 +4y ) cos(xy) = 1