Aula 2 Função_Uma Ideia Fundamental

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1 1 Tecnólogo em Construção de Edifícios Aula 2 Função_Uma Ideia Fundamental Professor Luciano Nóbrega

2 2 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO A função é como uma máquina onde entram elementos que são transformados e saem suas Matematicamente... y 12 IMAGENS O domínio é o conjunto de todas as entradas, enquanto a imagem é o conjunto de todas as saídas. Entra o x E sai o y.

3 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO 3 Considere os seguintes conjuntos A e B A é o Conjunto DOMÍNIO Definição de Função: 1 3 A 4 2 Dados dois conjuntos A e B, se para cada valor de x (x Є A) existir, em correspondência, um único valor de y (y Є B), então dizemos que y está em função de x. f NOTAÇÃO: B 5 9 f (x) = y B é o Conjunto CONTRADOMÍNIO Conjunto IMAGEM Observe que aqui: f (x) = x + 4 f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 4 + 4

4 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 4 8 O diagrama ao lado representa uma função? E agora? Temos uma função? 9 (UFRJ) Considere a relação de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta: A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s; B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k; C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k; D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k. 10 (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode representar uma função?

5 5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO Num determinado dia registaram-se as temperaturas numa certa cidade, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia. Indique: 1º) o domínio; 2º) o contradomínio; 3º) Quais as horas do dia em que se registou a temperatura 3ºC? 4º) Este gráfico representa uma função? Justifique. Temperatura º C Como verificar se um gráfico determina uma função? Horas Não se trata de uma representação de uma função Trata-se de uma representação de uma função

6 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 11 Determine o domínio das funções definidas por: a) f (x) = ( x 7) -1 b) f (x) = ( 3x 1) 1/ (UNESP SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é: A) B) C) D) 2601.

7 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 14 (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: A) 7 m B) 9 m C) 8 m D) 10 m 7 15 (UFRN) Determine o valor da expressão para a = a 2 a a 2a 2

8 FUNÇÃO COMPOSTA 8 Considere as funções f: A B e g: B C, então a função h: A C é a função composta g(f(x)), com x A. A B x f(x) g(f(x)) x = 5 C Ex: f(x) = x+2 e g(x) = x 2, então g(f(x)) =? Mais exemplos: Sejam as funções f(x) = x 2 1 e g(x) = 3x, calcule: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) 16 Determine as funções compostas de f(x)= x e g(x)= (2 x) 17 (IFRN) Se f(g(x)) = 4x 2 8x + 6 e a) f(g(3)) b) g(f(5)) g(x)=2x 1, então f (2) é igual a: c) f(f(9)) d) g(g(7)) A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) 6 18 (IFRN) Dadas as funções f(x) = 3x+4 e f(g(x))=x 5, então g( 3) é igual a: A) 4 B) 3 C) 3 D) 4 E) 5

9 FUNÇÃO INVERSA 9 Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos importantes: FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD ). FUNÇÃO BIJETORA É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. EXEMPLO: Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas:

10 FUNÇÃO INVERSA 10 Uma função f(x) tem inversa se e somente ela for bijetora. D f(x) R OBS: O símbolo 1 em f 1 (x) não é um expoente. f 1 (x) não significa 1 / f(x). x f -1 (x) OBS: Os gráficos de f(x) e f 1 (x) são simétricos em relação a função y = x. y A função inversa f 1 (x) desfaz o que a função f(x) faz. Observe: f(x) = 2x + 1; f 1 (x) =? EXEMPLO: Se f (1) = 5 e f (8) = -10, determine f 1 (5) e f 1 (-10). EXEMPLO: (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3x 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é: A) (x + 3) : ( 3x 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 x) C) ( 2x 1) : (x + 1) D) ( 3x 1) : (x + 3)

11 TESTANDO OS CONHECIMENTOS (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f: B R é a função que associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f : A) é injetora e não é sobrejetora. B) é injetora e é sobrejetora. C) não é injetora e é sobrejetora. D) não é injetora e não é sobrejetora. 21 Dadas as funções ƒ(x) = 5x+1 e g(x) = 6x 4, resolva a equação ƒ -1 (g(x)) = 7, seguindo o procedimento em cada item: 1º) Determine ƒ -1 (x); 2º) Na função ƒ -1 (x) obtida no item (1º), substitua x por g(x), em seguida, iguale a 7 e resolva a equação; 20 (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: A) f é uma função sobrejetora. B) f não pode ser uma função bijetora. C) f não pode ser uma função injetora. D) f é necessariamente uma função injetora. GABARITO: 11) x = 20 /3

12 FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x) Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y. FUNÇÃO ÍMPAR: f(x) = - f(-x) Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. y y 12 f(x) = x² f(x) = x³ x 22 a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar: b) Mostre que f(x) = 3x² é par: 23 Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f( x) será : x

13 TESTANDO OS CONHECIMENTOS Determine a função inversa das seguintes funções: a) f(x) = 4 3x b) f(x) = x / 2 c) f(x) = x / (x 2) 25 Dada a função f(x) = 2x + 5. a) Classifique-a; b) Determine f 1 (x); c) f(f 1 (x)) e f 1 (f(x)) 26 Represente em um mesmo plano cartesiano, o gráfico da função f(x) = x, g(x) = 2 3x e g 1 (x). O que você pode observar? 27 Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: a) f(x) = 2x 1 b) f(x) = x 2 c) f(x) = x 3 28 (UFCE) Seja f: R R a função tal que f(1) = 4 e f(x+1) = 4.f(x) para todo x real. Nessas condições, f(10) é igual a: A) 2 10 B) 4 10 C) 2 10 D) 4 10

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