CÁLCULO I Aula 01: Funções.

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1 Inversa CÁLCULO I Aula 01: Funções. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará

2 Inversa 1 Funções e seus 2 Inversa 3

3 Funções Funções e seus Inversa Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa cada elemento x A a um único elemento y B. O conjunto A é chamado domínio da função f e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela seguinte notação: f : A B

4 Inversa Para armarmos que um determinado x A está associado a certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f (x)

5 Inversa Para armarmos que um determinado x A está associado a certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f (x) Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f Im f = {y B y = f (x), x A}

6 Representação de Funções Funções e seus Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir Inversa Figura: Representação de uma função por um diagrama de echas

7 Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Funções e seus Inversa Dia Valor da Compra 02 2, , , , , , , , , , 2460

8 Inversa Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela.

9 Inversa Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores, não são ecientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráca de uma função é a melhor forma de visualizála e entender o seu comportamento. E para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a denição de gráco de uma função.

10 Inversa Denição Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f (x)) A B x A}

11 Inversa Denição Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f (x)) A B x A} O gráco de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função, pois uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o gráco, é da forma y = f (x), podemos ler o valor f (x) como sendo a altura do ponto no gráco acima de x.

12 Inversa Figura: Entendendo f (x) como uma altura do ponto x no gráco de f.

13 O gráco também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f. Funções e seus Inversa Figura: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráco.

14 Teste da Reta Vertical Funções e seus Inversa Uma curva no plano xy é o gráco de uma função de x se, e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.

15 Inversa Figura: Ilustração 1 do Teste da Reta Vertical.

16 Inversa Figura: Ilustração 2 do Teste da Reta Vertical.

17 Inversa Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função.

18 Inversa Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Exemplo Considere a função dada por f (x) = 1. Determine o seu domínio. x 2 1

19 Inversa Exemplo Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g.

20 Inversa Exemplo Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g. Exemplo Determine o domínio da função h(x) = 2x 4 x 3 8.

21 Inversa Funções e seus Inversa Uma função f : A B é chamada injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, para x 1, x 2 A, Se x 1 x 2 então f (x 1 ) f (x 2 ) Analogamente, temos que Se f (x 1 ) = f (x 2 ) então x 1 = x 2

22 Inversa Uma forma de vericarmos gracamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta horizontal:

23 Inversa Uma forma de vericarmos gracamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta horizontal: Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráco em mais de um ponto

24 Figura: Exemplo de um gráco de função injetora. Funções e seus Inversa

25 Inversa Figura: Exemplo de um gráco de função que não é injetora.

26 Inversa Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se Im f = B. Equivalentemente, para todo elemento y B, existe um x A tal que y = f (x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no seguinte exemplo.

27 Inversa Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se Im f = B. Equivalentemente, para todo elemento y B, existe um x A tal que y = f (x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no seguinte exemplo. Exemplo Considere f : R R, denida por f (x) = x 3. f é sobrejetora?

28 Inversa Assim como foi estudado para funções injetoras, existem funções que não são injetoras. Basta observar o seguinte exemplo. Exemplo Considere f : R R, denida por f (x) = x 2. f é sobrejetora?

29 Inversa Observação Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da função. Por exemplo, note que se a função f fosse denida f : R R +, ela seria sobrejetora.

30 Inversa Observação Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da função. Por exemplo, note que se a função f fosse denida f : R R +, ela seria sobrejetora. Denição Seja f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora.

31 Inversa Observação Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da função. Por exemplo, note que se a função f fosse denida f : R R +, ela seria sobrejetora. Denição Seja f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora. Note que f (x) = x 3 é bijetora e f (x) = x 2 não é.

32 Inversa Seja f : A B uma função bijetora. Denimos a função inversa de f e denotaremos por f 1 como sendo a função f 1 : B A, tal que y = f (x) x = f 1 (y) (1)

33 Inversa Exemplo Considere os conjuntos A = 1, 2, 3 e B = 0, 4, 5 e uma função f : A B, dada por f (1) = 4 f (2) = 5 f (3) = 0 Determine a função f 1.

34 Inversa Exemplo Das as funções abaixo, determine as suas inversas. (i) f : R R, dada por f (x) = x 3 ; (ii) g : [0, 1] [0, 1], dada por g(x) = 1 x 2 ;

35 Inversa Observação Diversas vezes, tentaremos encontrar a inversa de uma função. Muitas delas não possuem função inversa em todo o seu domínio. Sendo assim, podemos determinar a inversa de uma função em subconjuntos do domínio, como é o caso das funções trigonométricas inversas. Um processo para fazer isso é: Encontrar um intervalo onde a função f é injetora; Restringir a função nesse intervalo.

36 Inversa Podemos utilizar uma ideia geométrica para identicar uma função f e sua inversa f 1, que é a seguinte: Sejam f e sua inversa f 1. Então os grácos de f e f 1 são simétricos em relação à reta y = x.

37 Inversa

38 Inversa Denição (Composição de funções) Dadas duas funções f e g, tal que a imagem de f é subconjunto do domínio de g, a função composta de f com g, denotada por g f (x) é denida por; g f : A R, cuja regra é dada por: (g f )(x) = g(f (x)). Simbolicamente: D(g f ) = {x D(f ) f (x) D(g)}.

39 Inversa Figura: Composição de Funções

40 Inversa Observação É comum usar a notação f 2 para f f, f 3 para f f f. No geral, para um inteiro n 1, denimos f n = f n 1 f e f 0 = I, onde I é a função identidade de A. Exemplo Sejam f (x) = x e g(x) = x 1. Encontre g f. Exemplo Sejam f (x) = x + 1 x e g(x) = x + 1. Encontre (f g)(x) e seu respectivo x 4 domínio.

41 Inversa Exemplo Sejam as funções: 0, se, x < 0 f (x) = x 2, se, 0 x 1 0, se, x > 1 1, se, x < 0 e g(x) = 2x, se, 0 x 1 1, se, x > 1 Determinar f g.

42 Inversa Proposição Sejam f : A B e g = f 1. Então g(f (a)) = a, a A e f (g(b)) = b, b B Se A = B = R, então g(f (x)) = x x R

43 Na próxima aula... Funções e seus Inversa Mais sobre Funções

44 Na próxima aula... Funções e seus Inversa Mais sobre Funções Funções Elementares;

45 Na próxima aula... Funções e seus Inversa Mais sobre Funções Funções Elementares; Transformações no gráco de uma função.