GRUPOS ALGUNS GRUPOS IMPORTANTES. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

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1 Professora: Elisandra Bär de Figueiredo GRUPOS DEFINIÇÃO 1 Sejam G um conjunto não vazio e (x, y) x y uma lei de composição interna em G. Dizemos que G é um grupo em relação a essa lei se (a) a operação é associativa, isto é, a (b c) = (a b) c, para todo a, b, c G; (b) existe elemento neutro em G para a operação, isto é, existe e G tal que e x = x = x e, para todo x G; (c) todo elemento de G é simetrizável em relação a operação, ou seja, para todo x G existe x G tal que x x = e = x x. NOTAÇÃO: 1 Se G é um grupo em relação a operação denotaremos este grupo por (G, ). Para simplicar as vezes diremos apenas grupo G e pressupõe-se uma operação subentendida. OBSERVAÇÃO 1 Quando a lei de composição interna for uma adição diremos que o grupo em questão é um grupo aditivo e se a operação for uma multiplicação, então o grupo será chamada multiplicativo. DEFINIÇÃO 2 Dizemos que um grupo (G, ) é abeliano ou comutativo se a lei (x, y) x y é comutativa, isto é, x y = y x para todo x, y G. Grupos nitos Um grupo nito é um grupo (G, ) no qual o conjunto G é nito. O número de elementos de G, é chamado ordem do grupo G. A tábua de um grupo nito (G, ) é a tábua do grupo da lei de composição interna considerada em G. Denotaremos a ordem de um grupo nito G por o(g). ALGUNS GRUPOS IMPORTANTES EXEMPLO 1 Verique que são grupos: 1. (Z, +) - grupo aditivo dos inteiros (abeliano) 2. (Q, +) - grupo aditivo dos racionais (abeliano) 3. (R, +) - grupo aditivo dos reais (abeliano) 4. (C, +) - grupo aditivo dos complexos (abeliano) 5. (Q, ) - grupo multiplicativo dos racionais (abeliano) 6. (R, ) - grupo multiplicativo dos reais (abeliano) 7. (C, ) - grupo multiplicativo dos complexos (abeliano) 8. (M m n (K), +), com K = Z, Q, R, C - grupo aditivo das matrizes m n (abeliano) 1

2 9. (GL n (K), ), com K = Q, R, C - grupo linear racional, real ou complexo de grau n conforme K = Q, R, C (não comutativo se n > 1) 10. (Z m, +) - grupo aditivo de classes de restos. Este é um grupo abeliano nito com o(z m ) = m. 11. (Z m, ) é um grupo nito se, e somente se, m for um número primo. Grupo multiplicativo de classes de restos (nito e abeliano). Prove! 12. Grupos de permutações: Seja E um conjunto não vazio. Indicaremos por S(E) o conjunto de todas bijeções de E. Assim, a operação (f, g) f g, para toda f, g S(E) é uma lei de composição interna em S(E) associativa, com elemento neutro e em relação a qual todo elemento de S(E) é simetrizável. O grupo (S(E), ) é chamado grupo das permutações sobre E. Tal grupo só é comutativo quando E é formada por 1 ou 2 elementos apenas. Quando E = {1, 2,, n}, n 1, temos um caso particular importante de grupo nito denotado neste caso por (S n, ) e chamado grupo simétrico de grau n cuja ordem é o(s n ) = n!. Notação usual de um elemento de S n : ( ) 1 2 r n f =, i 1 i 2 i r i n onde f(r) = i r, r {1, 2,, n}. 13. Grupos diedrais Buscar denição no livro texto. PROPRIEDADES IMEDIATAS DE GRUPOS Seja (G, ) um grupo. Pelas propriedades demonstradas para uma operação sobre um conjunto, temos: 1. o elemento neutro de (G, ) é único. 2. para cada x G existe um único x G tal que x é simétrico de x. 3. se e é o elemento neutro, então ele é seu próprio simétrico, isto é, e = e. 4. (x ) = x, para todo x G. 5. (a b) = b a e usando indução obtemos (a 1 a 2 a n ) = a n a n 1 a 2 a todo elemento de G é regular em relação a operação. 7. se a, b G, então a equação a x = b (analogamente, x a = b) onde x é uma variável em G, admite uma única solução em G a saber a b (analogamente, b a ). 2

3 SUBGRUPOS DEFINIÇÃO 3 Seja (G, ) uma grupo. um subgrupo de G se Dizemos que um subconjunto não vazio H G é (i) H é fechado para lei de composição interna de G, isto é, para todo a, b H a b H. (ii) (H, ) também é grupo. EXEMPLO 2 (a) (Z, +) é subgrupo de (R, +); (b) (Q, ) é subgrupo de (R, ); (c) { 1, 1, i, i} é um subgrupo nito de (C, ); (d) Seja (G, ) uma grupo qualquer com elemento neutro e. Então, H = {e} e o próprio G são subgrupos de G, estes subgrupos são chamados subgrupos triviais. PROPOSIÇÃO 1 Seja (G, ) um grupo e H G, não vazio. Então, H é subgrupo de G se, e somente se, para todo a, b H, a b H, onde b é o simétrico de b. 3

4 EXEMPLO 3 Prove que H = {x R/ x > 0} é subgrupo de (R, ). {( a b EXEMPLO 4 Considere o grupo (M 2 (R), +) e o subconjunto H = c d Verique que H é subgrupo de (M 2 (R), +). ) } M 2 (R)/ a + d = 0. HOMOMORFISMO DE GRUPOS DEFINIÇÃO 4 Dados dois grupos (G, ) e (J, ), dizemos que uma aplicação f : G J é um homomorsmo de G em J se, para todo x, y G, f(x y) = f(x) f(y). Casos especiais. Sejam (G, ) e (J, ) grupos. ˆ Um homomorsmo do grupo G nele próprio, isto é, f : G G é chamado endomor- smo de G. ˆ Um homomorsmo f : G J injetor é chamado monomorsmo de G em J. ˆ Um homomorsmo f : G J sobrejetor é chamado epimorsmo de G em J. ˆ Um homomorsmo f : G J bijetor é chamado isomorsmo de G em J. Observação: f : (G, ) (J, ) é um homomorsmo de grupos se preserva as operações dos grupos. Conforme o diagrama: (x, y) x y f (f(x), f(y)) f f(x) f(y) 4

5 EXEMPLO 5 Prove que as aplicações denidas nos itens a seguir são homomorsmos e além disso, verique se são algum caso especial. (a) f : (Z, +) (C, ) denida por f(m) = i m. (b) f : (C, ) (R +, ) denida por f(z) = z = a + bi = a 2 + b 2. (c) f : (R +, ) (R, +) denida por f(x) = log x. (d) p m : (Z, +) (Z m, +) denida por p m (a) = a (m > 1 inteiro). 5

6 EXEMPLO 6 Seja a Z dado. Prove que, f : (Z, +) (Z, +) dada por f(m) = am é um homomorsmo. Para qual(is) valor(es) de a f é um monomorsmo e um epimorsmo? PROPOSIÇÃO 2 Sejam (G, ) e (J, ) grupos. Se e e u são os elementos neutros de G e J, respectivamente, e f : G J é um homomorsmo de grupos, então f(e) = u. PROPOSIÇÃO 3 Sejam (G, ) e (J, ) grupos. Se e e u são os elementos neutros de G e J, respectivamente, e f : G J é um homomorsmo de grupos, então para todo a G, f(a ) = [f(a)], sendo a o simétrico de a em G e [f(a)] o simétrico de f(a) em J. PROPOSIÇÃO 4 Sejam (G, ) e (J, ) grupos, com e e u os elementos neutros de G e J, respectivamente, e f : G J é um homomorsmo de grupos. Se (H, ) é subgrupo de G, então (f(h), ) é subgrupo de J. 6

7 Observação: Pela Proposição 4, temos que um homomorsmo de grupos preserva subgrupos. Logo, Im(f) = f(g) é um subgrupo de J. PROPOSIÇÃO 5 Sejam (G, ), (J, ) e (L, ) grupos quaisquer e f : G J e g : J L homomorsmos de grupos. Então, g f : G L também é homomorsmo de grupos. COROLÁRIO 1 Se f e g são monomorsmos, então g f : G L também o é. COROLÁRIO 2 Se f e g são epimorsmos, então g f : G L também o é. DEFINIÇÃO 5 Sejam (G, ) e (J, ) grupos e f : G J um homomorsmo de grupos. Chama-se núcleo do homomorsmo f e denota-se por N(f ) ou Ker(f ) ao seguinte subconjunto de G : N(f) = {x G/ f(x) = u}, onde u é o elemento neutro de J. EXEMPLO 7 Determine o núcleo dos homomorsmos abaixo: (a) f : (Z, +) (C, ) denida por f(m) = i m. (b) f : (C, ) (R +, ) denida por f(z) = z = a + bi = a 2 + b 2. (c) f : (R +, ) (R, +) denida por f(x) = log x. (d) p m : (Z, +) (Z m, +) denida por p m (a) = a (m > 1 inteiro). 7

8 PROPOSIÇÃO 6 Seja f : (G, ) (J, ) um homomorsmo de grupos. Então, (i) N(f ) é um subgrupo de G; (ii) f é um monomorsmo se, e somente se, N(f )= {e}, sendo e o elemento neutro de G. ISOMORFISMOS Consideremos os grupos G { = { 1, ( 1} com ) a operação ( usual )} de multiplicação e o grupo das permutações J = S 2 = u =, v =. Observe suas tábuas e que conclusões podem ser tiradas. DEFINIÇÃO 6 Sejam (G, ) e (J, ) grupos. Dizemos que uma aplicação f : G J é um isomorsmo do grupo G no grupo J, se f é bijetora e f é um homomorsmo de grupos. Se G = J um isomorsmo f : G G chama-se automorsmo de G. PROPOSIÇÃO 7 Se f é um isomorsmo do grupo G no grupo J, então f 1 é um isomor- smo do grupo J no grupo G. 8

9 OBSERVAÇÃO 2 1- Quando existe um isomorsmo F : G J também existe um isomor- smo de J em G que é a aplicação f 1. Por isso dizemos, neste caso, que G e J são grupos isomorfos. O isomorsmo f 1 é chamado isomorsmo inverso de f. Notação para grupos isomorfos: G J. 2- Se x f(x) é um isomorsmo do grupo G no grupo J, muitas vezes não se faz distinção entre o grupo G e o grupo J, identicando cada x G com f(x) J. GRUPO DAS TRANSLAÇÕES DEFINIÇÃO 7 Seja (G, ) um grupo. Para cada a G a translação à esquerda denida por a é a aplicação δ a : G G dada por δ a (x) = a x, para todo x G. De modo análogo se deniria a translação à direita. EXEMPLO 8 Caso o grupo seja aditivo, a translação à esquerda denida por um elemento a G é dada por δ a (x) = a + x. Se for multiplicativo teríamos δ a (x) = ax. Nas considerações a seguir é indiferente usar translações à esquerda ou à direita, usaremos as primeiras. PROPOSIÇÃO 8 Toda translação é uma bijeção. Notação: Usamos a notação T (G) para denotar o conjunto de todas translações em G e lembrando que S(G) foi a notação usada para indicar o conjunto das permutações dos elementos de G, então pela proposição anterior T (G) S(G). PROPOSIÇÃO 9 (i) a composição de translações é uma operação sobre T (G); (ii) a inversa da translação δ a é a translação δ a ; (iii) T (G) é um subgrupo do grupo (S(G), ). 9

10 TEOREMA 1 (Cayley) Se G é um grupo, a aplicação f : G T (G) que associa a cada elemento a a translação δ a (isto é, f(a) = δ a ) é um isomorsmo de grupos. EXEMPLO 9 Considere o grupo aditivo Z 3. Determine o grupo T (Z 3 ) obtido usando o modelo do Teorema de Cayley. 10