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1 Centro de Estudos Matemáticos Florianópolis Professor: Erivaldo Santa Catarina Função Composta SUPERSEMI 01)(Aman 013) Sejam as funções reais ( ) f x = x + 4x e gx ( ) = x 1. O domínio da função f(g(x)) é a) D = x R x 3 ou x 1 { } { } { } { } { } b) D = x R 3 x 1 c) D = x R x 1 d) D = x R 0 x 4 e) D = x R x 0 ou x 4 0)(Pucrj 01) Sejam f(x) = x + 1 e g(x) = 3x + 1. Então f(g(3)) g(f(3)) é igual a: a) 1 b) 0 c) 1 d) e) 3 03)(Uern 01) Sejam as funções compostas f(g(x)) = x 1 e g(f(x)) = x. Sendo g(x) = x + 1, então f(5) + g() é a) 10. b) 8. c) 7. d) 6. 04)(Ufsj 01) Sendo a função f( x) = ax+ b, tal que ( ( )) CORRETO afirmar que a) 1 x f ( x) = + 3 b) f( 0) = 8 c) f( x) = 3x+ 4 d) 1 ( x ) f ( x) = 3 f f x = 9x+ 8, é

2 Centro de Estudos Matemáticos 05)(Uem 01) Considere as funções f e g, ambas com domínio e contradomínio real, dadas por f(x) = 5x e g(x) = x 6x + 1, para qualquer x real. A respeito dessas funções, assinale o que for correto. 01. A imagem de qualquer número racional, pela função f, é um número irracional. 0. A função g possui uma única raiz real. 04. Ambas as funções são crescentes no intervalo [ 0,+ [ do domínio. 08. O gráfico da função f o g é uma parábola. 16. Ambas as funções possuem inversas. 06)(Ufsm 01) Os praticantes de exercícios físicos se preocupam com o conforto dos calçados utilizados em cada modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em corridas, caminhadas, etc. A numeração para esses calçados é diferente em vários países, porém existe uma forma para converter essa numeração de acordo com os tamanhos. x Assim, a função g(x) = converte a numeração dos tênis fabricados no 6 Brasil para a dos tênis fabricados nos Estados Unidos, e a função f(x) = 40x + 1 converte a numeração dos tênis fabricados nos Estados Unidos para a dos tênis fabricados na Coreia. A função h que converte a numeração dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos é a) b) c) d) e) 0 1 h(x) = x h(x) = x h(x) = x x + 1 h(x) =. 3 x+ 1 h(x) =. 3

3 Centro de Estudos Matemáticos 07)(CFTMG 01) Sendo f(x) = x + x + 1 definida em A = {x R / x 1} e g(x) = x definida em R +, o gráfico que representa a função (gof)(x) é a) b) c) d)

4 Centro de Estudos Matemáticos 08)(IFSC 01) Em uma fábrica de bijuterias o custo de produção de um lote de brincos é calculado a partir de um valor fixo de R$ 15,00, mais R$ 1,50 por unidade produzida. Nessa fábrica, são produzidos lotes de, no máximo, brincos, sendo vendido cada lote com 5% de lucro sobre o valor de custo. Sobre essa situação, leia e analise as afirmações abaixo: I. A função C que relaciona o custo de produção a uma quantidade x de brincos produzidos é C(x) = 16,50x. II. A função V que relaciona o valor de venda de um lote de brincos e o custo C de produção é V(C) = 1,5C. III. O custo para produção de um lote com 400 brincos é R$ 75,00. IV. Considerando C a função que relaciona o custo de produção de uma quantidade x de brincos e V a função que relaciona o valor de venda de um lote de brincos com o custo C de produção, então a função composta V(C(x)) é a função que relaciona o valor de venda de um lote de brincos e a quantidade x de brincos produzidos. V. O preço de venda de um lote com 100 brincos é R$ 343,75. Assinale a alternativa CORRETA. a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS. b) Apenas as afirmações I, III, IV e V são VERDADEIRAS. c) Apenas as afirmações III, IV e V são VERDADEIRAS. d) Apenas as afirmações I e II são VERDADEIRAS. e) Todas as afirmações são VERDADEIRAS. 09)(Espm 01) Sejam f e g funções reais tais que Podemos afirmar que a f( x+ 1) = x+ 4 e g( x+ 1) = x 1para todo x R. função fog(x) é igual a: a) x 1 b) x + c) 3x + 1 d) x e) x 3

5 Centro de Estudos Matemáticos 10)(Uepg 011) Sobre uma função afim f(x) = ax + b, assinale o que for correto. 01. Se a > 0 e b < 0 então f(x) é crescente e possui raiz negativa. 0. Se o gráfico de f(x) passa pelos pontos, ( 1, 1) e (3, 5) então f(f( 3)) = Se f(x) + f(x 3) = x então f(x) = 1 x Se b = 3 e f(f( )) = 5 então a = Se a.b > 0 a raiz de f(x) é um número positivo. 11)(Ifal 011) Considere o gráfico da função y segmentos de reta: = f(x), representado por I. ( ) f(4) = f(1). II. ( ) f(f(f(0))) = f(). III. ( ) f(f(6)) = f(f(f(8))). Podemos afirmar que a) somente as afirmativas (I) e (II) são verdadeiras. b) somente as afirmativas (I) e (III) são verdadeiras. c) somente as afirmativas (II) e (III) são verdadeiras. d) todas as afirmativas são verdadeiras. e) todas as afirmativas são falsas.

6 Centro de Estudos Matemáticos 1)(Espm 011) função f (x). A figura abaixo representa o gráfico cartesiano da Sabendo-se que f (1) =, o valor de f f ( π) a) 1 b) 3 c) 3 4 d) e) 5 13)(Afa 011) Considere o conjunto A = { 0,1,,3 } e a função f:a A tal que f( 3) = 1 e f( x) = x+ 1, se x 3. A soma dos valores de x para os quais ( fofof )( x) = 3é a) b) 3 c) 4 d) 5 14) Classifique as seguintes funções em par, ímpar ou sem paridade: a) f(x) = 4x 4 5x + 7 b) g(x) = 9x 7 6x 5 + 4x c) h(x) = 15x 5 + 6x 3 5x d) f(x) = x 4 + cosx e) g(x) = x 3 senx f) h(x) = x.cosx

7 Centro de Estudos Matemáticos 15)(Fei 1996) Em relação à função polinomial f(x) = x 3-3x, é válido afirmar-se que: a) f(-x) = f(x) b) f(-x) = - f(x) c) f(x ) = ( f(x) ) d) f(ax) = a f(x) e) f(ax) = a f(x) 16)(Unifesp 010) Uma função f : R R diz-se par quando f( x) = f(x), para todo x R, e ímpar quando f( x) = f(x), para todo x R. a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares ou funções ímpares? Justifique sua resposta. b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo uma par e outra ímpar, e exiba os seus gráficos. 17)(Ita 010) Sejam f, g: afirmações: I. f. g e impar, II. f o g e par, III. g o f e impar, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas. R R tais que f é par e g é impar. Das seguintes

8 Centro de Estudos Matemáticos 18)(Afa 011) Considere as funções reais f e g tal que f( x) = x + 1e que existe a composta de g com f dada por ( )( ) ( ) função g, é incorreto afirmar que ela é a) par. b) sobrejetora. c) tal que g x ( ) 0, x R d) crescente se x + [ 1, [ gof x = x + 1. Sobre a 19)(Uepg 011) Considerando os conjuntos: R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {, 4, 6} e P = {1, }, assinale o que for correto (S P). 0. Existe uma função f: S P que é bijetora. 04. (S P) R = R. 08. R S P =. 16. Nenhuma função f: S R é sobrejetora. 0)(Uft 010) Seja a um número real e f: ], [ [ a, [ uma função definida por f(x) = m x + 4mx + 1, com m 0. O valor de a para que a função f seja sobrejetora é: a) - 4 b) - 3 c) 3 d) 0 e) 1)(Ita 005) Considere os conjuntos S = {0,, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {} (S - U) e S T U = {0, 1}. III. Existe uma função f: S T injetiva. IV. Nenhuma função g: T S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV.

9 Centro de Estudos Matemáticos )(Unifesp 00) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: "a valores distintos de x correspondem valores distintos de y". Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?

10 Centro de Estudos Matemáticos Gabarito: 01) a 0) a 03) a 04) d 05) 09 06) c 07) a 08) a 09) d 10) 06 11) d 1) d 13) b 14) a) par b) sem paridade c) ímpar d) par e) ímpar f) par 15) b 16) a) As funções pares são I e III, pois f(-a) = f(a) para qualquer a real. As funções ímpares são IV e V, pois f(-a) = - f(a) para qualquer a. b) função y = x é par e a função y = x é ímpar. 17) b 18) b 19) 4 0) b 1) b ) e

11 Centro de Estudos Matemáticos Resolução: Questão 01: Temos que f(g(x)) = (x 1) + 4(x 1) = x x+ 1+ 4x 4 = x + x 3 = (x + 3)(x 1). Assim, a função f o g está definida para os valores de x tais que (x + 3)(x 1) 0 x 3 ou x 1, ou seja, D = {x R x 3 ou x 1}. Questão 0: Como f(3) = 3+ 1= 7 e g(3) = = 10, segue que f(g(3)) g(f(3)) = f(10) g(7) = (37 + 1) = = 1. Questão 03: Sabendo que g(f(x)) = x e g(x) = x + 1, vem g(f(x)) = f(x) + 1 x = f(x) + 1 f(x) = x 3. Portanto, f(5) + g() = = 10.

12 Centro de Estudos Matemáticos Questão 04: ( ( )) ( ) f f x = 9x+ 8 aax+ b+ b= 9x+ 8 ( ) a x + b a + 1 = 9 x + 8 a = 9, logo a = 3 ou a = 3. Considerando a = 3, temos: ( ) b3+ 1= 8 b = Logo f( x) = 3x+ e f ( x) ( ) 1 x = 3 OBS: Poderíamos também ter considerado a = 3. Questão 05: (01) Verdadeiro. Para qualquer x Q Im(f) I (I ConjuntodosIrracionais) (0) Falso. x1 = 3+ g(x) = 0 x 6x + 1 = 0 x = 3 (04) Falso. A função f(x) = 5x é crescente para todo x R A função g(x) x 6x 1 = + é crescente para todo x [ 3, ) (08) Verdadeiro. (f og)(x) = f(g(x)) = 5(x 6x + 1) ) = 5x 30x + 5 é uma parábola. (16) Falso. Considerando as funções f e g, ambas com domínio e contradomínio real, temos: I. II. f(x) = 5x com D = R e CD = 1 x+ f (x) = com D = R e CD = 5 g(x) = x 6x + 1 com D =R e CD = R 1 g (x) = 3+ x+ 8 comd= 8, + e CD = 0, + [ ) [ ) Portanto, a inversa de g possui restrição quanto ao domínio. Logo, não admite inversa.

13 Centro de Estudos Matemáticos Questão 06: h(x) = f[g(x)] h(x) = x h(x) = 0 x Questão 07: A função composta g(f(x)) será dada por: gf(x) ( ) = x + x+ 1 ( ) g f(x) = x + x + 1 para x 1 Portanto, o seu gráfico é o da alternativa [A] (apenas o ramo direito da parábola). Questão 08: I. Falsa, pois C(x) = ,5x. II. Verdadeira. Como o lucro da produção é de 5% temos V(C) = 1,5 C. III. Verdadeira, pois C(400) = ,5 400 = R$ 75,00. IV. Verdadeira, pois V(C(x)) = 1,5 (15 + 1,5x). V. Verdadeira, pois V(C(100)) = 1,5 (15 + 1,5 100) = 1,5 75 = 343,75. Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS.

14 Centro de Estudos Matemáticos Questão 09: Fazendo t = x+ 1, vem 1 x 1 x = t+ 1 t = (x). Logo, x 1 x 1 f + 1 = + 4 f(x) = x+ 3. Por outro lado, se u= x+ 1, então 1 x = u+ 1 u (x) = x 1. Desse modo, g(x 1+ 1) = (x 1) 1 g(x) = x 3. Portanto, f og(x) = f(g(x)) = g(x) + 3 = x = x. Questão 10: Item (01) Falso Sendo f(x) = ax + b, temos para a > 0 e b < 0 o gráfico a seguir: Portanto, f(x) = ax + b é crescente, porém não possui raiz negativa (intercepta x num valor positivo)

15 Centro de Estudos Matemáticos Item (0) Verdadeiro Considerando f(x) = ax + b, temos: ( 1,1) f( 1) = a( 1) + b a+ b = 1 a = 1 (3,5) f( 3) = a( 3) + b 3a+ b = 5 b = Portanto: f( 3) = ( 3) + = 1 Logo: f(f( 3)) = ( 1) + = 1, então f(x) = x + Item (04) Verdadeiro f(x) = ax + b f(x) + f(x 3) = 1x (ax + b) + (a(x 3) + b) = 1x ax + b + ax 3a + b = 1x ax + b 3a = 1x Logo : 1 a = 1 a = 3 b 3a = 0 b = 4 Portanto: 1 3 f(x) = x + 4 Item (08) Falso Para b = 3 f(x) = ax 3 f( ) = a 3 f(f( )) = a( a 3) ) 3 f(f( )) = a 3a 3 Portanto: f(f( )) = 5 Logo a 3a 3 = 5 a 3a + = 0 Temos : 1 a1 = = ou a Item (16) Falso Se a < 0 e b < 0 ab 0 > Logo : A raiz de f(x) = ax + b será negativa..

16 Centro de Estudos Matemáticos Questão 11: A lei da função f é dada por 3x + 6, se 0 x 8 < f(x) = 30,se 8 x 15 <. x + 60, se 15 x 30 I. Verdadeira. f(4) = = 18 e f(1) = = 18. II. Verdadeira. f(f(f(0))) = f(f(3 0 6)) + = f(f(6)) = f(3 6 6) + = f(4) = = 1. e f() = = 1. III. Verdadeira f(f(6)) = 1. e f(f(f(8))) = f(f(30)) = f( ) = f(0) = (30 + 6) = 1. Questão 1: Observando que f é constante para x 4 e sabendo que π 3,14, basta calcularmos f(f()) para determinarmos f(f( π )). Do gráfico, temos que para x f é uma função afim, isto é, f(x) = ax + b. Como o gráfico intersecta o eixo y no ponto de ordenada 3, temos que b = 3. Além disso, sabemos que f(1) =. Logo, a 1 3 a 1 Desse modo, f(x) = + x 3 para x e, assim, f() = + 3 = 1. Portanto, f(f( π )) = f(f()) = f(1) =. = + =.

17 Centro de Estudos Matemáticos Questão 13: f[f(f(x))] =3 f(f(x)) = f(x) =1 Portanto, x = 3. Questão 14: a) Função polinomial só com expoentes pares b) Função polinomial com expoentes pares e com expoentes ímpares c) Função polinomial só com expoentes ímpares d) Soma de funções pares e) Soma de funções ímpares f) Produto de funções pares Questão 15: A Função f(x) = x 3-3x é uma função polinomial só com expoentes ímpares, portanto ela é ímpar, ou seja f(-x) = -f(x) Questão 16: a) As funções pares são I e III, pois f(-a) = f(a) para qualquer a real. As funções ímpares são IV e V, pois f(-a) = - f(a) para qualquer a. b) função y = x é par e a função y = x é ímpar. Questão 17: I. f(-x).g(-x) = - f(x).g(x) (função ímpar) II.f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) ( função par) III.g(f(-x)) = g(f(x)) ( função par) Apenas I e II estão corretas.

18 Centro de Estudos Matemáticos Questão 18: g(f(x)) = (f(x)) = f(x) portanto g(x) = x g(x) não é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é contradomínio é o conjunto dos números reais. 0,+ e seu Questão 19: Item (01) - Falso S P = {4,6}. Portanto 1 (S P). Item (0) - Falso Função Bijetora Função injetora e função sobrejetora. Função injetora: x1 x y1 y Função sobrejetora: CD(f) = Im(f) Portanto: f:s P não é injetora, pois existirá x1 x y1 = y Item (04) - Falso (S P) R = { 0,1,,3,5,7 } R Item (08) Verdadeiro R S P = pois, não possuem nenhum elemento em comum. Item (16) Verdadeiro Função sobrejetora: CD(f) = Im(f) Portanto: Qualquer associação entre S e R que defina uma função terá CD(f) Im(f).

19 Centro de Estudos Matemáticos Questão 0: a deverá ser o y do vértice. Δ ((4m) 4. m.1) 1m Portanto, s = = = = 3 4a 4. m 4m Questão 1: b Questão : e