Unifesp - 1 o semestre de 2017 Lista de Exercícios 1

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1 Cálculo I Unifesp - 1 o semestre de 017 Lista de Exercícios 1 1. Considere os gráficos das funções abaixo: (a) Quais são os valores de f( 4) e g(7)? (b) Para quais valores de x temos f(x) = g(x)? (c) Quais são o domínio e a imagem de f(x)? (d) Quais são o domínio e a imagem de g(x)? (e) Estas funções são pares, ímpares ou sem paridade definida? (f) Em que intervalos f(x) é crescente? (g) Quais são as soluções da equação f(x) = 1?. Dada a função real f(x) = 4 + x, determine: (a) O esboço do gráfico da função. (b) Os conjuntos domínio e imagem. (c) A paridade da função (par/ímpar/sem paridade). (d) O intervalo de x no qual a função é crescente. 3. Sejam as funções reais f(x) = 1 + x e g(x) = 1 x. (a) Determine a raiz (x 1 ) de cada função. (b) Determine o domínio e a imagem de cada função. (c) Esboce o gráfico das duas funções em um mesmo diagrama. (d) Calcule a funcao (f + g)(x), e determine o seu dominio (lembrete: D = D f D g ).

2 (e) A partir dos gráficos de f(x) e g(x), esboce o gráfico de (f + g)(x) utilizando o método da adição gráfica. 4. Se f(x) = x 4 x 1 determine: (a) f(0) (b) f(1/t) (c) f(x ) 5. Se f(x) = 3x 1 x 7 determine f(h) f(0) (a) h (b) f(f(5)) 6. Determine o domínio das seguintes funções: (a) y = 3 + x x x (b) y = x Faça um esboço do gráfico da função f(x) e determine seu domínio e imagem. (x + 1), se x 1 f(x) = x + 1, se 1 < x < 1 4 x, se x 1 8. Para as funções f(x) = 3 x e g(x) = x 1 determine a definição algébrica e o domínio das funções abaixo: (a) (g f)(x) (b) (f + g)(x) (c) (fg)(x) 9. Existem funções na Matemática Aplicada chamadas de hiperbólicas. São definidas como senh(x) = ex e x, cosh(x) = ex + e x (a) Prove que cosh (x) senh (x) = 1. (b) Prove que o senh(x) é uma função ímpar e cosh(x) é uma função par. ( ) ( ) 1 u a + b 10. Dada Φ(u) = ln, verifique que Φ(a) + Φ(b) = Φ 1 + u 1 + ab 11. Considere uma população cujo crescimento em função do tempo pode ser explicado pelo modelo de Malthus através da seguinte a expressão: N(t) = 300 e 0,t onde N representa o número de indivíduos e t representa o tempo em anos.

3 0 A B F x log 3 x Figura 1: Exercício 13 (a) Determine a função inversa, isto é, determine t em função de N. (b) Determine em quantos anos a população atingirá 1000 indivíduos. 1. Encontre uma fórmula para a função inversa. Caso não seja possível, justifique. (a) f(x) = 1 + 3x 5 x (b) f(x) = + 5x 13. Se g(x) = 3 + x + e x, ache g 1 (4). (c) f(x) = x 3 x (d) y = ln(x + 3) 14. A figura (1) mostra o gráfico da função composta F (x) = log ( 3 x ) em um certo intevalo do eixo das abcissas. Com base no gráfico, responda: (a) Qual a coordenada do ponto A? (b) Qual a coordenada do ponto B? (c) Escreva o domínio e a imagem da função F (x). (d) Se f(x) = log(x) e g(x) = 3 x, F (x) = fog(x). Escreva a composição G(x) = gof(x), seu domínio e imagem. 15. Seja F (x) uma função sem paridade definida, P (x) é uma função par e I(x) uma função ímpar. Suponha que o domínio de todas estas funções é o R. F (x) F ( x) (a) Mostre que é uma função ímpar. F (x)+f ( x) (b) Mostre que é uma função par. (c) Diga qual é a paridade (par, ímpar, ou sem paridade definida) das seguintes composições: P (P (x)), P (I(x)), I (P (x)) e I (I(x)). (d) F (P (x)), F (I(x)) e P (F (x))tem paridade definida? 16. Dadas as funções definidas por f(x) = x + 4, g(x) = 1 x 4 e h(x) = 3x 1, pede-se: (a) h 1 (x) ( (b) h+g f ) ( 1) (c) Dom(g f) (d) Dom(f g)

4 (e) (g f)(x) (f) O gráfico cartesiano de (g f) (g) g(a + h) 17. Encontre a função inversa de f(t) = 50e 0,1t. 1 x se x A função g(x) = se 1 < x < 1 x + 1 se x 1 tem sua imagem dada por: (a) (, ) (b) R (c) [0, + ) (d) [, + ) 19. O domínio da função g(x) = 1 1 x (a) ( 1, 1) (b) [ 1, 1] (c) (, 1) (1, + ) (d) (, 0) 0. A função inversa de f(x) = 1 x 1+x é (a) f 1 (y) = 1 y 1+y (b) f 1 (y) = 1+y 1 y (c) f 1 (y) = 1 y y (d) f 1 (y) = y 1 y é dado por: 1. A evolução do valor gasto com pesticidas ( p ) na agricultura convencional (em milhões de reais) entre 1991 e 005 é aproximada pelo seguinte modelo matemático: { 0, 68t p(t) = 0, 3t + 45, 1 t 8 16, 7t 45, 9 t 15 onde t = 1 corresponde ao ano de 1991 e assim por diante. Com base neste modelo: (a) Esboce o gráfico desta função no domínio apresentado; e (b) Determine os valores gastos com pesticidas nos anos 1997, 000 e A população de tucanos em uma fazenda do pantanal matogrossense está decaindo e, no momento, possui 36 indivíduos. O modelo matemático desenvolvido por uma pesquisadora indica que em nove anos não haverá mais nenhum indivíduo naquele território. Com base nesta informação:

5 (a) Escreva o modelo matemático da pesquisadora em forma de uma equação linear, fornecendo a população de tucanos, p, em termos do tempo, t ; (b) Esboce o gráfico da função linear do item (a) no intervalo t = [0, 1] respeitando a imagem p Z + ; (c) Usando seu gráfico, estime a população de tucanos daqui a 4 anos; e (d) Usando a equação do item (a) estime em quanto tempo, a partir do presente, a população será de 4 tucanos. 3. Verifique se as funções f e g, definidas por f(x) = 1 + x 1 x g(x) = ( x 1 x + 1 ) para x 1, são inversas uma da outra. para x 0, x 1 e 4. Suponha que A, B e C sejam constantes com A > 0. Seja f a função definida por f(x) = Ax + Bx + C com x B. Ache a função inversa. A

6 Respostas: 1. (a) 6 e (b) 6, 1 e 4 (c) D f = [ 7, 8), Im f = [ 5, 6] (d) D g = [ 8, 8], Im g = [ 4, 4] (e) f(x) sem paridade, g(x) é ímpar. (f) [ 7, 4] e [ 1, 8) (g) 1 e 6. (b) D f = R, Im f = [4, ) (c) função par (d) [0, ) 3. (a) f(x 1 ) = 1, g(x 1 ) = 1 (b) D f = [ 1, ), D g = (, 1], Im f = Im g = [0, ) (d) (f + g)(x) = 1 + x + 1 x, D f+g = [ 1, 1] 4. (a) 4 (b) 5. (a) 0 7(h 7) (b) 1 4t t t (a) [ 3, 7] (b) [0, + ) (, 1) (c) x 4x x 3 7. D f = R, Im f = R 8. (a) x, D = (, ] (b) 3 x + x 1, D = (, 1] [1, 3] (c) (3 x)(x 1), D = (, 1] [1, 3] 11. (a) t = (b) 6 anos ln N ln 300 0, 1. (a) f 1 (x) = 5x 1 x + 3 (b) f 1 (x) = x, x 0 (c) não 5 (d) y = e x (a) A(8,0) (b)b(7,0) (c) Dominio=x R/x > 8, Imagem=R (d) G(x) = 3 log(x), Domínio=x R/x > 0, Imagem=R 15. (c) par,par,par ímpar (d) sim e é par, não tem paridade definida, não tem paridade definida 16. (a) log 3 (x + 1) (b) 3 3 (c) [ 4, + ) {0} (d) [ 4, + ) {, } (e) 1 x 17. f 1 (t) = 10ln(t) ln d 19. a 0. a 1. a) b) p(1997)= R$ 76, milhões; p(000)= R$ 1 milhões, p(004)=r$ 188,8 milhões.

7 . a p(t) = 4t + 36 b c 0 tucanos daqui à 4 anos d 8 anos à partir de não 4. f 1 (x) = B ± B 4AC + Ax A para x 4AC B 4A