ALGEBRA I Maria L ucia Torres Villela Instituto de Matem atica Universidade Federal Fluminense Junho de 2007 Revis ao em Fevereiro de 2008

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1 ÁLGEBRA I Maria Lúcia Torres Villela Instituto de Matemática Universidade Federal Fluminense Junho de 2007 Revisão em Fevereiro de 2008

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3 Sumário Introdução... 3 Parte 1 - Preliminares... 5 Seção 1 - Noções sobre conjuntos... 7 Seção 2 - Funções Seção 3 - Relações de Equivalência Parte 2 - Anéis Seção 1 - Conceito de anel Seção 2 - Propriedades elementares Seção 3 - Polinômios com coeficientes em um anel comutativo 53 Seção 4 - Anéis ordenados e anéis bem ordenados Seção 5 - Indução Seção 6 - Divisão euclidiana Parte 3 - Domínios Principais Seção 1 - Divisibilidade Seção 2 - Ideais e máximo divisor comum Seção 3 - Domínios principais e a fatoração única Seção 4 - Propriedades do Domínio Principal Z Seção 5 - Congruências módulo n e os anéis Z n Seção 6 - Homomorfismos de anéis comutativos com unidade 137

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5 Introdução A Matemática faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos números para descrever diversas situações do dia a dia. Contamos com os números naturais, repartimos um bolo usando os números racionais, medimos comprimentos com os números reais, contabilizamos prejuízos com números negativos. Comparamos dois números inteiros, dois números racionais e dois números reais. Calculamos raízes de polinômios com coeficientes reais com os números complexos. Estamos familiarizados com números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, que estão relacionados pelas seguintes inclusões: N Z Q R C. Esses conjuntos estão munidos com operações de adição e multiplicação, que têm diversas propriedades. O objetivo deste texto é introduzir o estudo de estruturas algébricas, abordando os conceitos de anel, domínio, corpos, domínio ordenado, corpo ordenado e domínio principal. O conjunto dos inteiros é o primeiro exemplo de domínio principal, será estudado sob o ponto de vista algébrico e aritmético e faremos um estudo detalhado das suas propriedades no contexto dos domínios principais. Outro exemplo de domínio principal que será introduzido é o anel K[x] de polinômios com coeficientes no corpo K. Estudaremos congruências de inteiros e introduziremos os anéis Z n dos inteiros módulo n. Mostraremos que Q é um corpo ordenado e é o corpo de frações de Z e faremos a construção dos números racionais a partir dos números inteiros no contexto dos domínios ordenados. Mostraremos que, a menos de isomorfismo, Z é o único domínio bem ordenado. Não faremos a construção axiomática dos números naturais e dos números inteiros, usaremos apenas as suas noções intuitivas. Instituto de Matemática 3 UFF

6 UFF 4 M.L.T.Villela

7 Parte 1 Preliminares Consideraremos que a linguagem e as notações da teoria de conjuntos são bem conhecidas, assim como as noções elementares de funções. Relembramos alguns conceitos elementares da teoria de conjuntos e propriedades de funções que faremos uso no texto. Introduziremos os conceitos de relação de equivalência e de conjunto quociente, que têm aplicações em diversas áreas da Matemática, desempenham um papel importante no contexto das estruturas algébricas e apresentaremos muitas aplicações interessantes. Instituto de Matemática 5 UFF

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9 Noções sobre conjuntos PARTE 1 - SEÇÃO 1 Noções sobre conjuntos Denotamos conjuntos por letras maiúsculas A, B, C,... e elementos de um conjunto por letras minúsculas a, b, c,... Para dizer que a é elemento do conjunto A ou a pertence a A, escrevemos a A. Para dizer que a não é elemento do conjunto A ou a não pertence a A, escrevemos a A. Chamamos de conjunto vazio o conjunto que não tem nenhum elemento e denotamos por ou { }. Descrevemos um conjunto listando os seus elementos entre chaves ou dando a propriedade dos seus elementos. Exemplo 1 O conjunto dos números naturais, denotado por N, é Exemplo 2 N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. A é o conjunto dos números naturais menores do que 5. A = {0, 1, 2, 3, 4} = {x N ; x < 5}. Exemplo 3 B é o conjunto dos números naturais entre 5 e 11. B = { 6, 7, 8, 9, 10 } = { x N ; 5 < x < 11 } = { x N ; 6 x 10 }. Exemplo 4 C é o conjunto dos números reais menores ou iguais a 11. Exemplo 5 C = {x R ; x 11} = (, 11]. D é o conjunto dos números inteiros múltiplos de 2 entre 3 e 15. D = {x Z ; 3 < x < 15 e 2 divide x} = { 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10,12,14} Instituto de Matemática 7 UFF

10 Noções sobre conjuntos Definição 1 Dizemos que A está contido em B ou A é um subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A é elemento de B. Nesse caso, escrevemos A B. O símbolo significa para todo. A B se, e somente se, para todo a A temos a B. Também dizemos que B contém A e escrevemos B A. Escrevemos A B, para dizer que A não está contido em B. Nesse caso, existe a A tal que a B. O símbolo significa existe. A B se, e somente, existe a A tal que a B. Também dizemos que B não contém A e escrevemos B A. Exemplo 6 Temos as seguintes relações entre os conjuntos dos exemplos anteriores: A N, A C, B N, B C, A C, D C, B D. Escreva outras relações usando ou e os conjuntos dos Exemplos 1 a 5. Para demonstrar a afirmação A = B devemos provar, primeiramente, que A B e depois que B A. Se os conjuntos A e B têm exatamente os mesmos elementos, dizemos que A = B. Exemplo 7 { Seja A = { x ; x Z}, onde x = Facilmente, verificamos que A = N. x, se x 0 x, se x < 0 Exemplo 8 Seja A o conjunto dos triângulos retângulos isósceles e seja B o conjunto dos triângulos retângulos cujos ângulos dos catetos com a hipotenusa são iguais. Então, A = B. Definição 2 Se A B, mas A B, então A é chamado um subconjunto próprio de B. Quando consideramos subconjuntos de um conjunto fixado, chamamos esse conjunto de conjunto universo e denotamos por U. Exemplo 9 Se estamos considerando figuras geométricas planas, podemos tomar U como o conjunto dos pontos do plano. Nos Exemplo 2 e Exemplo 3 podemos considerar U = N. UFF 8 M.L.T.Villela

11 Noções sobre conjuntos PARTE 1 - SEÇÃO 1 As operações com conjuntos são união, interseção e complementar e são utilizadas para construir outros conjuntos. Definição 3 O conjunto A união B, denotado por A B, é o conjunto dos elementos de pelo menos um dos conjuntos A ou B. A B = { x ; x A ou x B }. x A B x A ou x B. O conjunto A interseção B, denotado por A B, é o conjunto dos elementos que estão, simultaneamente, em ambos os conjuntos A e B. A B = { x ; x A e x B }. x A B x A e x B. Definição 4 Os conjuntos A e B são disjuntos se, e somente se, A B =. Definição 5 O complementar C U (A) de A U é o conjunto dos elementos de U que não estão em A. C U (A) = { x U ; x A }. O complementar de A em B, denotado por A\B (ou A B), é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. A\B = { x A ; x B }. O complementar de A em B também é chamado de diferença de A e B. Exemplo 10 Sejam A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 2, 0, 2, 4, 6 } e C = { 2, 1, 0, 7}. Então, A B = { 2, 0, 1, 2, 3, 4, 5,6}, A B = { 2, 4, 6 }, A\B = { 1, 3, 5 }, B\A = { 2, 0 }, A C =, B C = { 2, 0 } e C\B = { 1, 7 }. Instituto de Matemática 9 UFF

12 Noções sobre conjuntos Proposição 1 Valem as seguintes propriedades para as operações: (1) Comutativa: A B = B A A B = B A (2) Associativa: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C) (3) Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (4) Leis de Morgan: C U (A B) = C U (A) C U (B) C U (A B) = C U (A) C U (B) (5) Idempotente: A A = A A A = A (6) Dupla negação: C U (C U (A)) = A Demonstração: Para ilustrar, vamos verificar (3). x A (B C) x A e x B C x A e (x B ou x C) (x A e x B) ou (x A e x C) x A B ou x A C x (A B) (A C) x A (B C) x A ou x B C x A ou (x B e x C) (x A ou x B) e (x A ou x C) x A B e x A C x (A B) (A C) Proposição 2 Valem as seguintes propriedades para o conjunto vazio e para o conjunto universo U: Para qualquer conjunto A temos A (i) A = A A =. (ii) A U = U A U = A. UFF 10 M.L.T.Villela

13 Noções sobre conjuntos PARTE 1 - SEÇÃO 1 Definição 6 O produto cartesiano dos conjuntos A e B é o conjunto A B de pares ordenados (a, b), tais que a A e b B. A B = { (a, b) ; a A e b B }. Se A ou B é vazio, então A B = Exemplo 11 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}. Então, A B = {(1, 4), (1, 5), (2,4),(2,5), (3,4),(3,5)} e B A = {(4, 1), (4, 2), (4,3),(5,1), (5,2),(5,3)}. Exemplo 12 Sejam A = {a, b} e B = {b, c}. Então, A B = {(a, b), (a, c), (b, b),(b,c)} e B A = {(b, a), (b, b), (c, a),(c, b)}. Os exemplos acima mostram que em geral A B B A. Podemos generalizar a definição acima a n conjuntos. Definição 7 Sejam n 2 um número natural e A 1, A 2,..., A n conjuntos. O produto cartesiano A 1 A 2 A n é o conjunto das n-uplas ordenadas (a 1, a 2,..., a n ), tais que a 1 A 1, a 2 A 2,..., a n A n. A 1 A 2 A n = { (a 1, a 2,..., a n ) ; a 1 A 1, a 2 A 2,..., a n A n }. Quando A = A i para i = 1, 2,..., n, denotamos A n = } A {{ A }. n conjuntos Exemplo 13 Sejam A = {a, b}, B = {c, d} e C = {e}. Então, A B C = {(a, c, e), (a, d, e), (b,c,e), (b,d, e)}. Sejam I um conjunto não-vazio e, para cada i I, A i um conjunto. Dizemos que {A i, i I} é uma família de conjuntos indexada por I. As operações de união e interseção de conjuntos podem ser generalizadas a uma família de conjuntos. Instituto de Matemática 11 UFF

14 Noções sobre conjuntos Definição 8 Seja a família de conjuntos {A i, i I}. Então, definimos a união dessa família como o conjunto dos elementos que estão em algum A i A i = {x ; x A i, para algum i I}. i I e definimos a interseção dessa família como o conjunto dos elementos que estão em todos A i i I A i = {x ; x A i, para todo i I}. Uma subdivisão de um conjunto em subconjuntos disjuntos e não-vazios é chamada uma partição. Definição 9 Seja A um conjunto. Uma família F de subconjuntos não-vazios de A é chamada uma partição de A se, e somente se, (i) A = X F X. (ii) Se X, Y F e X Y, então X Y =. Exemplo 14 Tomando X = {x Z ; x é par }, Y = {x Z ; x é ímpar }, F = { X, Y } vemos que Z = X Y e X Y =. Logo, F é uma partição de Z. Lembre que... A B = B A. Exemplo 15 Os conjuntos X 1 = { 1, 2, 4, 5, 6 }, X 2 = { 3, 7, 8 } e X 3 = { 9, 10 } definem uma 3 partição de A = { 1, 2,..., 10 }, pois A = X i e X i X j =, para quaisquer i, j tais que 1 i < j 3. i=1 Exercício 1. Determine os conjuntos descritos a seguir: (a) { x N ; 2x > 10 e 3x < 28 }; (b) { x Z ; 2x = n 2, para algum n N }; UFF 12 M.L.T.Villela

15 Noções sobre conjuntos PARTE 1 - SEÇÃO 1 (c) { x ; x, y Z, x 2 = 2y + 1 e x + 1 = 4y }. 2. Dê uma descrição de cada um dos conjuntos: (a) { 1, 3, 5, 7,..., 25 }; (b) { 8, 8, 8, 8, 8,... } ; (c) { 1, 2, 3, 4, } Sejam U = {x Z ; 0 < x < 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 5, 6} e C = {3, 4, 5, 6}. Determine: (a) A B. (b) C U (A B). (c) C U (A (B C)). (d) A (B C). (e) (A B)\(A C). 4. Consideremos A = {x Z ; x divide 40} e B = {x Z ; x divide 60}. Determine: (a) A B. (b) A B. (c) A\B. (d) B\A. 5. Consideremos A = {x Z ; 2 divide x }, B = {x Z ; 18 divide x }, C = {x Z ; 12 divide x } e D = {x Z ; 36 divide x }. (a) Mostre que B A, C A, D A, D B e D C. (b) Mostre que D = B C. 6. Mostre que se A B e B C, então A C. 7. Mostre que A B = (A\B) (B\A) (A B) e a união do lado direito é disjunta. 8. Sejam A, B conjuntos. Mostre que (A\B) (B\A) = (A B)\(A B). 9. Mostre que A B se, e somente se, A B = A. 10. Mostre que A B se, e somente se, A B = B. Instituto de Matemática 13 UFF

16 Noções sobre conjuntos 11. Mostre que A B = A B se, e somente se, A = B. 12. Indicamos por A o número de elementos de um conjunto finito A. Mostre que se B e C são conjuntos finitos, então Sugestão: Para cada natural r com 0 r n determine o número m r de subconjuntos de A com r elementos. n Conclua que P(A) = m r r=0 e determine a soma. B C = B + C B C. 13. Seja A um conjunto com n elementos, isto é, A = n. Seja P(A) = { B ; B A }. Mostre que P(A) tem 2 n elementos. 14. Sejam A, B, C conjuntos. (a) Mostre que (A B) C = (A C) (B C). (b) Mostre que (A B) C = (A C) (B C). 15. Demonstre as propriedades (1), (2), (4), (5) e (6) da Proposição Demonstre a Proposição Mostre que se A e B são subconjuntos não-vazios de U com A B e B A, então A B é um subconjunto não-vazio de U, tal que A B A e A B B. 18. Sejam B um conjunto e A i, i I, uma família de conjuntos. ( ) (a) Mostre que A i B = i B). i I(A i I ( ) (b) Mostre que A i B = i B). i I(A i I ( ) (c) Mostre que B\ A i = i ). i I(B\A i I ( ) (d) Mostre que B\ A i = i ). i I(B\A i I UFF 14 M.L.T.Villela

17 Funções PARTE 1 - SEÇÃO 2 Funções Veremos alguns resultados importantes sobre funções. Definição 10 (Função, domínio e contradomínio) Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma função f de A para B, denotada por f : A B, associa a cada a A exatamente um elemento b B; b é dito o valor da função f em a ou a imagem de a e escrevemos b = f(a). Também costumamos denotar a função f por f : A B a f(a) O conjunto A é o domínio e o conjunto B é o contradomínio de f. Definição 11 (Igualdade de funções) Sejam f : A B e g : A B funções. f e g são iguais se, e somente se, para cada a A temos f(a) = g(a). Portanto, duas funções são iguais se, e somente se, têm mesmos domínios e contradomínios e têm valor igual em cada elemento do domínio. Exemplo 16 São exemplos de funções: (1) f : Z Z definida por f(x) = 2x, para cada x Z. (2) g : Z {0, 1} definida por { 0, se x é par g(x) = 1, se x é ímpar (3) h : Z\{0} Q definida por h(x) = 1 x, para cada x Z\{0}. (4) u : R R definida por u(x) = 4x + 3, para cada x R. Exemplo 17 A associação entre os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {3, 4, 5} definida a seguir não é uma função: 0 3 ց Instituto de Matemática 15 UFF

18 Funções Nesse caso, o elemento x = 0 de A está associado aos elementos de B y 1 = 3 e y 2 = 5. Definição 12 (Composição) Sejam f : A B e g : B C funções. A composição ou função composta de g e f, indicada por g f, é a função g f : A C definida por (g f)(x) = g(f(x)), para cada x A. Observamos que a função g f tem o mesmo domínio de f, o mesmo contradomínio de g e só está definida quando o contradomínio de f coincide com o domínio de g. Exemplo 18 (1) Sejam f : R R e g : R R definidas, respectivamente, por f(x) = 3x 5 e g(x) = e (2x+1), para cada x R. Nesse caso, podemos determinar ambas as compostas. Temos que f g : R R e g f : R R são dadas por (f g)(x) = f(g(x)) = 3e (2x+1) 5, para cada x R e (g f)(x) = g(f(x)) = e (2(3x 5)+1) = e (6x 9), para cada x R. (2) Sejam f : Z N e g : N {0, 1, 2} dadas por f(x) = x e g(x) = r, onde r é o resto da divisão de x por 3. Só faz sentido determinar a composta g f : Z {0, 1, 2}. 0, se x {0, ±3, ±6,...} Temos (g f)(x) = g(f(x)) = 1, se x {±1, ±4, ±7,...} 2, se x {±2, ±5, ±8,...} Definição 13 (Função Identidade) Seja A um conjunto não-vazio. A função I A : A A definida por I A (a) = a, para cada a A, é chamada de função identidade. Proposição 3 Consideremos as funções f : A B, g : B C, h : C D e as funções identidades I A : A A e I B : B B. Então, A composição de funções é associativa. (i) h (g f) = (h g) f; (ii) I B f = f; (iii) f I A = f. UFF 16 M.L.T.Villela

19 Funções PARTE 1 - SEÇÃO 2 Demonstração: (i) É claro que o domínio de ambas as funções é A = Dom(f), assim como o contradomínio é D, o contradomínio de h. Além disso, para cada x A, temos: (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = ((h g) f)(x). Logo, h (g f) = (h g) f. (ii) A função I B f tem domínio A, igual ao domínio de f e contradomínio B, o mesmo de f. Para cada x A, temos (I B f)(x) = I B (f(x)) = f(x). Portanto, I B f = f. (iii) A função f I A tem domínio A, igual ao domínio de f e contradomínio B, o mesmo de f. Para cada x A, temos (f I A )(x) = f(i A (x)) = f(x). Portanto, f I A = f. Definição 14 (Imagem) Seja f : A B uma função. A imagem de f é o conjunto Imagem(f) = {f(a); a A} = f(a). A imagem de f é um subconjunto de B, a saber, Imagem(f) = {b B ; b = f(a) para algum a A}. Exemplo 19 Seja h : Z\{0} Q definida por h(x) = 1, para cada x Z\{0}. Então, x Se f : A B é uma função, então Imagem(f) = f(a) B. Imagem(h) = { ±1, ± 1 2, ±1 3, ±1 4,...}. Definição 15 (Injetora, sobrejetora ou bijetora) Seja f : A B uma função. f é injetora se, e somente se, para a, a A a a = f(a) f(a ). f é injetora se, e somente se, para a,a A, f(a) = f(a ) implica a = a. f é sobrejetora se, e somente se, B = f(a); em outras palavras, para cada b B, existe a A tal que b = f(a). f é bijetora se, e somente se, é injetora e sobrejetora. f é sobrejetora se, e somente se, a imagem de f é o seu contradomínio. Exemplo 20 (1) Segue, imediatamente, das definições acima, que I A : A A é bijetora. (2) f : Z Z definida por f(x) = 2x, para cada x Z, é injetora e não é sobrejetora. De fato, para x, x Z temos Instituto de Matemática 17 UFF

20 Funções f(x) = f(x ) 2x = 2x x = x, mostrando que f é injetora. Além disso, qualquer inteiro ímpar não está na imagem de f, que se constitui dos inteiros pares. Logo, Imagem(f) = 2Z Z = contradomínio(f) e f não é sobrejetora. (3) g : Z {0, 1} definida por g(x) = { 0, se x é par 1, se x é ímpar claramente, não é injetora e é sobrejetora. (4) h : Z\{0} Q definida por h(x) = 1, para cada x Z\{0}, é injetora x e não é sobrejetora. Essa função não é sobrejetora pois, por exemplo, o número racional 2 não 3 pertence à imagem de h. Por outro lado, para x, x Z\{0}, h(x) = h(x ) 1 x = 1 x x = x, mostrando que h é injetora. Exemplo 21 A função f : Z Z definida por f(x) = x + 3 é bijetora. Dado y Z, existe x Z tal que y = f(x), pois y = x + 3 se, e somente se, x = 3 y. Logo, dado y, tomamos x = y + 3 e f(x) = f(3 y) = (3 y) + 3 = y. Portanto, f é sobrejetora. Da unicidade de x, obtida acima, temos que f é injetora. Teorema 1 Seja f : A B uma função. (i) f é injetora se, e somente se, existe uma função g : B A, tal que g f = I A. Nesse caso, dizemos que g é uma inversa à esquerda de f. UFF 18 M.L.T.Villela

21 Funções PARTE 1 - SEÇÃO 2 (ii) f é sobrejetora se, e somente se, existe uma função h : B A, tal que f h = I B. Nesse caso, dizemos que h é uma inversa à direita de f. Demonstração: (i) ( =:) Suponhamos que existe g : B A, tal que g f = I A. Sejam a, a A, tais que f(a) = f(a ). Então, a = I A (a) = (g f)(a) = g(f(a)) = g(f(a )) = (g f)(a ) = I A (a ) = a. Logo, f é injetora. (= :) Suponhamos que f : A B é injetora. Então, para cada b Imagem(f) = f(a) existe um único a A, tal que b = f(a). Escolhemos a 1 A e definimos g : B A por { g(b) = a, g(b) = a 1, se b = f(a) se b B\f(A) Para cada a A temos (g f)(a) = g(f(a)) = a = I A (a). Logo, g f = I A. (ii) ( =:) Suponhamos que existe h : B A, tal que f h = I B. Então, para cada b B temos b = I B (b) = (f h)(b) = f(h(b)) Imagem(f), mostrando que f é sobrejetora. (= :) Suponhamos que f : A B é sobrejetora. Então, para cada b B existe a A, tal que b = f(a). Escolhemos a b A com f(a b ) = b. Seja h : B A definida por h(b) = a b. Portanto, para cada b B temos (f h)(b) = f(h(b)) = f(a b ) = b = I B (b), mostrando que f h = I B. Vamos analisar o que ocorre quando f : A B é bijetora. Pelo Teorema 1, f tem uma inversa à esquerda g : B A e uma inversa à direita h : B A, tais que g f = I A e f h = I B. Portanto, g = g I B = g (f h) = (g f) h = I A h = h. É claro, pelo mesmo Teorema, que g também é bijetora. Obtivemos parte do seguinte Corolário. Instituto de Matemática 19 UFF

22 Funções Corolário 1 Seja f : A B uma função. Então, f é bijetora se, e somente se, existe uma função g : B A tal que g f = I A e f g = I B. Demonstração: Falta apenas mostrar que a condição é suficiente. Da composição g f = I A e do item (i) do Teorema 1, segue que f é injetora e, da composição f g = I B e do item (ii) do Teorema 1, segue que f é sobrejetora. Definição 16 (Função inversa) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é invertível se, e somente se, f é bijetora. f 1 : B A, a inversa de f : A B, é definida por f 1 (b) = a f(a) = b Nesse caso, a função g : B A tal que g f = I A e f g = I B é chamada de inversa de f e a denotamos por f 1. Exercício 1. Sejam f : R\{ 3} R e g : R\{ 3} R definidas por f(x) = x 2 e g(x) = x2 +x 6. Mostre que f e g são funções iguais. x+3 2. Sejam f : R [0, + ) e g : [0, + ) R definidas por f(x) = x 2, se x R, e g(x) = x, se x [0, + ). (a) Mostre que f não é injetora e é sobrejetora. (b) Mostre que g é injetora e não é sobrejetora. (c) Determine as funções f g e g f. 3. Sejam s : [0, + ) [0, + ) e t : [0, + ) [0, + ) definidas por s(x) = x 2 e t(x) = x, para x [0, + ). (a) Mostre que s é bijetora. (b) Mostre que t é bijetora. (c) Determine as funções s t e t s. 4. Sejam r : (, 0] [0, + ) e t : [0, + ) [0, + ) definidas por r(x) = x 2, se x (, 0] e t(x) = x, se x [0, + ). (a) Mostre que r é bijetora. (b) Determine a função t r. (c) Determine r 1. UFF 20 M.L.T.Villela

23 Funções PARTE 1 - SEÇÃO 2 5. Mostre que a função f : R R definida por f(x) = 3x + 2, para cada x R, é bijetora. 6. Mostre que a função f : Z Z definida por f(x) = 3x + 2, para cada x Z, é injetora e não é sobrejetora. Determine a imagem de f. 7. Sejam f, g, h : Z Z definidas por f(x) = x, g(x) = 3x e h(x) = x 2. (a) Mostre que f é bijetora. (b) Mostre que g é injetora e não é sobrejetora. (c) Mostre que h não é injetora nem sobrejetora. (d) Determine f Sejam f : A B e g : B C funções e considere a função composta g f : A C. Mostre que: (a) se f e g são injetoras, então g f é injetora; (b) se f e g são sobrejetoras, então g f é sobrejetora; (c) se g f é injetora, então f é injetora; (d) se g f é sobrejetora, então g é sobrejetora. 9. Seja A um conjunto não-vazio com n elementos. Seja f : A A uma função. Mostre que : (a) f é injetora se, e somente se, f é sobrejetora; (b) há n! funções bijetoras f : A A. 10. Sejam f : A B uma função e S A. A imagem de S por f é f(s) = {f(a) ; a S} = {b B ; b = f(s) para algum s S}. Determine f(s), para cada f e S dados: (a) f : R R definida por f(x) = x 2, S = [ 5, 2). (b) f : R R definida por f(x) = x, S = ( 5, 2). (c) f : Z\{0} Q definida por f(x) = 1, S = { 2, 1, 1, 2, 3,...}. x (d) f : N {0, 1, 2} definida por f(x) = r, onde r é o resto da divisão de x por 3 e S = {a N ; a 6}. 11. Sejam f : A B uma função e T B. A imagem inversa de T pela função f é Instituto de Matemática 21 UFF

24 Funções f 1 (T) = {a A ; f(a) T}. Determine f 1 (T), para cada f e T dados. (a) f : R R definida por f(x) = x 2, T = ( 3, 7]. (b) f : R R definida por f(x) = x, T = ( 3, + ). (c) f : Z\{0} Q definida por f(x) = 1, T = {y Q ; x 3 < y 2}. 7 3 (d) f : N {0, 1, 2} definida por f(x) = r, onde r é o resto da divisão de x por 3, T = {1}. 12. Seja f : A B uma função. Mostre que: (a) se S A, então f 1 (f(s)) S; (b) se T B, então f(f 1 (T)) T; (c) se {T i ; i I} é uma família de subconjuntos de B, então ( ) f 1 T i = ( ) f 1 (T i ) e f 1 T i = i I i I i I i If 1 (T i ). UFF 22 M.L.T.Villela

25 Relações de equivalência PARTE 1 - SEÇÃO 3 Relações de equivalência Frequentemente, temos relações entre dois objetos de um conjunto. Vejamos alguns exemplos: - No conjunto dos números inteiros: menor ou igual, divide, múltiplo. - Numa família de conjuntos: inclusão. - No conjunto dos triângulos: semelhança, congruência. - No conjunto das retas no plano: paralelismo, perpendicularismo. - No conjunto dos moradores de um edifício: residir no mesmo andar, residir em apartamento de frente, residir na mesma coluna. Definição 17 Dados um conjunto A, denotaremos por uma relação binária em A. Dados a, b A indicamos que a está relacionado com b escrevendo a b. Caso contrário, dizemos que a não está relacionado com b e escrevemos a b. Exemplo 22 Sejam A = {1, 2, 3} e a, b A. Definimos a b a b. Então, 1 1, 1 2, 1 3, 2 2, 2 3 e 3 3. Também, 2 1, 3 2 e 3 1. Exemplo 23 Sejam A = {1, 2, 3} e a, b A. Definimos a b a < b. Então, 1 2, 1 3, 2 3. Também, 1 1, 2 2, 2 1, 3 3, 3 2 e 3 1. Exemplo 24 Seja A o conjunto das retas do plano. Sejam r, s A. Definimos r s r s. Nesse caso, duas retas do plano não estão relacionadas se, e somente se, se intersectam em um único ponto. Instituto de Matemática 23 UFF

26 Relações de equivalência Exemplo 25 Seja Z o conjunto dos números inteiros. Sejam a, b Z. Definimos a b a b é par. Temos que 1 3, 2 4 e 135 1, enquanto 1 2 e 2 3. Observamos que : a b { a e b são pares ou a e b são ímpares a b { a é par e b é ímpar ou a é ímpar e b é par Exemplo 26 Sejam Π um plano e O um ponto fixado de Π. Para cada ponto P Π consideramos d(o, P) a distância entre os pontos O e P. Dados P, Q Π definimos P Q d(o, P) = d(o, Q). O único ponto relacionado a O é o ponto O. Dois pontos P e Q, tais que P O e Q O, estão relacionados se, e somente se, d(o, P) = d(o, Q) > 0 se, e somente se, P, Q estão situados no mesmo círculo de centro O e raio r = d(o, P) = d(o, Q). Exemplo 27 Sejam Π um plano e r uma reta fixada. Dados P, Q Π, definimos: P Q existe s, uma reta paralela a r, tal que P, Q s. Nesse caso, dois pontos distintos do plano estão relacionados se, e somente se, a única reta determinada por eles é paralela a r. Fixado um ponto P do plano, sabemos que existe uma única reta s paralela a r passando por P. Todos os pontos Q s estão relacionados com P, inclusive P. A seguir definimos três tipos de propriedades que uma relação binária pode ter. Definição 18 (Relação reflexiva, simétrica ou transitiva) Seja uma relação binária no conjunto A. Dizemos que é reflexiva se, e somente se, a a, para todo a A; UFF 24 M.L.T.Villela

27 Relações de equivalência PARTE 1 - SEÇÃO 3 é simétrica se, e somente se, para quaisquer a, b A, tais que a b, então b a; é transitiva se, e somente se, para quaisquer a, b, c A, tais que a b e b c, então a c. Exemplo 28 A relação binária do exemplo 22 é reflexiva e transitiva e não é simétrica. A relação binária de exemplo 23 é transitiva e não é reflexiva nem simétrica. Exemplo 29 A seguinte relação binária em um plano Π é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva: P, Q Π, P Q se, e somente se, d(p, Q) 1. Desempenham um papel importante as relações binárias que têm, simultaneamente, as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 22: 1 2, mas 2 1. Exemplo 23: 1 1 e 1 2, mas 2 1. Basta exibir três pontos P,Q,R, tais que d(p,q) 1 e d(q,r) 1 com d(p,r) > 1. Definição 19 (Relação de equivalência) Dizemos que uma relação binária em A é uma relação de equivalência se, e somente se, para quaisquer a, b, c A (i) (reflexiva) a a; (ii) (simétrica) se a b, então b a; (iii) (transitiva) se a b e b c, então a c. Exemplo 30 Vamos verificar que a relação binária do exemplo 25 é uma relação de equivalência em Z. De fato, se a, b, c Z, então (i) como 0 = a a é par, então a a; (ii) se a b, então a b é par, logo b a = (a b) é par, provando que b a; (iii) se a b e b c, então a b e b c são ambos pares e a c = (a b) + (b c) é par, logo a c. Exemplo 31 São relações de equivalência as relações binárias dos exemplos 24, 26 e 27. Não são relações de equivalência as relações binárias dos exemplos 22 e 23. Em geral visualizamos um conjunto pelos seus elementos. Uma relação de equivalência em um conjunto permite visualizar o conjunto por meio dos seus subconjuntos chamados classes de equivalência. Com esse objetivo, introduzimos o conceito de classe de equivalência. Instituto de Matemática 25 UFF

28 Relações de equivalência Definição 20 (Classe de equivalência) Seja uma relação de equivalência em A. Para cada a A, a classe de equivalência a de a é a = { x A ; x a }. Exemplo 32 No exemplo 24, onde A é o conjunto de todas as retas do plano, a classe de equivalência de cada reta r A é r = { s A ; s r }. Exemplo 33 No exemplo 25 a relação de equivalência foi definida no conjunto dos números inteiros, que é a união dos subconjuntos dos inteiros pares com os inteiros ímpares, a saber Z = { 0, ±1, ±2, ±3,...} = { 0, ±2, ±4,...} { ±1, ±3, ±5...}. Para cada a Z, temos que: ou a é par ou a é ímpar. Logo, { a = { x Z ; 2 divide x a } = Exemplo 34 { 0, ±2, ±4,...}, se a é par { ±1, ±3, ±5...}, se a é ímpar No exemplo 26 o conjunto é um plano Π, onde fixamos um ponto O para definir a relação de equivalência entre os pontos do plano. Temos: O = { P Π ; d(o, P) = d(o, O) = 0 } = { O } e P = círculo de centro O e raio r = d(o, P), para todo P Π com P O. Exemplo 35 No exemplo 27 o conjunto é um plano Π, onde fixamos uma reta r para definir a relação de equivalência entre os pontos do plano. Nesse caso, para cada P Π, temos: P = reta s passando por P e paralela à reta r. Exemplo 36 Consideremos um edifício com 6 andares, 3 apartamentos por andar distribuídos em 3 colunas, sendo a coluna 01 de frente e com três quartos, as colunas 02 e 03 de fundos com um e dois quartos, respectivamente. Seja A o conjunto dos apartamentos desse edifício. UFF 26 M.L.T.Villela

29 Relações de equivalência PARTE 1 - SEÇÃO 3 Para a, b A, consideremos as seguintes relações binárias em A: a 1 b a e b estão no mesmo andar. a 2 b a e b estão na mesma coluna. a 3 b a e b são ambos de frente ou ambos de fundos. Cada uma das relações binárias acima é uma relação de equivalência em A. Sabendo que cada apartamento é identificado por n01, n02 ou n03, onde n = 1,..., 6 é o andar em que está situado e os dois últimos dígitos correspondem à sua coluna, temos que: = { x A ; x } = { 601, 602, 603 }, = { x A ; x } = { 601, 602, 603 }, = { x A ; x } = { 601, 501, 401, 301,201,101}, = { x A ; x } = { 602, 502, 402, 302,202,102} = { x A ; x } = { 601, 501, 401, 301,201,101}, = { x A ; x } = { 602, 603, 502, 503, 402,403,302,303, 202,203,102,103}. Observamos que = = 601 1, enquanto =. Por quê? As seguintes propriedades de uma relação de equivalência desempenham um papel muito importante. Proposição 4 Seja uma relação de equivalência em A. Valem as seguintes propriedades: (i) Se a b, então a b. (ii) a b se, e somente se, a = b. (iii) A = a Aa. Demonstração: (i) Como a b, então existe c A tal que c a b. Logo, c a e c b. Pela simetria, a c e, pela transitividade, obtemos a b. (ii) (= :) Suponhamos que a b. Vamos mostrar que a b. Seja x a. Então, x a. Como a b, pela transitividade, temos x b. Logo, x b. A outra inclusão é análoga, usando a simetria. Lembre que... Os conjuntos X e Y são iguais se, e somente se, X Y e Y X. ( = :) Suponhamos a = b. Então, a b e, pelo item (i), a b. Instituto de Matemática 27 UFF

30 Relações de equivalência (iii) É claro, por definição de classe de equivalência, que a A. Logo, a A. a A Por outro lado, pela propriedade reflexiva, a a, mostrando que A a Aa. A propriedade (ii) da proposição anterior motiva a seguinte definição. Definição 21 (Representante) Seja A um conjunto e uma relação de equivalência em A. Dizemos que b A é representante de uma classe de equivalência a se, e somente se, b a. As classes de equivalência de uma relação de equivalência em A são subconjuntos de A não-vazios, pois para cada a A temos a a. Mais ainda, pelo item (iii) da proposição anterior, cobrem A e, pelo item (ii), classes distintas são conjuntos disjuntos. Portanto, as classes de equivalência distintas de uma relação de equivalência de um conjunto A dão uma subdivisão de A em subconjuntos disjuntos e não-vazios, isto é, definem uma partição de A. Com a observação acima obtivemos a primeira parte do seguinte teorema. Teorema 2 Se é uma relação de equivalência no conjunto A, então as classes de equivalência distintas de definem uma partição de A. Reciprocamente, dada uma partição de A, digamos A = i, onde A i e A i A j =, para i IA quaisquer i, j I, i j, existe uma única relação de equivalência em A, tal que as classes de equivalência distintas de são os subconjuntos A i, i I. Demonstração: Falta apenas demonstrar a recíproca. Digamos que a família {A i ; i I} é uma partição do conjunto A. Como A = i, então para cada a A existe i I, tal que a A i, i IA seguindo a unicidade do índice i do fato de A i e A j serem disjuntos para i j. Para a, b A definimos a b se, e somente se, para algum i I, a, b A i. É fácil a verificação de que é uma relação de equivalência em A. UFF 28 M.L.T.Villela

31 Relações de equivalência PARTE 1 - SEÇÃO 3 Com a definição de temos a = A i, onde i é o único índice de I tal que a A i. Definição 22 (Conjunto quociente) Seja A um conjunto não-vazio e uma relação de equivalência em A. O conjunto quociente A/ é definido por A/ = { a ; a A}. Exemplo 37 Consideremos em Z a relação de equivalência a, b Z, a b a b é múltiplo de 2. Temos apenas duas classes de equivalência, a saber, P a classe dos números pares e I a classe dos números ímpares. Logo, Z/ = { P, I }. Exemplo 38 Consideremos a relação de equivalência no plano Π do Exemplo 26, dada por P, Q Π, P Q d(o, P) = d(o, Q), onde O é um ponto fixado em Π. Vimos que O = {O} e P = círculo de centro O e raio r = d(o, P) }, se P O. Para cada número real r > 0 seja C r o círculo de centro O e raio r. Então, Π/ = { {O} ; C r, r > 0 }. Exercícios 1. Mostre que são relações de equivalência as relações binárias dos Exemplos 24, 26 e Mostre que não são relações de equivalência as relações binárias dos Exemplos 22 e 23, indicando quais das propriedades (reflexiva, simétrica ou transitiva) não têm. 3. Seja A = {x N ; x 15}. Para x, y A definimos x y 3 divide x y. Instituto de Matemática 29 UFF

32 Relações de equivalência (a) Mostre que é uma relação de equivalência em A. (b) Determine as classes de equivalência: 0, 1 e 2. (c) Há quantas classes de equivalência distintas? 4. Seja A o conjunto dos triângulos no plano. Seja a congruência de triângulos. Mostre que a congruência de triângulos é uma relação de equivalência. 5. Seja A o conjunto dos triângulos no plano. Seja a semelhança de triângulos. Mostre que a semelhança é uma relação de equivalência. 6. Seja A = Z (Z\{0}) = {(a, b) ; a, b Z e b 0}. Para (a, b), (c, d) A definimos (a, b) (c, d) a d = b c. (a) Mostre que é uma relação de equivalência em A. (b) Determine a classe de equivalência de (a, b). 7. Seja A = R 2 \{(0, 0)}. Para (x, y), (x, y ) A definimos (x, y) (x, y ) x = λx e y = λy, para algum λ R\{0}. (a) Mostre que é uma relação de equivalência em A. (b) Interprete, geometricamente, a classe de equivalência de (x, y). 8. Sejam V um espaço vetorial real e W um subespaço de V. Para u, v V definimos u v se, e somente se, u v W. (a) Mostre que é uma relação de equivalência em V. (b) Determine a classe de equivalência de v, para cada v V. (c) Sejam V = R 2, (a, b) (0, 0) e W = {(x, y) R 2 ; ax + by = 0}. Interprete, geometricamente, a classe de equivalênvia de (x 0, y 0 ). (d) Sejam V = R 3 e (a, b, c) (0, 0, 0). Consideremos o subespaço W = {(x, y, z) R 3 ; ax+by+cz = 0}. Interprete, geometricamente, a classe de equivalênvia de (x 0, y 0, z 0 ). UFF 30 M.L.T.Villela