Relações Binárias, Aplicações e Operações

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1 Relações Binárias, Aplicações e Operações MAT II Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

2 Referências ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos, Nobel, DOMINGUES, H.H. & IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4a Edição. Atual Editora, Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

3 Relações Binárias Chama-se relação binária a qualquer conjunto de pares ordenados. Mais explicitamente: Sejam E e F dois conjuntos não vazios. Uma relação binária R de E em F, é qualquer subconjunto de E F (produto cartesiano), isto é, R é um conjunto tal que: R (E F ). Se R é uma relação binária, em vez de dizer que o par (a, b) pertence a R, diz-se também que o elemento "a"está na relação R com o elemento "b"e escreve-se, arb. ((x, y) R x R y.) Obs 1: Se F = E, diz-se que R é uma relação binária em F. Obs 2: Existem relações Trinária,..,n-ária também. Obs 3: As vezes subconjuntos R A B se chama de gráfo e representa por G. Domínio/Imagem/Inversa de R: Domínio de R: D R = {x y; x R y, } Imagem de R: I R = {y x; x R y, } Inversa ou recíproca de R: R 1 = {(y, x) x R y; } (portanto: y R 1 x x R y). Obs 4: Pode representar os relações pelo diagrama Carteziano, diagrama sagital ou tabela de dupla entradas. Exemplo 1: Determinem os pares ordenados da relação R; o conjunto domínio e o conjunto imagem e a relação R 1 : 1- Sejam A = { 2, 1, 0, 3}, B = {2, 4, 5} e R = {(x, y) A B x y < 2, } 2- Sejam R a relação de "x 2 + y 2 = 1"em R. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

4 Operaçãoes com relações Sobre relações R e S de A em B, efetuam-se operações usuais de interseção, união, complementação, diferença e diferença simétrica. Isto é, determinam se-: R S, R S, C A BR, R S, R S. Exemplo 2: sejam A = {x Z + x é par 4}, B = {x Z + x é impar < 6} e relações: R = {(2, 1), (4, 3), (0, 1)} e S = {(0, 1), (4, 1), (4, 3), (2, 1)}, encontrem R S, R S, C A BR, C A BS, R S, R S. Relação Identidade: Dado um conjunto A, chama-se a relação identidade em A ou relação Idêntica em A, Id A = {(x, x) x A.} Obs 5: O conjunto Id A é em fato o que se chama Diagonal de A A. Exercíxio 1:Encontrem domínio e imagem da Relação R = {(x, y) R R 4x 2 + 9y 2 = 36.} Exercíxio 2: Demonstrem seguintes propriedades para uma relação R: 1- D R = I R 1 e I R = D R 1; 2- (R 1 ) 1 = R. Exercíxio 3: Seja A = { 1, 0, 1, 2} determinem a relação Id A. Exercíxio 4: Seja A tem n elementos,(n N), relação de identidade Id A A A tem quantos elemento? Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

5 Composição de Relações Seja A,B,C três conjuntos não vazios, e R e S respectivamente sejam relações definidas sobre A B e B C. Chama-se Relação Composta das relações R e S: S R = {(x, y) A C z B([(x, z) R] [(z, y) S])}. Exemplo 3: sejam A = {x N x é par 4}, B = {x N x é impar < 6} e C = {x Z x primo} e relações: R = {(2, 1), (4, 3), (0, 1), (2, 3)}, S = {(3, 3), (5, 3), (1, 5)}. Então S R vai ser... Exercíxio 5: Seja X = {x x [ 3, 0]} e a relação R = {(x, y) R R 4x 2 + 9y 2 = 36.} e R = {(x, y) R R 9x 2 + 4y 2 = 36.} encontrem a R R. Exercíxio 6: seja A = {1, 3, 4}, B = {2, 3, 5}, C = {3, 6, 8, 11}, e S = {(x, z) A B x + z > 5}, R = {(z, y) B C z y (divisor)}. Encontrem R S. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

6 Propriedades de Relações Cmpostas/Numero das Relações sobre Conjuntos - Teorema 1: Quaisquer que sejam os relações R de A em B e S de B em C, (S R) 1 = R 1 S 1. - Teorema 2: Qualquer que seja a relação R de A em B, R Id A = R, e Id B R = R. - Teorema 3: Quaisquer que sejam os relações R de A em B e S de B em C e T de C em D, (T S) R = T (S R). Número de Relações entre dois conjuntos finitos Seja A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos. Como produto cartesiano A B tem mn elementos e qualquer subconjunto dele pode criar uma relação de A em B, então existe 2 mn relações distintos entre A e B. Em particular se A = B, numero das relações possiveis em A, é 2 m2. Exemplo 4: Seja A = {1, 2, 5} e B = {a, c}. Então número de relações distintas entre A e B são 2 (2 3) = 64. Qual número de relações distinta em B? Exercíxio 7: Seja A = { 1, 0, 1} e R em A:R = {(x, y) : x é divisivel por y.} qual é número dos elementos de R? Quantas relaçõe distintas pode definir em A? Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

7 Propriedades das Relações Obs 6: No livro E. A. Filho uma relação R de A em B é mostrado com R = (G, A, B), onde G A B se-chama um gráfo. Observem que sem perder a generalidade podem subistituir G por R e ver como R = (R, A, B) onde pode se ler: uma relação R de A em B. Seja A um conjunto não vazio e R uma relação em A ou R = (R, A, A, ). Podemos explorar as seguintes propriedade: Reflexividade: x; (x A x R x). Simetria: x y; (x, y A); ( Se x R y y R x). Anti-simetria: x y; (x, y A); ( Se x R y y R x x = y) ( Se x y x R y y R x). Transitividade: x y z; (x, y, z A); ( Se x R y y R z x R z). Relação de equivalência Uma relação R em A ou R = (R, A, A) chama-se "Relação de equivalência"que é Reflexiva, Simétrica e Transitiva. Exemplo 5: R 1 = {(l, l ) linhas paralelos em plano}, ou R 2 = {(x, y) Z 2 5 x y.} Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

8 Relação de Equivalência Exercício 8: Seja A o conjunto de todos triângulos no plano P. Mostrem que relação R é uma relação de equivalência: x R y (triângulo x é semelhante ao triângulo y). Exercício 9: Considerem a relação R em N N talque R = {[(m, n), (r, s)] ms = nr.} Demonstrem que relação R é uma relação de equivalência. Exercício 10: Considerem a relação R em Z talque x R y (x 2 + x = y 2 + y). Demonstrem que relação R é uma relação de equivalência. Exercício 11: Seja E um conjunto não vazio P (A) seu conjunto das partes. Mostrem que a relação não é uma relação de equivalência. R = {(X, Y ) P (A) P (A) X R Y X Y } Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

9 Classe de Equivalência/Problema aberto Classe de Equivalência Seja A um conjunto não vazio e R uma relação de equivalência em A. Chama-se classe de equivalência de a A modulo R: [a] = {x A x R a} ou [a] = {x A x a (mod R).} Obs 7: [a] A e [a] P (A). Propriedade de Relações de Equivalências Seja A um conjunto não vazio e R uma relaçã de equivalência em A. Lemma 1: Para a, b A temos que [a] = [b] a R b. Lemma 2: Se [a] [b], então [a] = [b]. Exemplo 6: Seja A = {0, 1, 2, 3} e considerem a relação de equivalência, R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 0), (3, 1)}, então veremos as classes de equivalências [0], [1]. Exemplo 7: Considerem a relação de equivalência de = em Q + e definam as classes de equivalências. Problema:(em aberto) Construa uma Relação de equivalcia em P (conjunto dos números primos)! Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

10 Classe de Equivalência/Conjunto Quociente Conjunto Quociente Chama-se Conjunto Quociente de A pela relação de equivalência R: Obs 8: A P (A) e A P (P (A)). R R Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Uma partição de A é: X i, X j(i j) P (A), talque X i X j =, X i P (A) Xi = A. ( A =) A = {[a] a A}. R Exemplo 8: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, o P = {{1, 3}, {2, 5}, {4}} é uma partição de A. Teorema 4: Dado A, um conjunto não vazio e uma relação de equivalência em A, o conjunt quociente A é uma partição de A. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

11 Relação de Ordem Parcial Relação de Ordem Uma relação R em A ou R = (R, A, A) chama-se "Relação de Ordem (parcial)"que é Reflexiva, Anti-Simétrica e Transitiva. Obs 9: Todo conjunto munido com um ordem R é chamado Conjunto Ordenado pelo R. Exemplo 9: A relação de no conjunto dos numeros reais, é uma relação de ordem mas a relação de < não é. Elementos Comparaveis pela ordem R Seja A um conjunto não vazio e uma relação de ordem. Dois elementos x, y A chama-se comparaveis pela ordem se uma das sentenças x y ou y x for verdadeira. Exemplo 10: Os elementos 3, 5 em N, estão comparaveis pela ordem mas não são comparaveis pela ordem em N. Obs 8: Considerem conjuntto ordenado A com relação de ordem "."O elemento a A chama-se "Min A", se x(x A a x) e o elemento b A, chama-se "Max A", se x(x A x b). Ordem Total: x y; (x, y A; x y y x). Todo conjunto munido com uma ordem Total é chamado Conjunto Totalmente Ordenado pelo. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

12 Exercícios de Partições/Relação de Ordem Exercício 12: Mostrem que a relação x y é uma relação de ordem em Z + mas não é uma relação de ordem em Z. Exercício 13: Seja A = {a, b, c, d, e, f, g}. verifiquem se seguintes conjuntos de partes são uma partição de A: 1)P 1 = {{a, c, e}, {b}, {d, g}, } 2)P 1 = {{a, g, e}, {c, d}, {b, e, f}}, 3)P 1 = {{a, g}, {c, e, f, d}, {b, e, f}}. Exercício 14: Seja P 1, P 2 duas partições finitas de um conjunto finito A. demonstrem que a P c = {X i X j X i P 1, X j P 2}, também é uma partição de A. Exercício 15: Seja A um conjunto qualquer. Mostrem que a relação R definido sobre P (A), conjunto das partes de A, talque R = {(X, Y ) X, Y P (A), X R Y X Y }, é uma relação de ordem. Exercício 16: Mostrem que a relação de Exemplo 9 é um ordem Total em R. Exercício 17: Se a, b Z defina a relação a R b (b a) Z +. Mostrem que a relação R é uma relação de ordem sobre Z. Exercício 18: Seja A = {1, 2, 3, 4}. Construa uma relação talque é uma relação de equivalência e uma relação de ordem ambas no mesmo tempo. Exercício 19: Resolva lista de relação de ordem e equivalência na Intermat/listas. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

13 Funções e Aplicações Função ou Aplicação Chama-se a relação f de A em B, onde A, B são conjuntos quaisquer, uma função ou aplicação de A em B, se: 1) A = D f (para todo x A, y B; (x, y) f); 2) se (x, y) f e (x, z) f, então y = z. (!y ou f é um grafo funcional.) (Obs 10: No livro E.A. Filho usa notação f = (F, A, B) onde F A B é um grafo funcional.) Notação: Usualmente usamos a notação f : A B para expressar que a relação f é de A em B e o único imagem de x pelo f representamos por y = f(x). Então, f = {(x, f(x)) A B x A.} Exemplo 11: Seja A = Z, B = Q e considere a seguinte relação: f = {(x, y) A B y = 2x 1 }. 3 Exemplo 12: Seja A = Z, B = Z + e considere a seguinte relação: f = {(x, y) A B x 2 + y 2 = 25}. Obs 11: A Imagem de f vai ser I f = {y = f(x) x A}. Observe que na definição de uma função, não pedi para B = I f, então basta I f B e no caso o conjunto B se chama contradomínio. (função real de variavel real) Teorema 5: As funções f : A B e g : A B são iguais se e somente se, f(x) = g(x) para todo x A. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

14 Funções Injetora, Sobrejetora e Bijetora Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Dado uma relação f A B de A em B, onde A, B são conjuntos quaisquer, 1) chama-se uma função f : A B, função Injetora, se para x 1, x 2 A; x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2(x 1, x 2 A, f(x 1) = f(x 2) x 1 = x 2). 2) chama-se uma função f : A B, função Sobrejetora, se y B, x A; y = f(x) I f = B. 3) chama-se uma função f : A B, função Bijetora, se é injetora e sobrejetora. (Função Bijetora tem inversa f 1 tal que Id A = f 1 f, f f 1 = Id B) Obs 12: Exite teste das retas horizontais para se determinar quando uma função é injetora, sobrejetora ou bijetora.(considere a reta horizontal y = y 0.) Exemplo 13: Seja f : R {2} R dada por f(x) = 5x 3. x 2 Exemplo 14: Seja f : R R dada por f(x) = x. Exemplo 15: Seja f : R R dada por f(x) = ax + b, a 0. Exemplo 16: Sejam f(x) = ln x, f(x) = sin(x), f(x) = 2 x, f(x) = x 4, 3 x usando teste das retas determinem se estão função bijetoras. Exercício 20: Mostre que a função f : R {b} R {a} dada por f(x) = ax+c x b com a, b, c R é bijetora. Exercício 21: Mostre que a função f : R { 5} R {4} dada por f(x) = 4x 8 x+5 é bijetora. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

15 Composição e Inversa de funções /Função Idêntica Funções Composta A função composta de g : B C e f : A B, é uma função h : A c, definido por h(x) = f g(x) = f(g(x)), para todo x A. Exemplo 17: Sejam A = B = C = R e f : R R dada por f(x) = x 4 e g : R R dada por g(x) = x Teorema 5 Seja A, B, C, D conjuntos. 1) se f : A B e g : B C são funções injetoras, então g f : A C é uma função injetora. 2) se f : A B e g : B C são funções sobrejetoras, então g f : A C é uma função sobrejetora. 3) se f : A B e g : B C são funções bijetoras, então g f : A C é uma função bijetora. 4) A composição de funções satisfáz a propriedade associativa. 5) Existem Id A : A A (Id A(x) = x) e Id B : B B (Id B(y) = y), funções idênticas para f : A B, tal que Id B f = f e f Id B = f. Exercício 22: Mostre, se função f : A B é bijetora, existe uma função bijetora g : B A, talque g f = Id A e f g = Id B.(função g = f 1 é inversa da f.) Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

16 Imagem Direta de um Conjunto por f Imagem direta Seja f uma função de A em B. A imagem direta de X A pelo f que representa-se por f(x), é : {f(x) x X.} (Obs: f(x) I f e f( ) =.) Teorema 6 Seja f = (f, A, B) uma função de A em B onde A e B são conjuntos não vazios. 1) Se X, Y A e X Y, então f(x) f(y ). 2) Para X, Y A, então f(x Y ) = f(x) f(y ). 3) Para X, Y A, então f(x Y ) f(x) f(y ). 4) Para X, Y A, então f(x) f(y ) f(x Y ). Exemplo 17: Seja f : Z Z, e A = {0, 1, 2}, B = {4, 5} onde f(x) = c. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

17 Imagem Inversa de um Conjunto por f Imagem Inversa Seja f uma função de A em B. A imagem inversa de Y B pelo f que representa-se por f 1 (Y ), é : {x A f(x) Y.} (Obs: f(x) = y x f 1 (y) e f 1 (B) = f 1 (I f ) = A.) Teorema 7 Seja f = (f, A, B) uma função de A em B onde A e B são conjuntos não vazios. 1) Para X, Y B e X Y, então f 1 (X) f 1 (Y ). 2) Para X, Y B, então f 1 (X Y ) = f 1 (X) f 1 (Y ). 3) Para X, Y B, então f 1 (X Y ) = f 1 (X) f 1 (Y ). 4) Para X, Y B, então f 1 (X) f 1 (Y ) = f 1 (X Y ). Exemplo 18: Seja f : Z Z, e A = {0, 1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} onde f(x) = c. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

18 Diferentes Tipos de Funções/ Operação Interna Seja A,B dois conjuntos e b B, X A. 1) Função Constante, f(x) = b. 2) Função Idêntica, f(x) = x, ou Id A(x) = x. 3) Função de Inclusão, i X : X A onde i X(x) = x. 4) Função Característica, C X : A {0, 1} onde C X(x) = 1 se x X e C X(x) = 0, se x / X. Exercício 23: Resolva lista de funções no Intermat/listas. Operação Interna Uma função ou aplicação f : A A A é dita operação, ou, lei composição interna, sobre A (ou em A), se: x, y A, x y A., (Então f(x, y) = x y (x, y) A A.) Exemplo 19, 20: A relações f : N N N, onde f(x, y) = x + y e f : Z Z Z, onde f(x, y) = x y. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

19 Operação Interna Sobre um conjunto Propriedades de uma Operação Seja A um conjunto e f : A A A talque f(x, y) = x y, é uma operação, 1) Operação é Associativa: x, y, z A; (x y) z = x (y z). 2) Operação é Comutativa: x, y A; x y = y x. 3) Operação admite Elemento neutro denotado por "e": x A; x e = x = e x. 4) Um elemento x A é Simetrizável, em relação a : x A; x A : x x = e = x x. Notação: U A = {x A x A; x x = e = x x.} 5) Um elemento s A é dito Elemento Regular, em respeito a operação, se, x, y A : x s = y s x = y (regular a direta) e s x = s y x = y (regular a esquerda).notação: (R A = {x A x é regular}). Proposição 1: Se a operação sobre E tem elemento neutor, então é único. Proposição 2: Seja uma operação sobre o conjunto E, que é associativa e tem elemento neutro e, então: 1) se x E é simetrizável, então o seu simétrico é único. 2) se x E é simetrizável, então o seu simétrico x também é: (x ) = x, 3) se x, y E são simetrizáveis, então x y também é: (x y) = y x. Proposição 3: Se é uma operação sobre o conjunto E, que é associativa e tem elemento neutro e, e x E é simetrizável, então x é regular. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

20 Propriedades das Operações Distributividade entre duas operações Dado conjunto A e as operações e no A, é dito que a operação é distributiva esquerda sobre : x, y, z A : x (y z) = (x y) (x y) e é distributiva direita sobre : x, y, z A : (y z) x = (y x) (z x). Considere R com operações "+"e ".": A "."é distributiva em respeito a "+": 1) dist esquerda: x, y, z R : x.(y + z) = x.y + x.z 2) dist direita: x, y, z R : (x + y).z = x.z + y.z. Parte Fechada para uma Operação Dado conjunto A e B A, o conjunto B e fechado pela operação do conjunto A, se: x, y B; x y B. Exemplo 21: O conjunto N é fechado para aadição em Z, mas não é fechado para subtração em Z. Exemplo 22: Sejam x y = x + xy e x y = xy + 1 operações sobre Z. Verifique se é distributiva em relação a operação. Exercício 24: Verifique, em Z Z, se a operação dada por (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc) é distributiva em relação a operação (a, b) (c, d) = (a + c, b + d). Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

21 Tábua de uma Operação Tábua/Comutatividade,Elementos neutro, simetrizável e regular Exercício 25: Construa a tábua da operação de multiplicação e adição em Z 3. Exercício 26: Construa a tábua de uma operação sobre o conjunto B = {a, b, c, d} de modo que seja comutativa, o elemento "b"seja o neutro, U (B) = R (B) = B e a c = b. Exercício 27: Verifique se o conjunto A = {0, 2, 4} é fechado mediante a adição em Z 5. Exercício 28: Construa a tábua da sendo, comutativa, todo elemento de A regular, o elemento neutro é "e", os elementos "a"e "f"são simétricos, "b"e "d"também são simétricos, a d = b c = f, a c = b b = d, c d = a. Exercícios: Resolva lista de Operações no Intermat/listas. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

22 Estruturas Álgebricas Definidas por Uma Operação Grupos e Subgrupos Um sistema constituído de um conjunto não vazio G e uma operação juntamente com seguintes axiomas: Axioma 1) (G, ) é Associativa; Axioma 2) (G, ) tem elemento neutro e; Axioma 3) U (G) = G ( x G, x simetrizavel) é chamado de um Grupo! Obs: Se além disso o (G, ) é comutativo, se chama de Grupo Comutativo. Exemplo 23: (G = {1, 1},.), (Z, +), (Q, +), (R, +), (Z m, +), (M m n(r), +), (Q,.), (R,.), (Todos são comutativos). O Grupo (M n n(r),.) é um exemplo de um grupo não comutativo. Obs: Seja (G, ) um grupo e H G. O (H, ) é chamado de um Subgrupo de G, se 1) H é fechado por e 2) (H, ) é um grupo. Exemplo 24: (Z, +) (R, +) ou (Q,.) (R,.). Homomorfísmos e Isomorfísmos de Grupos Um Homomorfísmo de um grupo (G, ) num grupo (J,.) é uma aplicação f : (G, ) (J,.) t.q f(x y) = f(x).f(y). Se um homomorfismo de grupos for bijetora, então se chama um Isomorfísmo.(Ex: O (G = {1, 1},.) e (S 2, )). Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

23 Estruturas Álgebricas Definidas por Duas Operações Aneis e Corpos Um sistema constituído de um conjunto não vazio G e um par de operação +,. juntamente com seguintes axiomas: Axioma 1) (G, +) é um grupo Abeliano (Comutativo); Axioma 2) (G,.) é associativo; Axioma 3) a multiplicação é distributiva em relação a adição: x, y, z G; x.(y + z) = (x.y) + (x.z) e (y + z).x = (y.x) + (z.x). é chamado de um Anel! Exemplos 25: (Z, +,.), (Q, +,.), (R, +,.), (Z m, +,.), (M m n(r), +,.). Obs: Um anel onde Axiamo 2) é :(G,.) é um grupo Abeliano, se chama de um Corpo. Exemplos 26: (Q, +,.), (R, +,.). Homomorfísmos e Isomorfísmos de Aneís Um Homomorfísmo de um anel (G, +,.) num outro anel (J, +,.) é uma aplicação f : G J t.q 1) f(x + y) = f(x) + f(y) e 2) f(x.y) = f(x).f(y). Se um homomorfismo de aneis for bijetora, então se chama um Isomorfísmo. Exemplo 27: Qualquer que sejam (A, +,.) e (B, +,.) a aplicação f : A B com f(x) = 0 B é um homomorfísmo de aneis. Exemplo: Qualquer que seja o Anel (A, +,.) a aplicação idêntica é um isomorfísmo. Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24

24 Projeto Z m :A beleza e a dificuldade de ser um Deus (em Math..)! Considere a relação Z Z, t.q: a b a b é multiplo de m : ( ou a m b). Segue as seguintes instrumentos: 1) Escolha o m > 1 seu número primo favorito. Fixando o m, mostre que a relação de é uma relação de equivalência. 2) Construa as clases de equiv, 0 = [0] = {x Z x 0é multiplo de m}, 1 = [1] = {x x 1é multiplo de m}, m 1 = [m 1] = {x x (m 1)é multiplo de m}, 3) Construe o conjunto quociente Z = {m m Z} e se chame Zm. 4) Defina a operação + : Z m Z m Z m tal que (x, y) x + y = x + y, e mostre que é associativo, comutativo e tem elemento neutro, 5) Encontre os conjuntos U +(Z m) e R +(Z m) (conjunto de elementos simetrizáveis e elementos regulares), 6) Afirme que o par (Z m, +) é um grupo Abeliano (comutativo), 7) Defina a operação. : Z m Z m Z m tal que (x, y) x.y = x.y, e mostre que (Z m,.) é um grupo Abeliano. 8) Mostre que a multiplicação "."é distribuitiva sobre a adição "+", 9) Afirme que (Z m, +,.) é um anel, 10) Afirme que (Z m, +,.) é um Corpo. Parabéns por ter conseguido construir o corpo do seu n primo favorito! Pouya Mehdipour 6 de dezembro de / 24